Đề thi học sinh giỏi môn: Toán lớp 8

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN :TOÁN LỚP 8 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 b) c) 4x – 12.2x + 32 = 0 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và . Tính giá trị của biểu thức: Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a) Tính tổng b) Gọi Ai là phân giác của tam giác ABC; im, in thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. c) Chứng minh rằng: . ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: ( 0,25điểm ) Tính đúng a = 1 ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi là số phải tìm a, b, c, d N, (0,25điểm) với k, mN, (0,25điểm) Ta có: (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) hoặc m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 hoặc m = 67 m = 37 k = 56 k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng = 3136 (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) a) ; (0,25điểm) Tương tự: ; (0,25điểm) (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, abi, aic: (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) -BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó.