Đề thi học sinh giỏi môn toán 12 vòng 1 ( thời gian 120 phút )

trường THPT Hồng Lĩnh --- Tổ toán --- Đề thi học sinh giỏi môn toán 12 vòng 1 ( Thời gian 120 phút ) Bài 1) ( 3 điểm ) a) Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh: . b) Ch ứng minh : v ới m ọi x>0 ta c ú : Bài 2 ) ( 3 điểm ) Cho phương trỡnh: cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. a/ Giải phương trỡnh khi a = . b/ Với giỏ trị nào của a thỡ phương trỡnh cú nghiệm. Bài 3 ) (4 điểm ) Cho hỡnh chúp S.ABCD, đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật cú AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c. K là hỡnh chiếu vuụng gúc của B xuống AC. a/ Tớnh độ dài đoạn vuụng gúc chung của SA và BK. b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD. Chứng minh: Cỏc đường thẳng BM và MN vuụng gúc nhau./. Đáp án môn toán – hsg lớp 12 Bài 1) ( 3 điểm ) a) Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh: . Đặt . Khi đú Pt t y y ≥ -5 y = -5 -8 ≤ y ≤ -5 y = -8 y = -9 y ≤ -9 O -8 -9 Pt (1) là Pt hoành độ giao điểm của (P): y = t2 – 2t – 8 và d: y = m. trờn hệ trục toạ độ Oty. Dựa vào đồ thi ta cú: m > - 5 ∨ m < - 9 thỡ khụng cú nghiệm t nờn khụng cú nghiệm x. m = - 5 cú 1 nghiệm x. - 8 < m < - 5 ∨ m = - 9 cú 1 nghiệm t nờn cú 2 nghiệm x. - 9 < m ≤ - 8 cú 2 nghiệm t nờn cú 4 nghiệm x. ( có thể dùng đạo hàm xét tính đồng biến – nghịch biến ) b) Ch ứng minh : v ới m ọi x>0 ta c ú : Xét hàm số : f(x)=; f(x)/=1- ; tính đến đạo hàm bậc 4 ta có f(4)(x)=x-sinx>0 với mọi x>0 ; dùng tính chất đồng biến suy ngược lên ta có điều phải chứng minh Bài 2 ) ( 3 điểm ) Cho phương trỡnh: cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. a/ Giải phương trỡnh khi a = . b/ Với giỏ trị nào của a thỡ phương trỡnh cú nghiệm. (0.5 đ) + Đặt t = sinx + cosx = cos3x + sin3x = (cosx + sinx)(sin2x + cos2x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx) vỡ t2 = 1 + 2sinxcosx nờn sinxcosx = và cos3x + sin3x = . (0.5 đ) + Phương trỡnh (1) trở thành: + a. = 0 Û t3 – at2 – 3t + a = 0 (2). Cõu a / (1 đ) + Với a = : (2) trở thành: t3 – t2 – 3t + = 0 Û (t +)(t2 - 2t + 1) = 0 Û (t +)(t - + 1)(t -- 1) = 0 Û t = - hay t =- 1 hay t =+ 1. (0,25 đ) + so lại điều kiện: | t | Ê nờn phương trỡnh (1) tương đương với: . Cõu b / (0.25đ) + Phương trỡnh (1) cú nghiệm khi và chỉ khi f(t) = t3 – at2 – 3t + a = 0 cú nghiệm t ẻ[-; ] (0.25đ) + f(t) liờn tục trờn R f(-) = - a ; f() = -- a; f(0) = a. a = 0: f(t) cú nghiệm t = 0 ẻ [-; ] a < 0: f(-).f(0) = a(- a) < 0 ị f(t) = 0 cú nghiệm t ẻ(-;0). a > 0: f(0).f() = a(-- a) < 0 ị f(t) = 0 cú nghiệm t ẻ(0;). (0.25đ) + Vậy phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi a. (có thể dùng phương pháp đạo hàm ; vẫn cho điểm tối đa ) Bài 3: ( 4điểm) _ D _ C _ B _ A _ S _ O _ K _ M _ N H (0.5 õ) Cõu a / (2. điểm) + Theo giả thiết ta được: SO ^ (ABCD) ị (SAC) ^ (ABCD). (0.5 õ) Mà BK è (SAC) và BK ^ AC ị BK ^ SA. + Gọi H là hỡnh chiếu của K xuống SA ị HK ^ SA và HK ^ BK ( vỡ HK è (SAC)) ị HK là đoạn vuụng gúc chung của SA và BK. Suy ra được: BH ^ SA và DHBK vuụng tại K. (0.5 õ) + Do DABC vuụng đỉnh B nờn: . (0.25 õ) (0.25 õ) + DSAB cõn đỉnh S, BH là đường cao nờn + Do DHBK vuụng tại K nờn: (0.5 õ) Cõu b (2. điểm) (0.5 õ) + ( vỡ M là trung điểm của AK) + (1. õ) + . + Do đú: Vậy: BM ^ MN. ( Cú thể tớnh và ỏp dụng định lý Pythagor).