Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn: Toán khối 11

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 2008-2009 MÔN: TOÁN KHỐI 11 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài I: (4 điểm) Câu 1. Giải các phương trình sau: Câu 2. Tính các giới hạn sau: Bài II: (4 điểm) Câu 1. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) gồm 3 chữ số; b) lẻ gồm 3 chữ số khác nhau Câu 2. Tung hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của các biến cố: Có tổng số chấm bằng 7. Có tổng số chấm lẻ hoặc chia hết cho 3. Bài III: (3 điểm) Cho dãy số (Un), với u1 = -3; un+1 = un+2; Viết 5 số hạng đầu của dãy số đó; Chứng minh un= 2n – 5 bằng phương pháp qui nạp. Chứng minh dãy số đã cho là một cấp số cộng. Tìm công sai d và tính S10. Bài IV: (2 điểm) Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức NiuTơn của (1 + x)n, biết rằng tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng 1024. Bài V: (7 điểm) Cho hình thang ABCD với AB//CD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB và M là một điểm tùy ý thuộc SD. Xác định giao tuyến d của 2 mp (SAD) và (SBC). Tìm giao điểm N của SC và mp (MIJ); giao điểm K của IM và mp (SBC). Chứng minh IM, JN và d đồng quy. Tìm quỹ tích điểm P là giao của IN và JM khi M di chuyển trên cạnh SD. ----------------------------HẾT----------------------------- ®¸p ¸n – thang ®iÓm ®Ò thi häc sinh giái cÊp tr­êng n¨m häc 2008-2009 M«n: To¸n – líp 11 Bài Nội dung Điểm I 4 Câu 1 2 a ĐK: xK (K Z) Đặt t = ; t 2; Đưa về t2 – 3t + 2 = 0 t = 1 (Loại) hoặc t = 2 =2 x = 0,25 0,25 0,5 b Ta có Sin2x + Cos2x =1 Pt Sin2x - CosxSinx = 0 0,5 0,5 Câu 2 2 a Ta có 1 + 2 + 3 + n = Do đó 0,5 0,5 b Ta có Do đó 0,5 0,5 II 4 Câu 1 2 a Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm Có 6 cách chọn chữ số hàng chục Có 6 cách chọn chữ số hàng đơn vị Do đó có 6.6.6 = 216 số có 3 chữ số 0,5 0,5 b Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị Có 5 cách chọn chữ số hàng chục Có 4 cách chọn chữ số hàng trăm Do đó có 5.4.3 số lẻ có 3 chữ số khác nhau 0,5 0,5 Câu 2 2 Không gian mẫu , n() = 36 0,25 a A: Tổng số chấm bằng 7; A = {(1,6); (2,5); (3, 4); (4,3); (5,2); (6,1)}n(A) = 6 P(A) = 0,25 0,5 b B: Tổng số chấm lẻ hoặc chia hết cho 3; B = {(1,2); (1,5); (1,6); (2,1); (2,3); (2,4); (2,5); (3,2); (3,3); (3,4); (3,6); (4,2); (4,3); (4,5); (5,1); (5,2); (5,4); (5,6); (6,3); (6,5); (6,6)} n(B) = 21 P(B) = 0,5 0,5 III 3 a -3; -1; 1; 3 ; 5 1 b - Với n = 1 ta có u1 =2.1 – 5 = - 3 đúng. - Giả sử uk = 2k – 5 với k 1. Cần chứng minh uk+1= 2(k+1) – 5. Thật vậy ta có un+1 = un + 2 (gt) Do đó uk+1= uk + 2 = 2k – 5 + 2 = 2(k+1) – 5. Vậy theo PPQN toán học un = 2n - 5 0,5 0,5 c Ta có un+1 - un = 2, do đó (un) là một cấp số cộng, d=2. S10=10.(-3) + = 60 0,5 0,5 IV 2 Ta có (1+1)n =2n = (*). Nhị thức (1+x)n= Theo giả thiết ta có =1024 Suy ra 2n = 1024 = 210 (theo (*)) n = 10. Hệ số của x5 trong khai triển trên là =252 0,5 0,5 0,5 0,5 V 7 Câu 1 - (SAD) (SBC) = SL với L là giao của AD và BC. d SL 1 - Kẻ MN // IJ N (MIJ) SC và IM JN = {K} Suy ra K IM (SBC) 1 Câu 2 - MI cắt NJ tại K K = MI (SBC). 1 Câu 3 - K d, do đó MI, NJ, d đồng quy tại K 1 Câu 4 - O = AC BD. Quỹ tích P là đoạn thẳng SO 3