Đề thi học sinh giỏi lớp 10 năm học 2007 - 2008 môn thi : toán

Sở GD & ĐT thanh hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 10 Trường THPT Đông Sơn I Năm học 2007 - 2008 --------***-------- Môn thi : Toán Ngày thi: 04 / 05/ 2008 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề -------------------------***----------------------------- (2 điểm) Cho . Tìm m để f(x) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn . (2 điểm) Giải hệ phương trình (2điểm) Cho , Tính giá trị của biểu thức (2điểm) Giải bất phương trình sau: (2điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC lần lượt ứng với các góc A, B, C. Chứng minh rằng nếu thì tam giác ABC đều. (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy, cho elip , gọi F1, F2 là hai tiêu điểm của (E). Tìm toạ độ điểm M thuộc (E) sao cho . (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy cho hai đường tròn . Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.  (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy cho hai điểm A(1 ; 1) và B(4 ; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – 1= 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. (2điểm) Cho n + 2 số dương thoả mãn , . Chứng minh rằng: . (2 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm ----------------Hết---------------- Họ và tên thí sinh :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh :. . . . . . . Trường THPT Đông Sơn 1 kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Năm học 2007 - 2008 Hướng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm 1 Điều kiện để f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 0,5 Biến đổi 0,75 Do 0,5 Đáp số m = - 1 0,25 2 0,5 Suy ra là nghiệm của phương trình 0,5 Suy ra hoặc 0,5 Hệ phương trình có 4 nghiệm ; ; 0,5 3 Do >2 nên a tồn tại Biến đổi 1,0 0,5 0,5 4 Điều kiện 0,25 Đặt ta có bất phương trình 0,5 0,5 + Với 0,5 Vậy bất phương trình có tập nghiệm 0,25 5 Ta có 0,5 (1) 0,5 (2) 0,75 Từ (1) và (2) ta suy ra tam giác ABC đều 0,25 6 Ta có suy ra 0,25 Do tam giác vuông tại M nên 0,5 Gọi . Ta có 0,5 0,5 Vậy có 4 điểm cần tìm 0,25 7 (C1) có tâm I1(0; 2), bán kính R1 = 3; (C2) có tâm I2(3; 4), bán kính R2 = 3; 0,25 Ta có (C1) và (C2) là hai đường tròn cắt nhau và có bán kính bằng nhau nên chúng có đúng hai tiếp tuyến chung, hai tiếp tuyến này song song với đường thẳng đi qua I1 và I2. 0,5 , tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng: 0,5 Ta có 0,5 Vậy phương trình tiếp tuyến chung (C1) và (C2) là 0,25 8 Đường thẳng AB có phương trình 0,25 Do C thuộc đường thẳng x – 2y – 1= 0 nên C = (2c + 1; c) 0,25 Ta có 0,75 + Với + Với 0,5 Vậy có hai điểm ; 0,25 9 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có với k = 1 ;2 ; ... ; n 0,5 Suy ra 0,5 0,5 0,25 Dấu “=” xảy ra khi 0,25 10 Đặt , điều kiện 0 ≤u, v ≤ 3. Ta có hệ 0,25 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta chọn hai vectơ 0,5 áp dụng bất đẳng thức ta được 0,5 Đẳng thức xảy xa khi cùng hướng, tức là Khi đó . 0,25 Hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m lớn hơn hoặc bằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức với điều kiện 0,25 Vậy các giá trị m cần tìm là 0,25 Chú ý : - Hướng dẫn chấm có 03 trang - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5 - Thí sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa