Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2007 - 2008 môn: toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2007 - 2008 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180 PHÚT Bài 1 (5 điểm): Cho biểu thức: P(x) = Rút gọn biểu thức P(x). Tính giá trị của x để P(x) =. Chứng minh rằng P(x) với mọi x ≠ 1 và x 0 Bài 2 (5 điểm): Cho phương trình có ẩn x (m là tham số): x – mx + m – 1 = 0 Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng. Đặt Chứng minh B = m2 – 8m + 8 Tính giá trị nhỏ nhất của B và giá trị của m tương ứng. Bài 3 (4 điểm): tính giá trị của biểu thức: M = x + y, biết: giải hệ phương trình: Bài 4 (3 điểm): Cho đường tròn tâm O, dây AB < 2R. Gọi C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Kẻ hai dây CD và CE cắt dây AB lần lượt tại hai điểm M và N. Chứng minh rằng: Tứ giác DENM nội tiếp. Cho AN = BM. Chứng tỏ rằng tứ giác DENM là hình thang. Bài 5(3 điểm): Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm E AB, điểm DAC. Kẻ DF // CE (F AB), kẻ EM // BD (MAC). Chứng minh rằng: FM // BC. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1 (5 điểm): ĐKXĐ: x 0, x1 0,25 đ a) P(x) = 0,25 đ = 0,25 đ = 0,25 đ = 0,25 đ = 0,25 đ b) Để P(x) = thì = 0,25 đ ĩ 0,25 đ ĩ -10 - = 3 – 4 ĩ -11 = -1 0,25 đ ĩ x = 0,25 đ Vậy khi x = thì P(x) = c) Để P(x) thì 0,25 đ ĩ 0,25 đ ĩ 0,50 đ ĩ 0,25 đ Do x 0 và x 1 nên 3( + 3) > 0 0,50 đ => -16 9 0,25 đ Vậy x 1 và x 0 0,25 đ Bài 2 (5 điểm): Phương trình: x – mx + m – 1 = 0 (*) 1. = (–m)2 – 4.1.(m – 1) = m2 – 4m + 4 0,50 đ = (m – 2)2 0 0,25 đ Vậy (*) luôn luôn có nghiệm x1, x2 m 0,25 đ * phương trình đã cho có nghiệm kép 0,25 đ (m – 2)2 = 0 m = 2 0,25 đ Nghiệm kép: x1 = x2 = 0,25 đ 2. a) Ta có: 0,50 đ (1) 0,25 đ Theo định lí Vi–ét thì: (2) 0,50 đ Thay (2) vào (1) có: B = m2 – 8(m –1) = m2 – 8m +8 (đpcm) 0,50 đ B = m2 – 8m +8 = (m2 – 8m +16) – 8 0,25 đ = (m – 4)2 – 8 0,25 đ Vì (m – 4)2 0 (m – 4)2 – 8 –8 0,50 đ Vậy giá trị nhỏ nhất của B là – 8 0,25 đ Dấu “=” xảy ra m – 4 = 0 m = 4 0,25 đ Bài 3 (4 điểm): Ta có: 0,50 đ 0,25 đ y = – x + 0,25 đ Tương tự ta cũng có: x = – y + 0,25 đ Vậy: x + y = – x + – y + 0,25 đ x + y = – x – y x + y = – (x + y) x + y = 0 0,25 đ Vậy: với thì M = x + y = 0 0,25 đ Phương trình: Giải: Điều kiện: x 0, y 0 0,25 đ Nhân vế theo vế hai phương trình của hệ đã cho ta được: 0,25 đ (x + y)(x +y) = xy 0,25 đ (x + y)2 – xy = 0 0,25 đ x2 + xy + y2 = 0 0,25 đ 0,25 đ Ta có: x 0, y 0 0,25 đ Vậy hệ đã cho vô nghiệm. 0,25 đ Bài 4 (3 điểm): Vẽ hình, ghi GT và KL đúng 0,25 đ Ta có: 0,25 đ (Góc có đỉnh bên trong đường tròn) Và 0,25 đ (Tính chất góc nội tiếp) 0,25 đ Hay Mà (gt) 0,25 đ Nên Vậy = 1800 Mà và là hai góc đối tứ giác DENM nội tiếp. 0,25 đ Do AN = BM (gt) AM + MN = BN + MN 0,25 đ AM = BN Mà (gt) AC = CB (Quan hệ giữa cung và dây) 0,25 đ CAM = CBN (c.g.c) 0,25 đ (hai góc tương ứng) (tính chất góc nội tiếp của một đường tròn) (tính chất góc nội tiếp) 0,25 đ Mà hai góc BAE và DEA ở vị trí so le trong nên AB // DE. Mà MN AB MN // DE 0,25 đ Vậy tứ giác DENM là hình thang 0,25 đ Bài 5 (3 điểm): Vẽ hình và ghi GT, KL đúng 0,25 đ Do DF // CE (gt) nên (theo đ/l Ta–let) 0,50 đ AF.AC = AD.AE (1) 0,50 đ Do EM // BD (gt) nên (theo đ/l Ta–let) 0,25 đ AM.AB = AD.AE (2) 0,25 đ Từ (1) và (2) AF.AC = AM.AB 0,25 đ 0,50 đ FM // BC (Định lí Ta–lét đảo) 0,50 đ –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––