Đề thi chọn học sinh giỏi môn toán lớp 9

Đề thi chọn học sinh giỏi Môn : Toán lớp 9 Thời gian làm bài : 120 phút Câu 1 : (2 điểm ) a) Tính A = b) So sánh : và Câu 2 : (2 điểm ) a) Giải phương trình : x2 + x + 12= 36 b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y= Câu 3 : (2 điểm ) a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh phương trình : x2 + ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x,y,z,t biết rằng: Câu 4 : (3 điểm) Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý . Vẽ đường tròn tâm I đường kính AC và vẽ đường tròn tâm K đường kính BC . MN là tiếp chung ngoài của hai đường tròn (M) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn . a) Chứng minh các đường thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D . b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất . Câu 5 : (1 điểm) Chứng minh rằng nếu > 2 thì phương trình sau có nghiệm 2ax2 + bx +1 - a = 0 đáp án đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp 9 Câu 1 : (2đ) a) (1đ) A = ( Nhân tử và mẫu với ) 0,25 = 0,5 = 0,25 b)(1đ) Ta có = = 0,25 = = = ()+ 0,25 Ta thấy Do đó >0 ; 0,25 suy ra ()+> Vậy > 0,25 Câu 2 : (2đ) a) (1đ) x2 + x + 12= 36 x(x+1)+ 12= 36 ĐKXĐ : x 0,25 Đặt = t ; phương trình trở thành : ( t2 - 1 )t2 + 12t = 36 t4 - ( t - 6 )2 = 0 ; suy ra (t2 - t + 6)(t2 + t - 6) = 0 0,25 Phương trình t2 - t + 6 = 0 vô nghiệm Phương trình t2 + t - 6 = 0 có nghiệm là t = -3< 0 (loại) t = 2 > 0 0,25 Với t = 2 thì =2 ; từ đó tìm được nghiệm của phương trình là : x = 3 0,25 b) (1đ) x2 + 4x + 5 = (x+2)2 +1 > 0 với mọi x , nên y xác định với mọi x ; từ đó ta cũng có y > 0 . 0,25 Bình phương 2 vế y= ta được : y2 = (x+2)2 +1 (y + x + 2)(y - x - 2 ) = 1 0,5 Vì x,y là số nguyên nên (y + x + 2) và (y - x - 2 ) cũng nhận giá trị nguyên . Ta thấy tổng và tích của 2 biểu thức này là dương nên ta có : ; từ đó ta tìm được (x=-2;y=1) 0,25 Câu 3 : (2đ) a) (1đ) = (a-b-c)2 - 4bc = a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac + 2bc - 4bc = a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0,25 = a2 - a(b+c) + b2 - b(a+c) + c2 - c(a+b) Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên : 0 <a<(b+c) ; suy ra a2 < a(b+c) ; do đó a2 - a(b+c) < 0 0 <b<(a+c) ; suy ra b2 < b(a+c) ; do đó b2 - b(a+c) < 0 0 <c<(a+b) ; suy ra c2 < c(a+b) ; do đó c2 - c(a+b) < 0 0,5 Từ đó suy ra < 0 . Vậy phương trình vô nghiệm . 0,25 b) (1đ)Từ hệ ; cộng vế với vế ta được : 2(x2 + y2 + 2z2 + t2) - t2 = 122 ; 0,25 suy ra M= ; do đó Min M = 61 khi t = 0 0,25 Với t = 0 từ (*) suy ra x2 - y2 = 21 hay (x-y)(x+y)= 21 0,25 Có 2 trường hợp xảy ra : + (loại vì không thoả mãn (**) ) + , thay vào (**) ta tìm được z=4 Vậy Min M=61 khi x=5,y=2,z=4,t=0 0,25 Câu 4 : (3đ) a) (1,25đ) Gọi D là giao điểm của AM và BN Q là giao điểm của MN và Cx . Theo tính chất của tiếp tuyến ta có QM=QC=QN ; Từ đó suy ra MCN vuông . 0,5 Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ; 0,25 Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC . Vậy AM,BN,Cx đồng quy tại D. 0,5 b)(1,75đ) Gọi O là trung điểm của AB , Suy ra DO==a 0,25 S=DM.DN= 0,5 ; 0,5 Từ đó ta có S lớn nhất bằng khi DC=a ; lúc đó CO . 0,5 Câu 5 : ( 1 điểm ) Giả sử phương trình vô nghiệm , ta có : = b2 - 8a(1-a) 0 Từ đó ta có 0 <a < 1 , suy ra = a . 0,25 Từ (1) , ta lại có < 2, vậy = (2) 0,25 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có : (= 3 (3) 0,25 Kết hợp (2) với (3) , ta có : < 3 -1 = 2 ; trái với giả thiết . Vậy phương trình có nghiệm . 0,25