Đề thi học kì II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Quận Hoàng Mai (Có đáp án)

UBND QUẬN HOÀNG MAI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2017 – 2018 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN TOÁN – LỚP 9 Thời gian làm bài : 90 phút I. TRÁC NGHIỆM (1,0 điểm). Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: Câu 1. Cặp số 1;2 là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây? 27xy xy 59 xy 1 2xy 2 0 A. B. 3 C. D. 6xy 2 2 xy 3 24xy xy 3 4 22 Câu 2. Điều kiện của m để phương trình x 2 mx m 4 0 có hai nghiệm xx12 0, 0 là: A. m 2 B. m 2 C. m 2 D. m 16 Câu 3. Cho đường tròn OR, đường kính AB, dây AC R . Khi đó số đo độ của cung nhỏ BC là: A. 600 B. 1200 C. 900 D. 1500 Câu 4. Độ dài của một đường tròn là 10 (cm). Diện tích của hình tròn đó là: A. 10 cm2 B. 100 cm2 C. 50 cm2 D. 25 cm2 II. TỰ LUẬN ( 9,0 điểm) Bài I ( 2,5 điểm) 21 3 xy 21 1. Giải hệ phương trình sau: 32 8 xy 21 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : yx 2 và đường thẳng (d) : y 2 mx 2 m 1 a) Với m 1 . Hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) . b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt : A( x1 ; y 2 ); B ( x 2 ; y 2 ) sao cho tổng các tung độ của hai giao điểm bằng 2 . Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoạc hệ phương trình Một đội xe theo kế hoạch chở hết 120 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 5 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hết số hàng đó trong bao nhiêu ngày? Bài III. (3,5 điểm) Cho đường tròn O có dây cung CD cố định. Gọi M là điểm nằm chính giữa cung nhỏ CD. Đường kính MN của đường tròn O cắt dây CD tại I. Lấy điểm E bất kỳ trên cung lớn CD(E khác C,D,N); ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P. a) Chứng minh rằng: Tứ giác IKEN nội tiếp b) Chứng minh: EI.MN=NK.ME c) NK cắt MP tại Q. Chứng minh: IK là phân giác của EIQ d) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động trên cung lớn CD (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố định. Bài IV (0,5 điểm): Cho abc; ; 0 , chứng minh rằng: a b c a b c abbcca bc ca ab I. TRÁC NGHIỆM (1,0 điểm). Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: Câu 1. A, C Câu 2. B Câu 3. B Câu 4. D II. TỰ LUẬN ( 9,0 điểm) Bài I 21 3 xy 21 1) I 32 8 xy 21 ĐKXĐ: xy 2; 1 11 Đặt ab; ab 0, 0 xy 21 23ab 4a 2 b 6 7 a 14 a 2 I (TMĐK) 3ab 2 8 3a 2 b 8 3 a 2 b 8 b 1 1 2 5 x 2 2x 4 1 x 2 1 y 11 1 y 2 y 1 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( xy; ; 2 2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : yx 2 và đường thẳng (d) : y 2 mx 2 m 1 a. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x22 2 mx 2 m 1 x 2 mx 2 m 1 0 Thay m 1 vào phương trình ta được : 2 xy 11 x 2 x 3 0 ( x 1)( x 3) 0 xy 39 Vậy khi m 1 thì d giao P tại hai điểm phân biêth là (1;1) và ( 3;9) b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x22 2 mx 2 m 1 x 2 mx 2 m 1 0 22 ' m 2 m 1 ( m 1) 0,  m 1 (1) Suy ra (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt : A(;) x11 y và B(;) x22 y 2 x1 () P y1 x 1 2 x2 () P y2 x 2 x12 x2 m Áp dụng định lí viet ta có : x12 x 21 m Vì tổng các tung độ của hai giao điểm bằng 2 nên ta có: 2 2 2 y1 y 2 2 x1 x 2 2 ( x1 x 2 ) 2 x 1 x 2 2 22 m 0(TM) 4m 2(2 m 1) 2 4 m 4 m 0 m 1(KTM) Vậy m 0 thì (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt : A( x1 ; y 2 ); B ( x 2 ; y 2 ) sao cho tổng các tung độ của hai giao điểm bằng 2 . Bài II. Gọi thời gian chở hàng theo kế hoạch là x (ngày, x 1 ) 120 Năng suất của đội xe theo kế hoạch là (tấn/ngày) x Thời gian chở hàng thực tế là x 1 (ngày) 125 Năng suất thực tế là (tấn/ngày) x 1 Vì đội xe chở hàng vượt mức 5 tấn/ ngày nên ta có phương trình 125 120 2 x 6 (TMDK) 5 5xx 10 120 0 xx 1 x 4 (KTMDK) Vậy thời gian chở hàng theo kế hoạch là 6 ngày Bài III. Cho đường tròn O có dây cung CD cố định. Gọi M là điểm nằm chính giữa cung nhỏ CD. Đường kính MN của đường tròn O cắt dây CD tại I. Lấy điểm E bất kỳ trên cung lớn CD(E khác C, D, N); ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P. e) Chứng minh rằng: Tứ giác IKEN nội tiếp f) Chứng minh: EI.MN=NK.ME g) NK cắt MP tại Q. Chứng minh: IK là phân giác của EIQ h) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động trên cung lớn CD (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố định. N O E C I K D P Q M a) Xét đường tròn O đường kính MN có: M là điểm chính giữa CD  MN CD tại I MID 900 E O MEN 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tứ giác IKEN có: MID MEN 900 90 0 180 0 Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác IKEN nội tiếp. b) Tứ giác IKEN nội tiếp (cmt) nên MEI MNK (cùng chắn IK ) Xét MEI và MNK có: MEI MNK(cmt)  EI ME  MEI MNK(g.g) EI.. MN NK ME EMI chung  NK MN c) Xét MNP có: ME NP  PI MN K là trực tâm MNP NK  MP tại Q NQP 90 ME PI K  Xét tứ giác NIQP có NIP NQP 900 Mà 2 góc này cùng nhìn đoạn NP Do đó tứ giác NIQP nội tiếp. Suy ra QNP QIP (cùng chắn PQ ) (1) Tứ giác IKEN nội tiếp (cm a) nên QNP EIK (cùng chắn EK ) (2) Từ (1) và (2) suy ra QIP EIK . Do đó IK là phân giác của EIQ . d) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động trên cung lớn CD (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố định. ME NP DEM DHC dv Ta có:  ME// CH CH NP  MEC ECH slt Mà DEM MEC ( 2 góc nt chắn 2 cung = nhau) EHC ECH EHC cân tại E EN là trung trực của CH Xét DCH có: IN là trung trực của CD (dễ dãng cm) NC ND EN là trung trực của CH (cmt) NC NH N là tâm đường tròn ngoại tiếp DCH H N; NC Mà N, C cố định => H thuộc đường tròn cố định khi E chạy trên CD Bài IV Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và bc ta được a b c 21 a b c 0 2 abc a b c 2aa aa2 hay 1 abc a b c b c a b c bb2 Chứng minh tương tự ta được 2 c a a b c cc2 3 a b a b c Công 1 , 2 và 3 vế theo vế ta được a b c 2 b c c a a b Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi a b c 0 , trái với giả thiết abc, , 0 . Do vậy dấu "" không xẩy ra. a b c Suy ra 2 * b c c a a b a a c Ta cm 4 a b a b c a a c Thật vậy ta có a22 ab ac a ab ac bc (luôn đúng do abc, , 0 ) a b a b c b b a Tương tự ta có 5 b c a b c c c b 6 c a a b c Cộng 4 , 5 và 6 vế theo vế ta được a b c 2 ** a b b c c a Từ * và ** suy ra a b c a b c abbcca bc ca ab