Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2008-2009 môn: Toán 9. thời gian làm bài: 120 phút

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯƠNG TRÀ ----------------- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN 9. Thời gian làm bài: 120 phút ––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm) Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình phương của một số nguyên. Câu 2: (2 điểm) Hãy tính giá trị của biểu thức P = a3 + b3 – 3(a + b) + 2008 bết rằng: (Không sử dụng máy tính cầm tay). Câu 3: (3 điểm) Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC. a.- Viết phương trình của đường thẳng BC. b.- Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 4: (5 điểm) a.- Cho x > 0; y > 0. Chứng minh rằng b.- Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Đặt p = . Chứng minh rằng nếu thì tam giác đó là tam giác đều. Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a, b, c. Chứng minh rằng: Câu 6: (4 điểm) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD của hình chữ nhật ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH và CD. Chứng minh rằng 4 điểm A, P, Q và D cùng nằm trên một đường tròn. –––––––––––––– PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯƠNG TRÀ ----------------- ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN 9. ––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm) Gợi ý giải: + Để ý rằng nếu n là một số nguyên bất kì thì số dư khi chia n2 cho 3 chỉ có thể là 0 hoặc 1 (1). (Thật vậy: Nếu n = 3k thì n2 chia hết cho 3; nếu n = 3k 1 thì n2 = 3p + 1 nên n2 chia 3 dư 1 với k; p là các số nguyên ). + Gọi a – 1, a, a + 1 là ba số nguyên liên tiếp. Đặt m = (a – 1)2 + a2 + (a + 1)2 thì m = 3a2 + 2 (2) Vậy từ (1) và (2) suy ra tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình phương của một số nguyên. Câu 2: (2 điểm) Gợi ý giải: Từ giả thiết suy ra a3 = 10 + 3a; b3 = 34 + 3b Suy ra P = (a3 – 3a) + (b3 – 3b) + 2008 = 2052. Câu 3: (3 điểm) Gợi ý giải: a.- + Viết được phương trình của đường thẳng MP là y = x – + Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng y = x + b. Vì N thuộc đường thẳng BC suy ra b = – 6. Vậy phương trình của đường thẳng BC là y = x – 6 . b.- + Tương tự ta có PTĐT AC là y = – 5x + 28 và PTĐT AB là y = x – 6 + Giải hệ ta suy ra tọa độ đỉnh A là A (4; 8) Tương tự B(0; – 6); C(6; – 2) + Gọi d1 là đường thẳng đia qua A và song song với BC, d2 là đường thẳng đi qua C và song song với AB. Lập luận, xác định được phương trình dường thẳng d1 là y = ; phương trình của đường thẳng d2 là y = x – 23 (2). Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta có nghiệm của hệ (x = 10; y = 12) là tọa độ giao điểm của d1 và d2. Vậy D(10; 12). Câu 4: (5 điểm) Gợi ý giải: a.- Vì x > 0; y > 0 nên ... (x – y)2 0 Vậy nếu x > 0; y > 0 thì . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y. b.- Từ giả thiết suy ra > 0 ; Áp dụng kết quả câu a ta có: Tương tự, suy ra Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy ta có điều phải chứng minh. Câu 5: (4 điểm) Gợi ý giải: Vẽ đường cao AH. Ta có Tương tự, suy ra: Vậy (1) Và (a + b + c) = (SinA + Sin B + SinC).k Suy ra: (2) Từ (1) và (2) ta có đ.p.c.m. Câu 6: (4 điểm) Gợi ý giải: Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh IP AD từ đó suy ra I là trực tâm của tam giác APD. Suy ra DI AP (1). Chứng tỏ được tứ giác DIPQ là hình bình hành, suy ra DI // PQ (2). Từ (1) và (2) suy ra AP PQ suy ra đ.p.c.m. * Chú ý: + Điểm tối đa ở mỗi phần chỉ chấm với những bài làm có chữ viết rõ ràng, trình bày sạch, đẹp. Điểm tổng cộng của toàn bài không làm tròn. + Biểu điểm chi tiết cho từng câu, từng phần tổ chấm thảo luận để thống nhất. ––––––––––––