Đề thi học sinh giỏi Năm 2006 – 2007

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2006 – 2007 Bài 1 : Giải phương trình : Bài 2 : Giải hệ phương trình sau : Bài 3 : Gọi m là giá trị nhỏ nhất trong 3 số : (x – y)2 ; (y – z)2 ; (z – x)2 Chứng minh rằng : Bài 4 : a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 3x + 1 b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Bài 5 : Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC . Chứng minh rằng : a/ Tâm của đường tròn C nằm trên đường thẳng AI b/ Nếu AB = AC thì AB và AC là 2 tiếp tuyến của đường tròn ( C) . Bài 6 : Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại D , một tiếp tuyến Ax bất kỳ của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại B và C . Chứng minh rằng điểm A cách đều hai đường thẳng BD và CD . ĐÁP ÁN BÀI I : Điều kiện : Đặt ẩn phụ t = . Từ (*) t2 + t – 5 = 0 Giải ra ta được : ( loại bỏ ) ; ( nhận ) BÀI II : Đặt ẩn phụ . Từ pt (1) z + 4.1/z = 4 z2 – 4z + 4 = 0 z = 2 . Hệ đã cho trở thành : BÀI III : Gỉa sử : BÀI IV : a/ MinA = x2 + 3x + 1 = khi x = b/ A khi : ± BÀI V : a/ Gọi K là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC I IBK = ICK = 900 C B Đường tròn đường kính IK đi qua J B, C . Tâm của đường tròn đi qua I, B, C Là trung điểm IK . Hay đường tròn K Tâm J của (C ) nằm trên AI . b/ Nếu AB = AC thì AB, AC là 2 tiếp tuyến AB = AC JBA = JBI + ABI = JIB + ABI = ( 2B + A) : 2 = ( B + A + C ) : 2 = 900 JB AB ; JC AC . Vậy AB ; AC là 2 tiếp tuyến .