Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2010 – 2011 môn: Toán 8

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Đề chính thức) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2010 – 2011 Môn: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1 (4 điểm): a) Tìm số tự nhiên có chín chữ số: A = , trong đó , và đồng thời A viết được dưới dạng A = với p1, p2, p3, p4 là bốn số nguyên tố. b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2010. Tính giá trị của biểu thức A = a4 + b4 + c4 Bài 2 (4 điểm): a) Tìm các số a và b sao cho chia cho thì dư 7, chia cho thì dư . b) Cho x + y = 2. Chứng minh rằng: x2011 + y2011 x2012 + y2012. Bài 3 (4 điểm): a) Giải phương trình: = 1 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 - 4xy + 5y2 - 16 = 0 Bài 4 (5 điểm): Từ ba đỉnh A,B,C của tam giác ABC ta vẽ ba đường thẳng song song với nhau , chúng lần lượt cắt cạnh BC và các đường thẳng CA,AB tại D, E, F . Chứng minh rằng : a) b) Bài 5 (3 điểm): Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4cm. M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN. a) Tính diện tích của tam giác ABC. b) Xác định vị trí của M, N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất. Tìm độ dài nhỏ nhất đó. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8 Bài Đáp án Điểm 1 a Ta có: A = =>phải là bình phương của một số nguyên tố p khác 7, 11, 13. Do < 1000 và , nên suy ra: 100 < < 500 => 10 p => (thỏa bài toán). Vậy: 2 điểm b Ta có: => a2b2 + b2c2 + c2a2 = (ab + bc + ca)2 – 2abc(a + b + c) = (-1005)2 – 2abc.0 = 10052 => A = a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 20102 – 10052 = 2.10052 = 2020050 2 điểm 2 a Ta có: Thay x = -1 và x = 3 vào đẳng thức trên ta được: 2 điểm b Cho x + y = 2.Chứng minh rằng x2011 + y2011 x2012 + y2012. Xét ( x2012 + y2012) – (x2011 + y2011) = x2011(x – 1) + y2011 ( y – 1) = x2011(1 – y) + y2011 ( y – 1) (do x – 1 = 1 – y) Vậy ( x2012 + y2012) – (x2011 + y2011) = (1 – y) ( x2011 – y2011) + Giả sử x y => x2011 y2011 và x 1 y do đó (1 – y) ( x2011 – y2011) 0 (đpcm) (0,5 điểm) + Tương tự nếu y x => y2011 x2011 và y 1x do đó (1 – y) ( x2011 – y2011) 0 (đpcm) (0,5 điểm) (dấu bằng xảy ra khi x = y = 1) 2 điểm 3 3 a Ta có: (*) . ĐK: x – 5, x 3 +) Xét x > 3, ta có: (*) (loại) +) Xét x < 3 và x – 5, ta có: (*) (nhận) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = – 7 2 điểm b Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x2 - 4xy + 5y2 - 16 = 0 Ta có: x2 - 4xy + 5y2 - 16 = 0x2-4xy+4y2+y2 = 16 (x-2y)2+y2 = 16 Vì x, yZ nên (x-2y)Z Tổng hai bình phương của hai số nguyên bằng 16 thì chỉ có 2 khả năng xảy ra a) b) Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên: (4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4) 2 điểm 4 a - Theo hệ quả của định lí Ta-lét có: - Cộng từng vế ta được : - Chia 2 vế cho AD ta được: 2 điểm b - Từ , lập luận chứng minh được: ; ; . - Suy ra được: hay 3 điểm 5 a - Tính được độ dài đường cao: (cm) - Suy ra được diện tích: (cm2) 1 điểm b - Gọi P và Q là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB. Ta có tam giác ANQ vuông ở Q có = 600 Þ AQ = AN Tương tự đối với tam giác MPB ta có PB = BM Do đó : AQ + PB = (AN + NC ) = - Kẻ MH ^ QN. Tứ giác MPQH là hình chữ nhật Ta có MN ≥ MH = PQ = AB – (AQ + BP) = AB – Như vậy: Khi M, N di chuyển ta luôn có MN ≥ AB. và MN = AB khi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Suy ra vị trí của M, N cần xác định lần lượt là trung điểm của BC và AC. Khi đó độ dài nhỏ nhất của MN là MN = AB = . 4 = 2 (cm) 2 điểm