Đề thi học sinh giỏi môn thi: Toán lớp 7

§Ò thi häc sinh giái m«n thi : to¸n líp 7 C©u 1 : (2 ®iÓm) TÝnh : a) A= b) B= 512-...- C©u 2 : (2 ®iÓm) a) T×m x,y nguyªn biÕt : xy+3x-y=6 b) T×m x,y,z biÕt : (x,y,z0) C©u 3 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng : Víi n nguyªn d­¬ng ta cã S=3n+2-2n+2+3n-2n chia hÕt cho 10 b) T×m sè tù nhiªn x,y biÕt : 7(x-2004)2 = 23-y2 C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC , AK lµ trung tuyÕn . Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B , bê lµ AC , kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC ; trªn Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM=AC . Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C , bê lµ AB , kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN=AB . LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK=KP . Chøng minh : a) AC//BP. b) AK vu«ng gãc víi MN. C©u 5 : (1 ®iÓm) a , b , c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ c¹nh huyÒn . Chøng minh r»ng : a2n + b2n c2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0. ®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái m«n thi : to¸n líp 7 C©u 1 : (2 ®) a) (1®) A= b)(1®) B=512(1-) 0,25 B=512 0,5 B=512 B=512 .=512. 0,25 C©u 2 : (2 ®) a) (1®) xy+3x-y=6 (xy+3x)-(y+3)=3 0,25 x(y+3)-(y+3) =3 (x-1)(y+3)=3=3.1=-3.(-1) 0,25 Cã 4 tr­êng hîp x¶y ra : ; ; ; Tõ ®ã ta t×m ®­îc 4 cÆp sè x;y tho¶ m·n lµ : (x=4;y=-2) ; (x=2;y=0) ; (x=-2;y=-4) ; (x=0; y=-6) 0,5 b : (1®) Tõ , suy ra = = , suy ra x+y+z= 0,5 Tõ ®ã ta cã x+y= ; x+z=-y ; y+z=-x 0,25 Thay vµo ta t×m ®­îc x= ; y= ; z=- 0,25 C©u 3 : (2®) a) (1®) S=(3n+2 + 3n )-(2n+2 + 2n) =3n (32 + 1) - 2n-1(23 + 2) 0,5 S=3n.10 - 2n-1.10=10(3n - 2n-1) chia hÕt cho 10 0,5 b) (1®) 7(x-2004)2 = 23-y2 7(x-2004)2 + y2 =23 (*) V× y2 0 nªn (x-2004)2 , suy ra (x-2004)2 =0 hoÆc (x-2004)2=1 0,5 Víi (x-2004)2 =0 thay vµo (*) ta cã y2=23 (lo¹i) Víi (x-2004)2 =1 thay vµo (*) ta cã y2=16 0,25 Tõ ®ã ta t×m ®­îc (x=2005;y=4) ; (x=2003; y=4) 0,25 C©u 4 : (3 ®) a) (1®) Chøng minh (c.g.c) (0,5®) Suy ra , tõ ®ã suy ra AC//BP (0,5®) b) (2®) Chøng minh gãc ABP=gãc NAM (cïng bï gãc BAC) (0,5®) Chøng minh (c.g.c) (0,5®) Suy ra Gäi H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MN Chøng minh (0,5®) Suy ra =900 . Do ®ã AKNM t¹i H (0,5®) C©u 5 : (1®) Víi n=1 , theo ®Þnh lÝ Pythagore ta cã : a2 + b2 = c2 (§óng) 0,25 Gi¶ sö ®óng víi n=k , ta cã a2k + b2k c2k Víi n= k+1 , ta cã a2(k+1) + b2(k+1) = =(a2k + b2k)(a2 + b2) - a2b2k - b2a2k c2kc2=c2(k+1) 0,5 VËy bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n=k + 1 Do ®ã ta cã a2n + b2n c2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0. 0,25