Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2005 - 2006 môn thi Máy tính bỏ túi lớp 12

SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ( VÒNG TỈNH ) NĂM HỌC 2005 - 2006 Môn thi : MÁY TÍNH BỎ TÚI LỚP 12 Ngày thi : 10 - 01 - 2006 ĐÁP ÁN Chữ ký của giám thị : Giám thị 1 : ....................................................... Giám thị 2 : ....................................................... Điểm ( bằng số ) Điểm ( bằng chữ ) giám khảo 1 giám khảo 2 Số mật mã Quy định : 1) Nếu kết quả là số hữu tỷ thì thí sinh phải viết đúng giá trị của số hữu tỷ đó 2) Nếu kết quả là số vô tỷ thì viết theo số thập phân theo yêu cầu của đề bài 3) Thí sinh được phép sử dụng các loại MTBT Casio fx 500A , 500MS , 570MS, 570ES. Khi viết quy trình bấm máy ( nếu có ) thì phải ghi rõ mã số của máy đã sử dụng Bài 1( 5điểm) Cho hàm số f(x) = ln(e2x − 4ex + 3) 1) Viết quy trình bấm phím để tính giá trị của f(x) , f ′(x) tại điểm x = a 2) Tính giá trị gần đúng với 4 chữ số lẻ thập phân của : f(1, 22), f(1, 23), f ′(1, 23) Kết quả : Cách giải điểm Kết quả điểm cộng 1) Casio fx - 500MS , 5700MS Gởi 2a và ô nhớ A a) 2 × a = shift sto A ln ( shift ex ALPHA A − 4 × SHIFT ex a + 3 = 1đ 0đ 1đ Ta có f ′(x) = 2e2x − 4ex e2x − 4ex + 3 ( 1đ) Gởi 2a vào ô nhớ B b) 2 × a = shift sto B ( 2 × shift ex ALPHA B − 4 × ex a ) ÷ ( shift ex ALPHA B − 4 × SHIFT ex a + 3 = 2,5đ 0đ 2,5đ 2) • f(1, 22) • f(1, 23) • f ′(1, 23) 0đ   f(1, 22) ≃ −0, 0787 f(1, 23) ≃ 0, 0197 f ′(1, 23) ≃ 9, 5350 1,5đ 1,5đ Bài 2 ( 5 điểm) Đồ thị (C) của hàm số y = a sin x + 1 b cosx + c đí qua A ( 0; 1 3 ) , B ( 1; 1 5 ) , C(2; 1) . Tính gần đúng với 8 số lẻ thập phân giá trị của a, b, c Cách giải điểm Kết quả điểm cộng Thay tọa độ 3 điểm A, B, C và phương trình của (C) được hệ phương trình  b + c = 3 (5 sin 1)a− (cos 1)b− c = −5 (sin 2)a− (cos 2)b− c = −1 2đ   a ≃ −0, 677172024 b ≃ 1, 847090084 c ≃ 1, 152909016 3đ 5đ Thuyết minh ( theo máy 570MS ) : Vào MODE MODE MODE MODE 2 để tính theo radian . Gọi MODE MODE MODE 1 3 để gọi hệ phương trình 3 ẩn Bài 3 ( 5 điểm) Tìm nghiệm ( đơn vị : độ , phút , giây ) của hệ phương trình{ tgy − tgx = 1 + tgxtgy cos 2y + √ 3 cos 2x = −1 3 Cách giải điểm Kết quả điểm cộng Điều kiện : x, y 6= 90o +k180o, k ∈ Z • từ phương trình đầu có tg(y−x) = 1 =⇒ y = x + 45o + k180o • Tìm ra 2y = 2x+90o+k360o thay vào pt sau • phương trình cổ điển : sin 2x−√3 cos 2x = 1 3 • Tìm ra sin(2x− 60o) = 1 6 2đ { x ≃ 34o47′50′′ + k180o y ≃ 79o47′50′′ + m180o{ x ≃ 115o12′11′′ + k180o y ≃ 160o12′11′′ + m180o 3đ 5đ Bài 4 ( 5 điểm ) Cho hai đường thẳng d1 : x − 2y + 8 = 0, d2 : 2x − y + 4 = 0 . Gọi A = d1 ∩ d2, B = d1 ∩Ox, C = d2 ∩ Ox . 1) Tính gần đúng giá trị của B̂AC theo đơn vị độ , phút , giây 2) Tính gần đúng với 9 số lẻ thập phân các tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cách giải điểm Kết quả điểm cộng 1) Dùng tích vô hướng : A(0; 4), B(−8; 0), C(−2; 0) cosA = −→ AB. −→ AC∣∣∣−→AB∣∣∣ . ∣∣∣−→AC∣∣∣ 1đ A ≃ 36o52′12′′ 1,5đ 2,5đ 1) Nhiều cách, sau đây dùng dùng : a −→ IA + b −→ IB + c −→ IC = −→ 0 1đ { x ≃ −2, 763932023 y ≃ 1, 236067978 1,5đ 2,5đ Bài 5 ( 5điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D và SA ⊥ (ABCD) . Giả sử AB = 2AD = 2DC = 2a và SA = a √ 5 1) Tính gần đúng khỏang cách giữa hai đường thẳng AB và SC biết a = 2, 006cm 2) Tính gần đúng theo đơn vị độ , phút , giây góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) Cách giải điểm Kết quả điểm cộng 1) Hình vẽ : S H D C B E F A 0 đ 0đ 0đ 1) • Nói được độ dài AH bằng d[SC, AB] • cách tính AH 1đ d ≃ 1, 83149084cm 1,5đ 2,5đ 2) • ∆SAD = hc(SAD)∆SBC • cosϕ = S∆SAD S∆SBC 1đ ϕ ≃ 53o18′03′′ 1,5đ 2,5đ Bài 6 ( 5 điểm ) Cho hai đường tròn (C1) : x2 + y2 − 10x + 6y + 1 = 0, (C2) : x2 + y2 − 6x + 8y − 12 = 0 1) Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua tâm của hai đường tròn (C1), (C2) 2) Tìm tọa độ các giao điểm của (D) và (C1) Cách giải điểm Kết quả điểm cộng 1) • (C1) có tâm I(5;−3) , bán kính R1 = √ 33 • (C1) có tâm J(3;−4) , bán kính R2 = √ 37 • Phương trình của (D) là phương trình đường thẳng IJ 1 đ x− 2y − 11 = 0 1,5đ 2,5đ 2) Giải hệ phương trình{ x− 2y − 11 = 0 x2 + y2 − 10x + 6y + 1 = 0 0,5đ { x ≃ 10, 13809 y ≃ −0, 43095{ x ≃ −0, 13809 y ≃ −5, 56905 2đ 2,5đ Bài 7 ( 5 điểm ) Cho phương trình 4x − 3x 5 = sin x (1) 1) Viết quy trình bấm phím để giải phương trình (1) theo phương pháp lặp 2) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng ( với 9 số lẻ thập phân ) của phương trình (1) Cách giải điểm Kết quả điểm cộng 1) Quy trình bấm máy fx . . . : Dùng Radian a) Khai báo quy trình lặp : x = ln(5 sin x + 3x) ln4 1 = ln ( 5 sin Ans + 3 Ans ) / ln 4 = = . . . Sau 13 bước lặp có kết quả x1 b) Khi x khá bé hàm ln(5 sin x + 3x) khó tính được giá trị Khai báo quy trình lặp : x = sin−1 ( 4x − 3x 5 ) 1 = Shift sin−1 ( ( 4 ∧ Ans − 3 × Ans ) ÷ 5 = 3 đ [ x1 ≃ 1, 65764461 x2 ≃ 0, 155451264 2đ 5đ Chú ý : Trên máy fx 570MS, ES có thể giải trực tiếp nhờ phím SHIFT SOLVE Vào chế độ Radian : MODE MODE MODE MODE 2 Khai báo phương trình trong chế độ tóan ALPHA : 4 ∧ ALPHA X ALPHA = 5 sin ALPHA X + 3 ALPHA X SHIFT SOLVE . Trả lời máy : 1.5 = Bấm lại SHIFT SOLVE . Đợi sẽ có nghiệm x1 ≃ 1, 65764461 SHIFT SOLVE . Trả lời máy : 0.1 = Bấm lại SHIFT SOLVE . Đợi sẽ có nghiệm x2 ≃ 0, 155451264 Nếu học sinh dùng SHIFT SOLVE để giải thì không cho điểm quy trình phím lặp , mà chỉ cho điểm kết quả nghiệm gần đúng Bài 8 ( 5 điểm ) Cho dãy số   u1 = 1 2 u2 = 1 3 un = un−1.un−2 3un−2 − 2un−1 , n > 3 1) Tính u7 2) Tính un theo n Cách giải điểm Kết quả điểm cộng 1) 2 cách tính : Tính u3, u4, u5, u6, u7 Tìm un và suy ra u7 0,5đ u7 = 1 65 ≃ 0, 015384615 1đ 2đ Cách giải điểm Kết quả điểm cộng • ẩn phụ : vn = 1 un • Phương trình đặc trưng của dãy vn = 3vn−1 − 2vn−2 là x2 − 3x + 2 = 0 • Tìm ra vn = 1 + 2n−1 suy ra un = 1 1 + 2n−1 2,5đ un = 1 1 + 2n−1 0,5đ 3đ Bài 9 ( 5 điểm ) Tính khỏang cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x) = 1 2 x3 − 5 6 x2 − 7 3 x + 1 Kết quả : Cách giải điểm Kết quả điểm cộng • Giải y′ = 0 tìm ra 2 nghiệm : x1,2 = 5±√151 9 • Tung độ tương ứng : y1 ≃ −3, 0130057702 y2 ≃ 2, 077529581 3đ d ≃ 5, 776752478 2đ 5đ Bài 10 ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC có góc A = 45o, C = 105o . Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm P, Q sao cho PQ tạo với cạnh AC một góc 75o và PQ chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau . Tính gần đúng giá trị của tỷ số AP AC Cách giải điểm Kết quả điểm cộng 1) Hình vẽ PQ không song song CB : A B C Q P 75 o 45 o • SAPQ SABC = AP.AQ AC.AB • Dùng định lý sin có : AP AQ = sinQ sinP , AB AC = sinC sinB Suy ra : AQ = AP sinP sinQ , AB = AC sinC sinB 2đ AP AC ≃ 1, 037954849 1đ 3đ Cách giải điểm Kết quả điểm cộng • 1 2 = AP 2 AC2 sinP sinB sinC sinQ • Tính ra AP AC = sin 105o√ sin 60o 2) PQ//BC • Tính ra AP AC = 1√ 2 sin 105o sin 30o 1đ AP AC ≃ 1, 366025404 1đ 2đ Thuyết minh : Viết thuyết minh : Nguyễn Đình Hòa . Typeset by LATEX and MeTaPost