Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2005 -2006 môn Toán lớp 9

phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2005 -2006 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: ( 3 điểm) Cho a.Rút gọn A. b.Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2: ( 4 điểm) Giải hệ phương trình: Bài 3: ( 4 điểm) Cho phương trình x2 - 2(m -1)x + m - 3 = 0 a.Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm. b.Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m. c.Xác định m sao cho phương trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối. Bài 4: ( 7 điểm) Cho đường tròn (O ; R), M là một điểm nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (O ; R) ( A, B là các tiếp điểm). Một đường thẳng d qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của CD. Đường thẳng AB cắt MO, MD, OI theo thứ tự tại các điểm E, F, K. a.Chứng minh rằng OE. OM = OK. OI = R2 b. Khi đường thẳng d không đi qua O. Chứng minh OECD là tứ giác nội tiếp. c. Cho biết R = 10cm; OI = 6cm; MC = 4cm. Tính MB? Bài 5: ( 2 điểm) Cho p = là số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình a2 + bx + c = 0 không có nghiệm hữu tỷ. phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 1998- 1999 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 999. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x, y, z: Câu 2. Cho biểu thức: a.Tìm giá trị thích hợp của x? b. Rút gọn A. c. Chứng minh : A d. Tính giá trị của A biết Câu 3. Giải hệ phương trình: Câu 4. Cho đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài tại M. Kẻ 1 tiếp tuyến chung ngoài NP ( ) a.Tính góc NMP và tính NP? b.Gọi Q là giao điểm của PM với đường tròn (O) (Q khác M). Chứng minh rằng : ba điểm N, O, Q thẳng hàng. c.Tính MN? MP? d.Từ 1 điểm A bất kì thuộc tia MQ và nằm ở miền ngoài đường tròn (O), kẻ AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) ( B và C là các tiếp điểm). Chứng minh rằng: Khi điểm A di động trên tia MQ ( ở miền ngoài (O) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua 2 điểm cố định. phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 1997- 1998 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1. Rút gọn biểu thức sau: a. với b. Bài 2. Giải phương trình: Bài 3. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Tính giá trị biểu thức: Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: Bài 5. Cho đường thẳng d, trên d lấy 2 điểm phân biệt M và N. Kẻ tia Nx . Trên tia Nx lấy một điểm O sao cho NO = 1/2MN. Tia MO cắt đường tròn (O; ON) ở A và B. ( M và O nằm ở 2 phía của A). Đường tròn (M; MA) cắt MN ở C. Chứng minh: AB2 = MA. MB Chứng minh : MC2 = CN. MN Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt d ở E. Từ M và E kẻ các tiếp tuyến MP và EQ với đường tròn (O), ( P và Q là các tiếp điểm khác N). Chứng minh rằng : MP. EQ = 1/4PQ2. Dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại M và tiếp xúc với đường tròn (O). phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 1999- 2000 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. Cho biểu thức : Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị của A biết: Bài 2. Giải phương trình: Bài 3. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b = c. Chứng minh rằng: Bài 4. Cho hình thang vuông ABCD ( Â = D = 900). Tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của AD. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA). Gọi H là tiếp điểm của BC với đường tròn tâm I nói trên, K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: KH //DC. Kẻ đường thẳng vuông góc với DA tại I, cắt BC tại E. Nối DE. Gọi F là giao điểm của tia AB và tia DE. Chứng minh: Dựng đường tròn tiếp xúc với DC tại C và tiếp xúc với đường tròn (I; IA) phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2001- 2002 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: ( 4 điểm) Rút gọn biểu thức: với -1 Câu 2: ( 4 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có: b.Chứng minh rằng: Câu 3: ( 3 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa mãn: Tính tích P = xyz Câu 4: ( 6 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d cố định ( d ngoài (O)). Gọi A là chân đường cao hạ từ O xuống d. Từ một điểm E trên d kẻ các tiếp tuyến EP, EQ với (O). Dây cung PQ cắt OA tại Ivà cắt OE ở K. Gọi B là giao điểm thứ hai của AP với (O; R). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt đường thẳng d tại C. Chứng minh các điểm O, A, B, C cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh: AC = AE Chứng minh: OI. OA = R2 Khi điểm E di động trên d thì K chuyển động trên đường nào? Vì sao? Câu 5*: ( 3 điểm) Cho Chứng minh rằng: an có giá trị là một số nguyên với mọi n phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2002- 2003 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Cho phương trình ẩn x: Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Với điều kiện nào của a, b thì 2 nghiệm đó là hai số đối nhau. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính: theo a, b. Chứng minh Q Giả sử trong hai nghiệm x1, x2 có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1. Chứng minh: Bài 2: Cho với x, y, z, t là các số không âm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P và các giá trị tương ứng của x, y, z, t biết: Bài 3: Với , chứng minh: . Tìm x để đẳng thức xảy ra. Giải phương trình: Bài 4: Cho hình vuông cạnh a. Trên cạnh AD; CD lấy M, N sao cho góc BMN = 450. BM và BN cắt AC lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng: 5 điểm M, E, F, N, D cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng: Gọi H là giao điểm của MF và NE, I là giao điểm của BH và MN. Tính BI theo a. Xác định vị trí của M, N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 5. Cho hai thùng nước với dung tích lớn tùy ý và hai cái gáo có dung tích lít và lít. Hỏi có thể dùng 2 cái gáo đó để chuyển một lít nước từ thùng này sang thùng kia được không?Tại sao? phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2002- 2003 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Cho: Rút gọn A, B. Với giá trị nào của x thì A + B = 0. Bài 2. Cho hệ phương trình: Giải hệ phương trình với m = -1 Xác định m để phương trình có nghiệm. Bài 3. Cho p là một số thực sao cho x2 -3px - p = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào p. Chứng minh rằng: 3p x1 + x22 - p > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của: Bài 4.Từ điểm A ngoài (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt tiếp tuyến AB, AC lần lượt tại P và Q. BC cắt OP và OQ lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng: Chu vi tam giác APQ không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BC. Tứ giác PQEF là tứ giác nội tiếp. Tỉ số không phụ thuộc vào vị trí điểm M. Tính tỉ số đó khi góc BAC bằng 600. phòng GD- đt đề chính thức huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2004- 2005 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1. Tính: biết Bài 2. Cho hệ phương trình: Giải và biện luận hệ phương trình. Chứng minh rằng : khi hệ phương trình có nghiệm (x; y) duy nhất thì M(x; y) luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 3. Cho phương trình : Tìm k để phương trình có nghiệm. Giả sử x1, x2là nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =x12+x22. Với các giá trị nguyên nào của k thì phương trình đã cho có nghiệm là một số nguyên. Bài 4. Cho (O1), (O2) cắt nhau tại A, B. Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn trên nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điiểm B có tiếp điểm theo thứ tự là E, F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O1) tại C, cắt (O2) tại D, CE cắt DF tại I. Chứng minh rằng: IA vuông góc với EF. Tứ giác IEBF nội tiếp AB đi qua trung điểm của EF. Qua A kẻ một cát tuyến thứ 2 C’AD’ cắt (O1) tại C’, cắt (O2) tại D’. Chứng minh: góc sở GD- đt đề chính thức tỉnh nam định đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2002- 2003 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Rút gọn biểu thức: Câu 2: Gọi a, b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: x2 - x-1 =0. Chứng minh rằng: là những số nguyên và chia hết cho 5. Câu 3: Cho hệ phương trình: Giải hệ phương trình khi m= 7 Tìm m để hệ có nghiệm. Câu 4: Cho hai vòng tròn (C1), (C2) tiếp xúc ngoài tại T. Hai vòng tròn này nằm trong vòng tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M, N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1), (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt (C1) tại điểm thứ hai là A và MN cắt (C1) thứ hai là B. PN cắt (C2) tại điển thứ 2 là D và MN cắt (C2)tại điểm thứ hai C. Chứng minh rằng : ABCD là tứ giác nội tiếp. Chứng minh các đường AB, CD, PT đồng quy. Câu 5: Một ngũ giác có tính chất tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của một ngũ giác đều có điện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.