Đề thi chọn HSG lớp 10 năm học 2009-2010 đề thi môn toán

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu 1(2,0 điểm). Giải phương trình: Câu 2(2,0 điểm). Giải hệ phương trình : Câu 3(1,0 điểm). Cho . Tính giá trị biểu thức sau : Câu 4(2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn và điểm . Gọi và là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ điểm M tới đường tròn (C). Viết phương trình dường thẳng . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là và . Viết phương trình đường thẳng AC. Câu 5(2,0 điểm). a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng b) Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng -------------------------Hết----------------------------- Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… SỞ GD & ĐT HÀ NỘI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Đáp án gồm 3 trang) --------------------------------------------- Câu 1 (2,0 điểm): Nội dung trình bày Điểm Điều kiện: . Đặt thì Suy ra 0,5 PT đã cho trở thành: ( do ). 0,5 Ta có Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất 1,0 Câu 2 (2,0 điểm): Nội dung trình bày Điểm Điều kiện: Khi đó hệ đã cho tương đương với : 0,5 0,5 Ta có Hệ vô nghiệm, vì từ (1) và (2) ta có và . Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là 1,0 Câu 3 (1,0 điểm): Nội dung trình bày Điểm Do nên a tồn tại Ta có : 0,5 0,25 0,25 Câu 4 (2,0 điểm): a) Nội dung trình bày Điểm Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 3) và bán kính R = 2. Vì nên M nằm ngoài đường tròn (C). Giả sử là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) thì ta có 0,5 Mà Do đó ta có hệ: 0,5 (1) 0,5 Vậy tọa độ các tiếp điểm và của các tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) đều thỏa mãn đẳng thức (1). Do đó phương trình đường thẳng là : 0,5 b) Nội dung trình bày Điểm Gọi đường cao Và đường trung tuyến . Mà M là trung điểm của AB nên . Vì , mà Vậy . 0,5 , mà D là trung điểm của BC nên AC có VTCP nên có VTPT . Vậy 0,5 Câu 5 (2,0 điểm): a) Nội dung trình bày Điểm Đặt Bất đẳng thức trở thành : Ta có : . Dấu bằng xảy ra khi (đpcm). 0.25 0.25 0.25 0.25 b) Nội dung trình bày Điểm ta có : Dấu “ = ” xảy ra 0.25 Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có : Tương tự, ta có : và 0,5 Vậy Dấu bằng xảy ra (đpcm). 0,25 -------------------------Hết-----------------------------