Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Huyện Vĩnh Lộc (Có đáp án)

UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) 3x 9x 3 x 1 x 2 Cho biểu thức P = x x 2 x 2 x 1 a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b. Tìm x để P < 0 Bài 2: (4,0 điểm) a. Giải phương trình: x2 7x 6 x 5 30. 1 1 b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng a b . 4 a b Bài 3: (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương b. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z 2 Chứng minh A = xy chia hết cho 12 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'. a. Chứng minh ΔAC'C : ΔAB'B b. Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh rằng AM = AN. c. Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'. S ' Chứng minh rằng cos2 A cos2 B cos2 C 1 S Bài 5: (2,0 điểm) 34 Cho x, y là các số dương thỏa mãn x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 35 2 8 A 3x 4y 5x 7y ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 Bài Nội dung cần đạt Điểm Câu a: (2,0 điểm) - Tìm được ĐKXĐ: x 0, x 1 0,5 - Ta có 3x 9x 3 x 1 x 2 0,5 x x 2 x 2 x 1 3x 3 x 3 ( x 1)( x 1) ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) 3x 3 x 3 x 1 x 4 0,5 ( x 2)( x 1) x 3 x 2 1 ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) x 1 0,5 ( x 2)( x 1) x 1 Câu b: (2,0 điểm) - Ta có: P < 0 x 1 0,5 0 x 1 x 1 0(do x 1 0) x 1 1,0 x 1 0,5 - Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0 x 1 thì P < 0. Câu a: (2,0 điểm) Giải phương trình: x2 7x 6 x 5 30. - ĐKXĐ x 5 . - Ta có 0,25 x2 7x 6 x 5 30 x2 8x 16 x 5 6 x 5 9 0 2 x 4 2 x 5 3 0 2 1,0 - Vì x 4 2 0; x 5 3 0 nên 2 x 4 0 2 x 5 3 0 0,5 x 4 0 0,25 x 5 3 0 x 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2 - Nghiệm của phương trình đã cho là x = 4 Câu b: (2,0 điểm) 1 1 Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng a b . 4 a b 0,75 - Ta có 1 1 a b a b . 2 a b b a 0,75 - Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương a b a b 2 . 2 b a b a 0,5 1 1 - Do đó a b . 4 a b Câu a: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương - Để A là số chính phương thì A = n 2 + n + 6 = a2 (a N ) 0,25 4n2 4n 24 4a2 0,5 - Ta có: n 2 + n + 6 =a2 2a 2 2n 1 2 23 2a 2n 1 . 2a 2n 1 23 0,5 - Vì a, n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và 2a + 2n + 1 > 2a – 2n -1. Do đó 0,25 2a 2n 1 23 2a 2n 1 1 4a 24 4n 20 a 6 n 5 0,5 3 - Vậy n = 5 Câu b: (2,0 điểm) Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z 2 Chứng minh A = xy chia hết cho 12 - Xét phép chia của xy cho 3 1,0 Nếu xy không chia hết cho 3 thì x  1(mod3) y  1(mod3) x2 1(mod3) (Vô lí) 2 y 1(mod3) z2 x2 y2  2(mod3) Vậy xy chia hết cho 3 (1) - Xét phép chia của xy cho 4 Nếu xy không chia hết cho 4 thì x  1(mod 4) 0,5 y  1(mod 4) x2 1(mod 4) TH1: (vô lí ) 2 y 1(mod 4) z2 x2 y2  2(mod 4) TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc -1. Không mất tính tổng quát giả sử x  1(mod 4) y  2(mod 4) x2 1(mod8) ( vô lí) 2 y  4(mod8) 0,5 z2 x2 y2  5(mod8) - Vậy xy chia hết cho 4 (2) - Từ (1) và (2): Vậy xy chia hết cho 12 A B' C 4 N M B C A' Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C : ΔAB'B - Xét ΔAC'C;ΔAB'B có Góc A chung 2,0 Bµ' Cµ' 900 Suy ra: ΔAC'C : ΔAB'B Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN. 0,5 - Xét AMC vuông tại M đường cao MB' AM 2 AB '.AC 0,5 - Xét ANB vuông tại N đường cao NC' 0,5 AN 2 AC '.AB 0,5 - Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB - Do đó: AM = AN S ' Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh cos2 A cos2 B cos2 C 1 S 0,5 2 SAB'C ' AB ' 2 - Chỉ ra được cos A SABC AB S - Tương tự BA'C ' cos2 B SABC 0,5 S CA'B' cos2 C SABC - Do đó: 0,5 S S S cos2 A cos2 B cos2 C AB'C ' BA'C ' CA'B' S ABC S S S ' 0,5 ABC A'B'C ' 1 SABC S 34 Cho x, y là các số dương thỏa mãn x y 35 2 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 3x 4y 0,5 5 5x 7y - Ta có: 2 8 A 3x 4y 5x 7y 0,5 1 1 2 5x 8 7y x y 2 2 5x 2 7y 2 0,25 - Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được 2 5x 2.5x 2 2 5x 2 5x.2 8 7x 8.7x 2 4 7x 2 7x.2 34 1 34 17 - Vì x y nên A . 2 4 6 35 2 35 35 0,5 2 5x 5x 2 2 x 8 7y 5 - Dấu "=" xảy ra khi 7y 2 4 y 34 7 0,25 x y 35 2 x 17 5 - A đạt giá trị nhỏ nhất là 6 khi 35 4 y 7