Đề thi học sinh giỏi THCS thành phố Đà Nẵng môn: Toán lớp 8

TRÍCH TỪ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG MÔN : TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Đề 1 Bài 1: ( 2.5 điểm) Phân tích thành nhân tử: ab(a – b) – ac(a + c) + bc( 2a + c – b) . Tính giá trị của phân thức : A =, biết 2x2 + 2y2 = 5xy và y > x > 0. Bài 2: ( 3 điểm) Giải và biện luận phương trình: x – ax2 - với x là ẩn số, a và b là tham số. Cho tích xyzt. Nếu thêm y vào x thì tích tăng thêm a. Nếu thêm z vào y thì tích tăng thêm b. Nếu thêm t vào z thì tích tăng thêm c. Nếu thêm x vào t thì tích tăng thêm d. Chứng minh rằng: abcd = x4y4x4t4. Bài 3: ( 1.5 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên x ( x ≠ 3) ; sao cho x3 – 3 chia hết cho x – 3 Bài 4: ( 3 điểm) Cho tam giác đều ABC, G là trọng tâm, đường cao AH. M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC và I là trung điểm của AM. Hạ MD và ME lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác DIEH là hình gì? Chứng minh. Chứng minh rằng IH, DE, MG đồng quy. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = CN. Xác định vị trí của M và N để độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất. ĐÁP ÁN Bài 1: (2.5 điểm) Nhận xét rằng: 2a + c – b = (a + c) + (a – b) 0.25đ Nên: ab(a – b) – ac(a + c) + bc(2a + c – b) =ab(a – b) – ac(a + c) + bc(a + c) + bc( a – b) 0.25đ = (a – b) (ab + bc) – (a + c) (ac – bc) 0.25đ = b( a- b)(a + c) – c(a + c)(a – b) = (a – b)(b – c)(a + c) 0.25đ Ta có : 0.25đ 0.25đ 0.25đ Suy ra A = 1/3 hoặc A = -1/3 0.25đ Vì y > x > 0 nên: x + y > 0 và x – y < 0. Do đó: A < 0 0.25đ Vậy A = -1/3 0.25đ Bài 2: (3 điểm) Điều kiện: x ≠ ± b. Phương trình đã cho tương đương với: x – a2x + a = 0.25đ (*) 0.25đ Biện luận: Nếu : a ≠ ± 1 thì + Với : ≠ ± b thì PT có nghiệm duy nhất 0.25đ + Với : = ± b thì PT vô nghiệm 0.25đ Nếu a = -1 (*) thành: 0x = 2. PT vô nghiệm 0.25đ Nếu a = 1 (*) thành: 0x = 0. PT có vô số nghiệm x ≠ ± b 0.25đ Theo đề bài ta có: (x + y) yzt = xyzt + a , suy ra : a = y2zt (1) 0.25đ x (y + z) zt = xyzt + b, suy ra : b = xz2t (2) 0.25đ xy (z + t) t = xyzt + c , suy ra : c = xyt2 (3) 0.25đ xyz (t+ x) = xyzt + d, suy ra : d = x2yz (4) 0.25đ Nhân (1),(2),(3),(4) ta được điều phải chứng minh 0.50đ Bài 3: (1.5 điểm) x3 – 3 = x3 – 27 + 24 = (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 24 0.25đ Theo yêu cầu đề bài (ycđb) : x3 – 3 chia hết cho x -3 Suy ra : 24 chia hết cho x – 3 hay x – 3 là ước của 24 0.25đ Vậy x – 3 có thể nhận các giá trị : 1,2,3,4,6,8,12,24,-1,-2,-3…… 0.25đ Vì x là số tự nhiên nên x – 3 ≥ -3 và x ≠ 3, ta có : 0.25đ x – 3 = -3 suy ra : n = 0,….. (tính tất cả các trường hợp) 0.50đ Bài 4: (3 điểm) ID = ½ AM, IH = ½ AM (đường trung tuyến trong tam giác vuông) Suy ra ID = IH, nên tam giác IDH cân tại I 0.25đ Ngoài ra: DIH = 2 DAH = 600 Nên tam giác DIH đều 0.25đ Tương tự, tam giác IHE đều 0.25đ Vậy DIEH là hình thoi 0.25đ Gọi S là trung điểm AG, O là giao điểm của HI và DE Tam giác HIS cho : OG // IS 0.25đ Tam giác AMG cho : MG // IS 0.25đ Từ đó có M, O, G thẳng hàng. 0.25đ Kết luận IH, DE, MG đồng quy tại O. 0.25đ Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của M và N trên AB. Tam giác vuông AQN có góc A = 600 là nửa tam giác đều, nên AQ = ½ AN. 0.25đ Tương tự, PB = ½ BM, suy ra PB = ½ NC. Do đó AQ + PB = ½ AN + ½ NC = ½ AC. 0.25đ Ta có MN ≥ PQ = AB – (AQ + PB) = AB – AC/2 = AB / 2 (không đổi) 0.25đ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MN = PQ = AB/2 Khi đó M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC 0.25đ.