Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán 7 - Đề 12

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 7 Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (1,5 điểm). Tính: a/ 7,3. 10,5 + 7,3. 15 + 2,7. 10,5 + 15. 2,7 b/ (69.210 + 1210) : (219.273 + 15.49.94) Câu 2 (2,5 điểm). So sánh A và B trong mỗi trường hợp sau: a/ A = ; B = b/ A = 321 ; B = 231 c/ A = ; B= Câu 3 (2,5 điểm). a/ Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 ++ 3x+100 chia hết cho 120 (với x N) b/ Cho . Chứng minh rằng: c/ Cho f(x) là hàm số xác định với mọi x thỏa mãn điều kiện f(x1.x2) = f(x1).f(x2) và f(2) = 10. Tính f(32). Câu 4 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD. a/ Chứng minh ∆AIB = ∆DIC b/ Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC. c/ Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh . Câu 5 (1 điểm). Cho 100 số hữu tỉ trong đó tích của bất kì ba số nào cũng là một số âm. Chứng minh rằng: a/ Tích của 100 số đó là một số dương. b/ Tất cả 100 số đó đều là số âm. -------------------------------HẾT------------------------------- UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 7 Câu Đáp án Điểm Câu 1 (1,5đ) 7,3.10,5 + 7,3.15 + 2,7.10,5 + 15.2,7 = 10,5.(7,3 + 2,7) + 15.(7,3 + 2,7) = 10,5. 10 + 15. 10 = 105 + 150 = 255 0,25 0,25 0,25 (69.210 + 1210) :(219.273 + 15.49.94) = ( 39.29.210 + 220.310) : (219.39 + 3.5.218.38) = [219.39(1+2.3)] : [218.39(2 +5)] = (2.7) : 7 = 2 0,25 0,25 0,25 Câu 2 (2,5đ) => > Vậy A > B 0,25 0,25 0,25 A = 321 = 3.(32)10 = 3.910 B = 231 = 2.(23)10 = 2.810 Suy ra A > B 0,25 0,25 0,25 Suy ra A < B 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3 (2,5đ) 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + + 3x+100 = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)++ (3x+97 + 3x+98 + 3x+99 + 3x+100) = 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) ++3x+96(3+32+33+34) = 3x.120 + 3x+4.120 ++3x+96.120 = 120(3x + 3x+4 ++3x+96)120 (đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 . Suy ra: Vậy Từ (1) và (2) ta được 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì f(x1.x2) = f(x1).f(x2) nên f(4) = f(2.2) = f(2). f(2) = 10. 10 = 100 f(16) = f(4.4) = f(4). f(4) = 100. 100 = 10000 f(32) = f(16.2) = f(16). f(2) = 10000. 10 = 100000 0,25 0,25 Câu 4 (2,5đ) Hình vẽ 0,5 Vì I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD nên IB = IC, IA = ID Lại có AB = CD (gt) Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) 0,25 0,25 0,25 ∆AID cân ở I, suy ra DAI = D ∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra BAI = D Do đó DAI = BAI. Vậy AI là tia phân giác của góc BAC 0,25 0,25 0,25 Kẻ IP ^AD, ta có ∆AIE = ∆AIP ( cạnh huyền-góc nhọn) => AE = AP Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD) Suy ra 0,25 0,25 Câu 5 (1đ) Trong 100 số đã cho, phải có ít nhất một số âm (vì nếu cả 100 số đều dương thì tích của ba số bất kì không thể là một số âm). Ta tách riêng số âm đó ra. Chia 99 số còn lại thành 33 nhóm, mỗi nhóm 3 thừa số. Theo đề bài, mỗi nhóm đều có tích là một số âm nên tích của 33 nhóm tức là của 99 số là một số âm. Nhân số âm này với số âm đã tách riêng từ đầu ta được tích của 100 số là một số dương. 0,25 0,25 Sắp xếp 100 số đã cho theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn a1≤a2≤a3≤...≤a100 Các số này đều khác 0 (vì nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích của nó với hai thừa số khác cũng bằng 0, trái với đề bài). Xét tích a98.a99.a100 0 thì a99 >0, a100> 0, tích của ba số này không thể là một số âm). Vậy a1, a2, a3, ..., a98 là các số âm. Xét tích a1.a2.a99 0 nên a99<0 Xét tích a1.a2.a100 0 nên a100<0 Vậy tất cả 100 số đã cho đều là số âm. 0,25 0,25 --------------------HẾT------------------