Đề thi chọn học sinh giỏi năm học: 2008 -2009 môn: Toán lớp 9

Đề chính thức Phòng GD-ĐT lục ngạn Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học: 2008 -2009 Môn : Toán lớp 9 (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1 (2,0 điểm) a) Rút gọn: A = b) Rút gọn biểu thức: Bài 2 (3,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : b) Cho hệ phương trình: (I) (Với m là tham số) b.1/ Tìm các giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất. b.2/ Chứng tỏ rằng khi m thay đổi và hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x;y) luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 3 (2,0 điểm) Vẽ đồ thị hàm số: y = . Dựa vào đồ thị hàm số vừa vẽ ở câu a. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = Bài 4 (2 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC b) Tính độ dài phân giác AD. ? Bài 5 (1 điểm) Cho điểm I nằm trong đường tròn (O; 50 cm); OI = 14 cm. Có bao nhiêu dây của đường tròn này đi qua I mà độ dài của nó là một số tự nhiên ? Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .. Phòng GD lục ngạn Hướng dẫn chấm Bài thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán Năm học: 2008 -2009 Bài 1: (2,0 điểm) A = (0,25 điểm) = - ( 0,5 điểm) = ( 0,25 điểm) b) * ĐKXĐ: ( 02,5 điểm) ( 0,25 điểm) ( 0,25 điểm) Vậy ( 0,25 điểm) Bài 2: (3,0 điểm) Câu a) Ta có: 4x2- 8y2+4xy – 4x + 16 y – 48 = 0 ú (2x + y)2 – 9 y2 – 4x + 16 y – 48 = 0 ú(2x + y)2 – 2.(2x + y) + 1 – 9y2 + 18y – 49 = 0 ú (2x + y – 1)2 – 9(y - 1)2 = 40 ú (2x + y – 1 – 3y + 3 ).(2x + y – 1 +3y - 3) = 40 ú (2x - 2y + 2).(2x + 4y - 4) = 40 ú (x – y +1).(x + 2y - 2) = 10 ( 0,75 điểm) Vì nên > 0 và , mà 10 = 1.10 = 2.5 Nên ta có bảng: 10 5 1 2 12 7 0 1 x 4 3 y 4 2 KL: Tập hợp các nghiệm của phương trình là (x,y) (Lập bảng và kết luận nghiệm đúng cho 0,75 điểm) Câu b. b.1) Ta có: (I) ú ú (0,5 điểm) Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất ú Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ú m(m – 1) 0 ú (*) ( 0,5 điểm) b.2) Khi ta có hệ (I) có nghiệm duy nhất (x; y) = (1-; ) Ta thấy y = - x + 1 => Khi m thay đổi thì M(x; y) luôn nằm trên đường thẳng cố định y = - x + 1 ( 0,5 điểm) Bài 3: (2,0 điểm) 1 2 3 4 4 O 2 a) Ta có: (0,25 điểm) Vẽ đúng đồ thị: (1 điểm) A B C E D b) Căn cứ vào đồ thị trên ta thấy: A 2 với mọi x Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 đạt được khi (0,75 điểm) Bài 4:(2 điểm) Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp ABC Gọi E là giao điểm của AD và (O) a) Ta có : ABD ~ CED (g –g) AD.ED = BD.CD AD(AE – AD) = BD.CD AD2 = AD.AE – BD.CD (1) (0,5 điểm) Lại có: ABD ~ AEC (g –g) AB.AC = AD.AE (2) Từ (1) và (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC (0,5 điểm) b) Vì AD là phân giác (0,25 điểm) DB = và DC = (0,25 điểm) AD2 = bc - (0,25 điểm) A B N M I O Bài 5:(1 điểm) Gọi AB là dây bất kỳ đi qua I. Ta có: AB 2.R = 2.50 = 100. (1) (0,25 điểm) Kẻ dây MN OI tại I. Chỉ ra được: AB MN Mà MN = Vậy AB 48 cm (2) (0,25 điểm) Từ (1) và (2) ta có: 48 AB 100 Mà độ dài AB là số tự nhiên => AB = 48; 49; 50; . 100 (0,25 điểm) Lại do một dây bất kỳ bao giờ cũng có một dây đối xứng với nó qua OI (Trừ dây đi qua O và dây vuông góc với OI) Vậy có tất cả 51.2 + 2 = 104 dây có độ dài là số tự nhiên (0,25 điểm)