Đề thi học sinh giỏi môn: Toán 12 kèm lời giải

Đề thi học sinh giỏi . Môn : Toán 12 Thời gian làm bài 180 phút ========= Câu I (5,0 điểm) Cho hàm số: y = x4 – 6x2 + 4x + m 1) Chứng minh rằng: "m hàm số luôn có 3 điểm cực trị. 2) Tìm m để tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số có trọng tâm là gốc toạ độ. Câu II (3,0 điểm) Cho hàm số: . Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Viết phương trình 2 đường thẳng qua I có hệ số góc nguyên sao cho 2 đường thẳng đó cắt đồ thị (C) tại 4 điểm là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Câu III (4,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2) Giải phương trình: x2 + 6x + 3 = (2x + 3) Câu IV (6,0 điểm) 1) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 đường thẳng: (d1): x – 2y – 1 = 0 (d2): 2x + y – 7 = 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và tạo với d1, d2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1 với d2. Tính diện tích D đó. 2) Tìm m để trên đường thẳng y = m có đúng 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến tạo với nhau góc 600 tới đường tròn: (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 7 = 0 Câu V (2,0 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi DABC nhọn ta có: tgA + tgB + tgC + 4(sinA + sinB + sinC) ==================== Lời giải sơ lược và biểu điểm đề thi học sinh giỏi Môn : Toán 12 Lời giải Điểm Câu I(5,0 điểm) 1) Xét hàm số: y = x4 – 6x2 + 4x + m có TXĐ: D = R Ta có: y’ = 4x3 – 12x + 4 = g(x) Xét g(x) trên R ta có : g’(x) = 12x2 – 12 = 0 Û x = ±1 Ta có bbt của g(x): x -1 1 + g’(x) + 0 - 0 + 4 + g(x) - -4 Từ bbt ị g(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó ị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị x1, x2, x3 là nghiệm phương trình g(x) = 0. 2) Ta có: Với x1, x2, x3 là các điểm cực trị của hàm số ị y’(x1) = y’(x2) = y’(x3) = 0 ị Toạ độ các điểm cực trị: A(x1; -3x12 + 3x1+ m); B(x2; -3x22 + 3x2 + m) và C(x3; -3x32 +3x2 + m ) ị Trọng tâm DABC là: G() Mà Do đó G º O Û -[(x1+x2+x3)2-2(x1x2+ x2x3+ x3x1)]+ m = 0 Û m = 6 Vậy giá trị cần tìm là m = 6 Câu II: (3,0 điểm) Xét hàm số: (C) Ta có: Đồ thị hàm số có TCĐ: x = -1 Đồ thị hàm số có TCX : y = x Giao điểm 2 đường tiệm cận là I(-1; -1) Xét đường thẳng (d1) và (d2) đi qua I(-1; -1)và có hệ số góc k1, k2 ị phương trình của d1 và d2 là: y = k1(x +1) – 1 và y = k2(x + 1) – 1 Không mất tính TQ ta giả sử k1< k2; k1, k2 ẻ Z. ị Toạ độ giao điểm là: M() và N() (với k1> 1) Tương tự ta có giao điểm của (d2) và (C) là: P() và Q() (với k2> 1) Do I là tâm đối xứng của đồ thị ịMPNQ là hình bình hành. Tứ giác MPNQ là hình chữ nhật Û NM = PQ Û IM = IP Û IP2 = IQ2 Û (Vì k1 >1, k2>1) ị(d1): y = 2x + 1 và (d2): y = 3x + 2 Câu III(4,0 điểm) Giải hệ: Xét f(t) = 3t + 3t trên R có f’(t) = 3tln3 + 3 > 0 "t ẻR ị f(t) là hàm số đồng biến trên R ị f(x) = f(y) Û x = y Vậy hệ phương trình đã cho Û Xét g(x) = 3x +x –4 trên R có g’(x) = 3xln3 + 1 > 0 ị g(x) đồng biến trên R. Mà g(1) = 0 Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình: 3x + x – 4 = 0 ị Nghiệm hệ đã cho là: TXĐ: R Ta có phương trình Û Đặt (t ) Phương trình đã cho trở thành: t2 – (2x +3)t + 6x = 0 Û t = 3 ị t = 2x ị Kết luận: Phương trình đã cho có 3 nghiệm: Câu IV(6,0 điểm) (d1) có VTPT: (1; -2) ; (d2) có VTPT: (2; 1) Do = 0 ị (d1) ^ (d2) Gọi I là giao điểm của (d1) với (d2) ị I(3; 1) Giả sử (D) là đường thẳng cần tìm ị D phải vuông góc với các đường phân giác của các góc tạo bởi (d1) và (d1). Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi (d1)(d2) là: x + 3y – 6 = 0 (D1) Û 3x – y – 8 =0 (D2) *Trường hợp 1: D ^ D1 ị phương trình đường thẳng(D): y = 3x ị Giao điểm của D và d1 là: A() ị SDIAB= (đvdt) * Trường hợp 2: D ^ D2 ị D có phương trình: Giao điểm của D và d1 là: A1() ị (đvdt) Xét (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 7 = 0 Û (x-1)2 + (y - 2)2 = 12 ị (C) có tâm I(1; 2) và R = Giả sử qua M(x, y) kẻ được 2 tiếp tuyến MT1, MT2 tới (C) tạo với nhau góc 600 Có 2 khả năng xảy ra: * Khả năng 1: góc = 600 ị góc T1MI = 300 Trong tam giác vuông MIT1 có ị M thuộc đường tròn tâm I(1, 2) bán kính R1 = có phương trình: (x -1)2 + (y - 2)2 = 48 * Khả năng 2: Góc T1MT2 = 1200 ị góc IMT1 = 300 Trong tam giác vuông MIT1 có: ị M thuộc đường tròn (C2) có tâm I(1; 2) và R2 = 4 có phương trình: (x - 1)2 + (y - 2)2 = 16 Trên đường thẳng y = m có đúng 4 điểm thoả mãn yêu cầu bài toán Û đường thẳng y = m cắt (C1) và (C2) tại 4 điểm phân biệt Û y = m cắt (C2) tại 2 điểm phân biệt Û < Û < <. Kết luận: Giá trị cần tìm của bài toán là < <. Câu V(2,0 điểm) Xét hàm số: y = tgx + 4sinx – 6x trên () Có y’ = 0 Û (2cosx -1)(2cos2x - 2cosx - 1) = 0 Û cosx = Û x = Trên () hàm số có điểm cực tiểu duy nhất x = ị áp dụng kết quả trên với x = A ; x = B; x = C ị điều phải chứng minh. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.75 Chú ý: Trên đây là lời giải sơ lược, khi chấm cần bỏ sung chi tiết hơn. Mọi cách giải khác nếu đúng đều cho điểm tối đa.