Đề thi học sinh giỏi - Năm học 2011 - 2012 môn thi: Toán lớp 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- 2012 HUYỆN HOẰNG HOÁ MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm). Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm để A > 0. Bài 2: (4,0 điểm). a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: ( 6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1) b) Tính giá trị biểu thức P = . Biết 2 – 22 = ( + ≠ 0, ≠ 0). Bài 3: (4,0 điểm). a) Giải phương trình: x6 – 7x3 – 8 = 0 b) Chứng minh rằng: Nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n Î N) đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40. Bài 4:(6,0điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh DABD ~ DACE. b) Chứng minh BH.HD = CH.HE. c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b. Bài 5: (3.0điểm). a) Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1) b) Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ 0. Chứng minh rằng: a2 + b2 + ≥ 2. ……………………………………HẾT………………………………… Họ và tên thí sinh:……………………………………… Giám thị 1:……………………… Số báo danh:………………………. Giám thị 2:………………………. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2011- 2012 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Bài Nội dung Điểm Bài 1 (3,0điểm) a) (2,0 điểm) KXĐ: x ≠ ± 1 A = = 0,25đ 0,75đ 1,0đ b) (1,0 điểm) A > 0 Û 1 – 2x > 0 Û x < Đối chiếu ĐKXĐ, ta được - 1 ≠ x < . 0,5 đ 0,5đ Bài 2 (4,0điểm) a) (2,0 điểm) ( 6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1) = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x + = 2,0đ b) (2,0 điểm) x2 – 2y2 = xy Û x2 – xy – 2y2 = 0 Û (x + y)(x – 2y) = 0 Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 Û x = 2y Khi đó A = 0,75đ 0,75đ 0,5đ Bài 3 (4,0điểm) a) (2,0 điểm) Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0 Û (x3 + 1)(x3 – 8) = 0 Û (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*) Do x2 – x + 1 = (x – )2 + > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với mọi x, nên (*) Û (x + 1)(x – 2) = 0 Û x Î{- 1; 2} 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) (2,0 điểm) Do 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn. Vì 3n + 1 là số chính phương lẻ nên 3n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 3n 8 Þ n 8 (1) Do 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng bằng 1; 5; 9 do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4 Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + 2 , do đó 2n + 1 và 3n + 1 khi chia cho 5 đều dư 1. Suy ra 2n 5 và 3n 5 Þ n 5 (2) Từ (1) và (2) Þ n BCNN(5; 8) hay n 40 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ Bài 4 (6,0điểm) A B C D E H a) (2,0điểm) Chứng minh được DABD ~ DACE. 2,0đ b) (2,0điểm) Chứng minh được DBHE ~ DCHD Suy ra BH.HD = CH.HE. 1,0đ 1,0đ A B C D E H F c) (2,0điểm) Khi AB = AC = b thì DABC cân tại A Suy ra được DE // BC Þ DE = Gọi giao điểm của AH và BC là F Þ AF ^ BC, FB = FC = DDBC ~ DFAC = Þ DE = = = = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ Bài 5 (3,0điểm) a) (1,5điểm). Nhận thấy x = - 1 không phải là nghiệm của phương trình. Với x ≠ - 1 PT đã cho tương đương với Ta có =. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 Û x = 1(1) Lại có: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 Û x = 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình chỉ có nghiệm x = 1 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b) (1,5điểm) Ta có a2 + b2 + ≥ 2 Û (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2 Û (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0 Û (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0 Û (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ 0 Û [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ 0 suy ra đpcm. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ