Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 huyện Yên Định

Đề số 1 Bài 1. Cho biểu thức : a.Rút gọn A. b.Tính A biết c.Tìm x để A > 1. Bài 2. Cho hàm số : a.Chứng minh rằng : Đường thẳng y = -x + k luôn cắt đồ thị tại hai điểm A và B. b.Tìm k sao cho OA OB. Bài 3. Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b ; AB = c. Chứng minh rằng : a)Nếu  = 2 thì a2 = b2 + bc. b)Ngược lại : nếu a2 = b2 + bc thì  = 2. c)Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết rằng số đo các cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp và  = 2. Bài 4. Cho Chứng minh rằng : Hướng dẫn giải. Bài 1.a. - Cần chỉ rõ ĐKXĐ của A là : - Rút gọn A từng phần ta được kết quả : b.Biến đổi : - Thay vào và rút gọn A ta có : c.Xét hiệu : Để A > 1 tức : A - 1 > 0 mà : buộc : Bài 2. a.ĐK : - Xét phương trình : (*). Ta có : Vậy (*) có hai nghiệm phân biệt. Chứng tỏ : y = -x + k luôn cắt tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ xA; xB. b. Hệ số góc của OA : Hệ số góc của OB : Do OA OB nên : tức là : (**). 1 2 1 d e c b a Theo Viet ta có : . Thay vào (**) ta có : Do k 0 nên : k - 2 = -1 k = 1. Bài 3. a)Kẻ phân giác AE (E BC). Suy ra : Â1 =Â2 = 1. Từ đó chỉ ra đồng dạng với (g.g). AC2 = EC . BC hay b2 = a.EC. (1) Do AE là phân giác : (2) Thay (2) vào (1) ta có : b2 = a . a2 = b2 + bc. b)Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Từ (c.g.c) 1 = , = mà cân ở A ( do AD = AB) nên 2 = . Vậy : = 2. . c)Theo câu a ta có : a2 = b(b + c) (1) a > b mà a, b, c là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có hai khả năng xẩy ra : *a = b + 1 hoặc a = b + 2. 1 - Nếu a = b + 1 thì từ (1) ta có : (b + 1)2 = b(b + c) b2 + 2b +1 = b2 + bc. b(c - 2) = 1 Khi đó xẩy ra b = 1 c - 2 = 1 c = 3 ; a = 2 loại vì : a = b + c. 2 - Nếu a = b + 2 thì từ (1) ta có : (b + 2)2 = b(b + c) b2 + 4b +4 = b2 + bc. b(c - 4) = 4 Ta có các trường hợp sau : *b = 1 ; c - 4 = 4 c = 8 ; a = 3 loại vì : a + b < c. *b = 2 ; c - 4 = 2 c = 6 ; a = 4 loại vì : c = a + b. *b = 4 ; c - 4 = 1 c = 5 ; a = 6 thoã mãn. Vậy ba cạnh của tam giác là : 4, 5, 6. Bài 4. - Xét hiệu : A = - Rút gọn : do Từ đó ta có điều phải chứng minh. Đề Số 2 Bài 1. Cho biểu thức : a.Rút gọn P. b.Tìm m để c.Tìm m N để P N. Bài 2. Cho phương trình : a.Chứng minh rằng : PT luôn có hai nghiệm x1 ; x2. b.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào . Bài 3. Cho tam giác ABC không cân nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường cao AI và BE cắt nhau tại H. a.Chứng minh : . b.Chứng minh : EI CO. c.Cho . Chứng minh : CH = CO. Bài 4.Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải Bài 1.a. ĐK : - Biến đổi rút gọn : b. Ta có : c. Viết P dưới dạng : Suy ra : là ước của 2. Từ đó tìm ra m = 4 hoặc 9. e o h f i k d b c a Bài 2. a. Tính : Vì nên PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2. b.Theo Viet ta có : Vậy : Hay : . Bài 3. a. CH cắt AB ở F ta có : CF AB. . b.Kẻ đường kính CD. Ta có : . Suy ra : hay EI CO. c.Chỉ ra : đồng dạng với . Suy ra : . Do nên Bài 4. Đặt Ta có hệ : Vậy m, n là nghiệm của phương trình : t2 -5t + 6 = 0. t1 = 2 ; t2 = 3. Thay vào tìm x , y ta được : hoặc Đề Số 3 Bài 1. Cho biểu thức : a.Rút gọn N. b.Tính N khi ; . c.Chứng minh : nếu thì N có giá trị không đổi. Bài 2. Cho hai hàm số : y1 = -x. y2 = x2 - 2(m+2)x + m2 +3m. Chứng minh rằng a.y1 luôn cắt y2 tại hai điểm phân biệt A và B. b.Khoảng cách AB không phụ thuộc vào m. Bài 3. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), M là một điểm trên cung BC không chứa A ( M không trùng với B,C ). Gọi H, I, K lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB, BC, CA. MI cắt BC ở E, AB cắt HM ở F. a.Chứng minh: Bốn điểm B,E,M,F thuộc một đường tròn. b.Chứng minh: H,I, K thẳng hàng. c.Tìm vị trí của M để HK lớn nhất. Bài 4. Tìm x , y N để : 1! + 2! +3! + …..+ x! = y2. Hướng dẫn giải Bài 1. a. ĐK : a , b 0 ; ab > 0 ; a b. - Rút gọn ta có kết quả : b.Biến đổi : Ta được : N = - . c. Ta có : Thay vào ta có : Bài 2. a. Xét phương trình : Hay : Ta có : . Chứng tỏ : y1 luôn cắt y2 tại hai điểm phân biệt A và B. b. Ta có : ; yA=- m ; yB = - m -3. Vậy : Bài 3. a. Gọi D là trung điểm cua BM. Do các tam giác BEM và BFM vuông nên DE = DF = DB = DM. Suy ra: B,E,M,F thuộc đường tròn đường kính BD. b.Chứng minh F,E, N thẳng hàng ( Dựa vào đường trung bình của tam giác). Suy ra: H,I,K thẳng hàng. c.Chứng minh cho . Do cố định nên cố định. Để HK lớn nhất thì AH lớn nhất mà AH = AM suy ra: AM lớn nhất khi nó là đường kính. Bài 4. Ta có : 1! + 2! + 3! +4! = 33. Nhận xét : x! có tận cùng là 0. Suy ra : 1! + 2! +3! + 4! + 5! +…..+ x! có tận cùng là 3 mà y2 không có tận cùng là 3. Vậy : x < 5. f n i o e m h b c k a Xét x = 1 , 2 , 3 , 4 ta được các cặp sau thoã mãn : và