Đề thi Học sinh giỏi cấp huyện lớp 9

HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN –LỚP 9 Năm học : 2001 – 2002 Câu 1. (4đ) Chứng minh rằng : n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của n Chứng minh rằng : (2001)2002 – 1 chia hết cho 2000.2002 Câu 2. (6đ) Tìm giá trị lớn nhất của tích xy với x, y là các số dương thỏa mãn : x + y = S ( trong đó S là số dương cho trước) Chứng minh rằng : Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức : Biết x + y + z + = 4 và x, y, z là các số dương. Câu 3. (5đ) Giải phương trình : Chứng minh bất đẳng thức : với mọi a thuộc R Câu 4. (5đ) Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Gọi E, F, M lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ đỉnh C xuống các đường thẳng AB, AD và hạ từ đỉnh B xuống đường thẳng AC . Chứng minh rằng : AC2 = AB.AE + AD.AF Cho rABC , qua điểm O tùy ý trong tam giác ta kẻ các đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, AC, AB lần lượt tại các điểm A’, B’, C’. Chứng minh hệ thức HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN –LỚP 9 Năm học : 2002 – 2003 Câu 1.(3đ) Tìm mọi số nguyên n thỏa mãn (n + 5)2 = 64(n – 2)3 Câu 2.(4đ) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho : 28 + 211 + 2n là số chính phương Câu 3. (4đ) Với a, b là các số dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Câu 4.(4đ) Trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho : . Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho : BI = k.IC ( k > 0), G là giao của đường thẳng AI với đường thẳng MN. Chứng minh rằng : MG = k.GN . Câu 5.(5đ) Cho rABC có chu vi bằng 2p không đổi ngoại tiếp đường tròn (O) . Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) song song với một cạnh của rABC. Tìm độ dài lớn nhất có thể đạt được của đoạn tiếp tuyến giới hạn bởi hai cạnh còn lại của rABC . HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN –LỚP 9 Năm học : 2003 – 2004 (Vòng 1) Câu 1. (4đ) Tính tổng : S = 1 + 11 + 111 + .... + Câu 2. (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x,y) thỏa mãn : x2 + xy + y2 = x – y Câu 3. (4đ) a. Biết abc – 1 = 0 và a3 – 36 > 0 . CMR : b. Phân tích đa thức : (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 thành nhân tử. Câu 4.(4đ) Cho rABC .Trên các tia đối của tia BA, CA lấy các điểm E, F ( khác B, C) theo thứ tự BF cắt CE tại M . Chứng minh rằng : Đẳng thức xảy ra khi nào ? Câu 5. (4đ) Cho rABC có . Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A , lấy điểm D sao cho rBCD vuông cân tại C. Tính diện tích rBCD. HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN –LỚP 9 Năm học : 2003 – 2004 (Vòng 2) Câu 1.(4đ) Biết rằng n4k+1 – n chia hết cho n5 – n . Hãy tìm chữ số tận cùng của tổng sau S = 21 + 35 + 49 + ...+ 5032005 Câu 2. (4đ) Phân tích đa thức x8 + x4 + 1 thành nhân tử Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Câu 3.(4đ) Giải phương trình : Câu 4.(8đ) Cho rABC , các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho Gọi A’, B’, C’ là các giao điểm của BN và CP ; CP và AM; AM và BN tương ứng . Qua A và N kẻ AD và NQ song song với BC cắt CD ở D và cắt AM ở Q. CMR : AB’ = B’C’ Tính tỉ số diện tích của tam giác A’B’C’ và rABC HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN –LỚP 9 Năm học : 2004 – 2005 Câu 1. (3đ). Cho số tự nhiên N = 20042005 Tìm chữ số tận cùng của N Viết N thành tổng của k số tự nhiên và . T ìm dư trong phép chia S cho 6 Câu 2.(4đ) a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : . Trong đó các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện : a + b + c 3 b. Cho a, b , c 0 và a + b + c = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng S = ab + 2bc + 3ca Câu 3. (6đ) a. Cho x, y thỏa mãn : Hãy tính giá trị của biểu thức A = x2005 + y2005 b. Giải phương trình : Câu 4. (3đ) Cho nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính R . Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AO với BC , BO với AC , CO với AB . Chứng minh rằng : Câu 5.(4đ) Cho tam giác nhọn ABC có góc ACB = , phân giác CD. Lấy D làm tâm vẽ nửa đường tròn bán kính R tiếp xúc với AC tại E , tiếp xúc với CB tại F. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với nửa đường tròn D tại K và tiếp xúc với hai cạnh AC, BC của tam giác ABC . Tính bán kính của đường tròn (O) , biết AC = b, BC = a. CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN DỰ THI CẤP TỈNH –LỚP 9 Năm học : 2004 – 2005 Bài 1.(2đ) Tìm dư trong phép chia 38 + 36 + 32004 cho 91 Trong một giải bóng đá có k đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt ( hai đội bất kì thi đấu với nhau đúng một trận). Đội thắng được 3 điểm , đội hòa được một điểm và đội thua không được điểm nào. Kết thúc giải , người ta nhận thấy số trận thắng-thua gấp đôi số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 176. Hãy tìm k. Bài 2. (3.5đ) Giải phương trình : Giải hệ phương trình : Cho x, y là hai số thỏa mãn đẳng thức : ( với x 0) Xác định x,y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất . Bài 3. (4.5đ) Cho hình chữ nhật ABCD với O là trung điểm của cạnh AB. Gọi M,N theo thứ tự là các điểm di động trên cạnh AD và BC của hình chữ nhật sao cho OM luôn vuông góc với ON. Định vị trí của M,N để tam giác MON có diện tích nhỏ nhất. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Gọi M là trung điểm của AB. Trên các cạnh BC , CD lần lượt lấy hai điểm G,H sao cho hai đường thẳng MG và AH song song với nhau . Hãy tính số đo góc GOH. HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN –LỚP 9 Năm học : 2005– 2006 Câu 1.(4đ) Tìm số hữu tỉ x sao cho x2 + x + 6 là số chính phương . Với số nguyên dương n, ký hiệu . Tính tổng a1 + a2 + a3 + ...+ a2005 Câu 2.(3đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 – 4x + 1 Cho hai số dương x, y có x + y = 1 . Chứng minh rằng Câu 3.(3.0đ) Giải phương trình : x4 + 4 = 5x(x2 – 2) Câu 4.(3đ) Cho rABC cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho hình chiếu của DE lên BC bằng BC. Đường vuông góc với DE tại E cắt đường cao AH của rABC tại I . Chứng minh rằng : BC2 = 4AH.HI Câu 5. (5đ) Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, BC và phần kéo dài của cạnh AC lần lượt lấy các điểm K, N và M sao cho dt KNB = dt NCM = dt AKNC. Tính BK, BN và CM. HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN –LỚP 9 Năm học : 2006– 2007 Câu 1. (3đ) Chứng minh rằng : Nếu các số dương a,b,c có tổng a + b + c = 1 thì Câu 2. (3đ) Tìm m và p sao cho : A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất . Giá trị đó bằng bao nhiêu ? Câu 3.(4đ) Với điều kiện nào thì tích 2 đa thức chia hết cho x2 – 1,nếu mỗi đa thức không chia hết cho x2 –1 Câu 4.(3đ) Tìm các nghiệm nguyên tố của phương trình : x2 – 2y2 = 1 Câu 5. (3đ) Trong rABC có ba cạnh không bằng nhau, hãy tìm một điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng AB, BC, AC là nhỏ nhất . Câu 6.(4đ) Xét xem số sau có chính phương không ? 2249.............................910..............................09 (n – 2) chữ số 9 n chữ số 0 HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN –LỚP 9 Năm học : 2007– 2008 Câu 1.(2đ). Cho n N , n > 3 . CMR tổng : S = 1! + 2! + 3! + .... n! không thể là số chính phương Câu 2. (4đ) Chứng minh rằng : là một số hữu tỉ. Câu 3.(2.5đ) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + xz = 2007. Tính giá trị của biểu thức : Câu 4. (3.5đ) Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của : Câu 5.(4.5đ) Cho rABC có AB = c , BC = a , CA = b . Gọi x, y, z là độ dài các đường phân giác trong của rABC. Chứng minh rằng : Câu 6. (3.5đ) Trên các cạnh BC, CA, BC của rABC ta lấy lần lượt các điểm A’, B’, C’ sao cho : Xác định k để diện tích tam giác A’B’C’ nhỏ nhất . HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN –LỚP 9 Năm học : 2008– 2009 I. Số học (6.0điểm) Câu 1. (3điểm) Chứng minh rằng tổng : S = 12013 + 22013 + .... + 20122013 chia hết cho 11 Câu 2. (3điểm) Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn hệ thức ab = cd. Chứng minh rằng số a2008 + b2008 + c2008 + d2008 là hợp số . II. Đại số (8điểm) Câu 3. (2điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn : Tính A = x2009 – 2x1004.y1005 + y2009 Câu 4. (3điểm) Chứng minh đa thức 2008x2009 – 2009x2008 + 1 chia hết cho đa thức (x – 1)2 Câu 5. (3điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2009 III. Hình học (6điểm) Câu 6. (3điểm) Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh a, b, c và diện tích là S. Chứng minh rằng : Câu 7. (3điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Tìm các điểm M, N, P lần lượt ở trên các cạnh BC, AC, AB sao cho tam giác MNP có chu vi nhỏ nhất.