Đề thi học sinh giỏi Toán 7 - Trường THCS Hiệp Thuận

Đề 1 Bài 1. (4 điểm) Chứng minh rằng 76 + 75 – 74 chia hết cho 55 Tính A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 Bài 2. (4 điểm) Tìm các số a, b, c biết rằng : và a + 2b – 3c = -20 Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ? Bài 3. (4 điểm) Cho hai đa thức f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 - x g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 - Tính f(x) + g(x) và f(x) – g(x). Tính giá trị của đa thức sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 tại x = -1. Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài DA và DE. Tính số đo góc BED. Bài 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng: IK// DE, IK = DE. AG = AD. đáp án - Đề 1 Bài 1. a) 74( 72 + 7 – 1) = 74. 55 55 (đpcm) b) Tính A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 (1) 5.A = 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 + 551 (2) Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có : 4A = 551 – 1 => A = Bài 2. a) ú => a = 10, b = 15, c =20. b) Gọi số tờ giấy bạc 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là x, y, z ( x, y, z N*) Theo bài ra ta có: x + y + z = 16 và 20 000x = 50 000y = 100 000z Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z => Suy ra x = 10, y = 4, z = 2. Vậy số tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là 10; 4; 2. Bài 3. 4đ f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 - x - f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 - x + A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 tại x = - 1 A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +…+ (-1)100 = 1 + 1 + 1 +…+ 1 = 50 (có 50 số hạng) Bài 4. Vẽ hình (0,5đ) – phần a) 1,5đ - phần b) 2đ a) ABD =EBD (c.g.c) => DA = DE b) Vì ABD =EBD nên góc A bằng góc BED Do góc A bằng 900 nên góc BED bằng 900 Bài 5: 4đ a) Tam giác ABC và tam giác ABG có: DE//AB, DE = AB, IK//AB, IK= AB Do đó DE // IK và DE = IK b)GDE = GIK (g. c. g) vì có: DE = IK (câu a) Góc GDE = góc GIK (so le trong, DE//IK) Góc GED = góc GKI (so le trong, DE//IK) GD = GI. Ta có GD = GI = IA nên AG = AD Đề 2: Bài 1: (3 điểm): Tớnh Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: a) b) Bài 3:(4 điểm) Tỡm biết: a) b) Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng. Trờn hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờn bốn cạnh là 59 giõy. Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tỡm biết: Đỏp ỏn Bài 1: = = = == Bài 2: Từ suy ra khi đú = b) Theo cõu a) ta cú: Từ hay vậy Bài 3: a) => => hoặc Với hay Với hay b) => => => => Bài 4: Cựng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với cỏc vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta cú: và hay: Do đú:; ; Vậy cạnh hỡnh vuụng là: 5.12 = 60 (m) Bài 5: a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra .Do đú b) ABC cõn tại A, mà (gt) nờn ABC đều nờn Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra . Tia BM là phõn giỏc của gúc ABD nờn Xột tam giỏc ABM và BAD cú: AB cạnh chung ; Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC Bài 6: Ta cú 8(x-2009)2 = 25- y2 =>8(x-2009)2 + y2 =25 (*) Vỡ y2 0 nờn (x-2009)2 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta cú y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta cú y2 =25 suy ra y = 5 Từ đú tỡm được (x=2009; y=5) Đề số 3 Câu 1 a) Tính tổng: A = + B = b) Tìm các số a1, a2, a3, ... a9 biết và a1 + a2 + a3 + ... + a9 = 90 Câu 2 1) Tìm x biết: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120 2) Tìm x, y biết a) b) x + y = x : y = 3(x – y) 3) Chỉ ra các cặp (x;y,z) thoả mãn a) = 0 b) + + = 0 Câu 3 a. Cho hàm số y = f(x) = x + 1 với x ≥ -1 -x – 1 với x < -1 * Viết biểu thức xác định f * Tìm x khi f(x) = 2 b. Cho hàm số y = * Vẽ đồ thị hàm số * Tìm trên đồ thị điểm M có tung độ là (-2), xác định hoành độ M (giải bằng tính toán). Câu 4 Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 1/2 quãng đường AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ôtô đến B sớm hơn dự định 18 phút. Tính quãng đường AB. Câu 5 Cho ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng: a) BH = AK b) MBH = MAK c) MHK là tam giác vuông cân Đáp án Câu 1 a) A = 1 B = b) áp dụng tính chất của dãy TSBN ta tính được a1 = a2 = ... = a9 = 10 Câu 2 1) - Đặt 2x làm TSC rút gọn - Biến đổi 120 dưới dạng luỹ thừa cơ số 2 rồi tìm x 2) a)- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) được tỉ số (4) - Từ tỉ số (4) và tỉ số (2) ð 12 + 4x = 2.5x ð x = 2 Từ đó tính được y = - b) Từ x + y = 3(x-y) = x : y 2y(2y – x) = 0 mà y 0 nên 2y – x = 0 x = 2y Từ đó x = ; y = 3) a) - Vì và x2 + 2x = 0 và y2 – 9 = 0 từ đó tìm các cặp (x;y) b) Vì 0 với x ; 0 với y ; 0 với x, y, z Đẳng thức xảy ra Câu 3 a. - Biểu thức xác định f(x) = - Khi f(x) = 2 = 2 từ đó tìm x b. - Vẽ đồ thị hàm số y = x 0 5 O (0;0) y 0 2 A (5;2) - Biểu diễn O(0;0); A(5;2) trên mặt phẳng toạ độ OA là đồ thị hàm số y = - M đồ thị y = -2 = x = -5 Câu 4 Đổi 18 phút = - Gọi vận tốc và thời gian dự định đi nửa quãng đường trước là v1; t1, vận tốc và thời gian đã đi nửa quãng đường sau là v2; t2. - Cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là 2 đại lượng TLN do đó: V1t1 = v2t2 (giờ) thời gian dự định đi cả quãng đường AB là 3 giờ - Quãng đường AB dài 40 . 3 = 120 (km) Câu 5 a) HAB = KCA (CH – GN) BH = AK -b) MHB = MKA (c.g.c) MHK cân vì MH = MK (1) c) Có MHA = MKC (c.c.c) góc AMH = góc CMK từ đó góc HMK = 900 (2) Từ (1) và (2) MHK vuông cân tại M Đề số 4 Câu 1 Tính tổng M = 5 Tính tổng A = 1 + 2 + 22 + ... + 22010 Cho các số a1, a2, a3 ….an mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1 Biết rằng a1a2 + a2a3 + ... + ana1 = 0. Hỏi n có thể bằng 2002 được hay không? Câu 2 1) So sánh a. 2300 và 3200 b. và + 1 2) Tìm x, y, z biết : 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32 Câu 3 1) Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2 Tìm m biết P(1) = Q(-1) 2) Cho hình vẽ, đường thẳng OA là đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a0) Tính tỉ số Giả sử x0 = 5 tính diện tích y0 2 1 X0 C B A x o 1 2 3 4 5 y Câu 4 Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A à B, vận tốc ôtô con là 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trước 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB. Câu 5 Cho ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NC lấy điểm E sao cho NE = NC. Chứng minh rằng: a. Ba điểm E, A, D thẳng hàng b. A là trung điểm của ED đáp án đề 4 Câu 1 a. - Biến đổi M dưới dạng một tổng - Đặt ; - Rút gọn rồi thay giá trị của a, b vào được A = 119 b. Nhân hai vế của tổng với A với 2 . Lấy 2A – A rút gọn được A = c. Xét giá trị của mỗi tích a1a2, a2a3, ...ana1 số tích có giá trị bằng 1 bằng số tích có giá trị bằng -1 và bằng . vì 2002 2 n = 2002 Câu 2 1) a. Ta có 2=> 3 3200 > 2300 b. và Ta có 2 < 2 + 6 < + 6 = + 5 + 1 8 < ( + 1 2 ) a. Tìm x biết - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) được tỉ số (4) - Xét mối quan hệ giữa tỉ số (4) và (2) 6x = 2 . 24 = 48 x = 8 b. - Đưa về dạng . - áp dụng tính chất dãy TSBN tính x, y, z Câu 3 1) - Thay giá trị của x vào 2 đa thức - Cho 2 đa thức bằng nhau ta tính được m = - 2a) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x0;y0) đồ thị hàm số y = f(x) = ax y0 = ax0 = a. Mà A(2;1) a = => b. - OBC vuông tại C S = = Với x0 = 5 = 6,25 (đvdt) Câu 4 - Đổi 45 phút = - Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v1 và v2 (km/h) tương ứng với thời gian là t1 và t2 (h). Ta có v1.t1 = v2.t2 - Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng TLN ; t2 – t1 = - Tính được t2 = . 4 = 3 (h) t1 = S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km Câu 5 a) MAD = MCB (c.g.c) góc D = góc B AD // BC (1) - NAE = NBC (c.g.c) góc E = góc C AE // BC (2) Từ (1) và (2) E, A, D thẳng hàng -b)Từ chứng minh trên A là trung điểm của ED C E D A B N M Đề số 5 Bài 1: 1) Thực hiện phộp tớnh: B = 2) Tìm các số a, b sao cho là bình phương của số tự nhiên. Bài 2: Tỡm x ,y biết: a. b. c. Bài 3: Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của ba số đú bằng 24309. Tỡm số A. Cho bốn số a,b,c,d khác 0 và thoả mãn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 Chứng minh rằng: c) Tìm x,y để C = -18- đạt giá trị lớn nhất. Bài 4: Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trờn AC ; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o . Tớnh và Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC AM = BC Đỏp ỏn Bài 1: a) b) Số bị chia = 4/11 Số chia = 1/11 Kết quả = 4 Bài 2: a) b) c) Vì |2x-27|2007 ≥ 0 "x và (3y+10)2008 ≥ 0 "y ị |2x-27|2007 = 0 và (3y+10)2008 = 0 x = 27/2 và y = -10/3 Bài 3: Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.Theo đề bài ta cú: a : b : c = (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)Từ (1) = k Do đú (2) k = 180 và k = + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.Khi đú ta cú số A = a + b + c = 237. + Với k =, ta được: a = ; b =; c =. Khi đú ta cú sú A =+( ) + () = . b) Từ giả thiết suy ra b2 = ac; c2 = bd; ị Ta có (1) Lại có (2) Từ (1) và (2) suy ra: c)Ta có C = -18 - () Ê -18 Vì ³0; ³0 Max C = -18 Û x = 3 và y = -3 Bài 4: (4 điểm) a/ (1điểm) Xột và cú :AM = EM (gt ) = (đối đỉnh )BM = MC (gt ) Nờn : = (c.g.c ) 0,5 điểm AC = EB Vỡ = = (2 gúc cú vị trớ so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . b/ (1 điểm ) Xột và cú : AM = EM (gt );= ; AI = EK (gt ) Nờn ( c.g.c ) Suy ra = Mà + = 180o ( tớnh chất hai gúc kề bự ) + = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ Trong tam giỏc vuụng BHE ( = 90o ) cú = 50o = 90o - = 90o - 50o =40o = - = 40o - 25o = 15o là gúc ngoài tại đỉnh M của Nờn = + = 15o + 90o = 105o ( định lý gúc ngoài của tam giỏc ) Bài 5: a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra Do đú b) ABC cõn tại A, mà (gt) nờn ABC đều nờn Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra . Tia BM là phõn giỏc của gúc ABD nờn Xột tam giỏc ABM và BAD cú: AB cạnh chung ; Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC Bài 1 Cõu 2 Vì 00≤≤99 và a,b ẻ N ị 200700 ≤ ≤ 200799 ị 4472 < < 4492 ị = 4482 ị a = 0; b= 4 Đề số 6 Câu 1: Tính: a) A = 1 + b) B = c) C = 1+ d) Biết rằng :12+22+33+...+102= 385. Tính tổng : S= 22+ 42+...+202 Câu 2 : Tìm x ,y,z biết: a) ++++=0 b) 3x - = 2 c) 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) và 2x+3y-z = 50. Câu3: a) Cho . Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = c) Tìm n Z sao cho : 2n - 3 n + 1 Câu 4 :Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC tại D. a. Chứng minh AC=3 AD b. Chứng minh ID =1/4BD Câu 5 :Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 900 . Vẽ ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 900 ), vẽ DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh rằng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. Đỏp ỏn Câu 1 a) A = 2 - b) ; ; c) C = 1+ = = 1+ = 115. d) Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+...+ (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+...+22.102 =22(12+22+...+102) =22.385=1540 Câu2:a) (1) . b) Nếu x thì : 3x - 2x - 1 = 2 => x = 3 ( thảo mãn ) Nếu x x = 1/5 ( loại ) .Vậy: x = 3 c) => và 2x + 3y - z = 50 => x = 11, y = 17, z = 23. Câu 3: a) B đạt NN Vì đạt NN khi bằng 3 . Dấu bằng xảy ra khi Vậy B đạt GTLN và b)Ta có: A = = Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là 2010 khi x-2011 và 1-x cùng dấu, n + 1 -1 1 -5 5 n -2 0 -6 4 Tức là : 1 Ê x Ê 2011 c) A B M C D E Câu 4 a ) Gọi E là trung điểm CD . Trong tam giác BCD có ME là đường trung bình => ME//BD Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt) Mà ID//ME(gt) Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1) Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD b.Trong tam giác MAE ,ID là đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) ( Trong tam giác BCD; ME là Đường trung bình => ME=1/2BD (2) So sánh (1) và (2) => ID =1/4 BD Câu 5: a) Vẽ AH ^ BC; ( H ẻBC) của DABC + hai tam giác vuông AHB và BID có: BD= AB (gt) Góc A1= góc B1( cùng phụ với góc B2) ị DAHB= DBID ( cạnh huyền, góc nhọn) ịAH^ BI (1) và DI= BH + Xét hai tam giác vuông AHC và CKE có: Góc A2= góc C1( cùng phụ với góc C2) AC=CE(gt) ị DAHC= DCKB ( cạnh huyền, góc nhọn) ịAH= CK (2) từ (1) và (2) ị BI= CK và EK = HC. b) Ta có: DI=BH ( Chứng minh trên) tương tự: EK = HC Từ đó BC= BH +HC= DI + EK.