Đề thi học sinh giỏi toán 8

Đề thi học sinh giỏi toỏn 8 1 ĐỀ SỐ 1 Bài 1: (3 điểm)Cho biểu thức                  3 1 327 : 3 3 3 1 2 2 2 xx x xx A a) Rút gọn A; b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm)Giải phương trình: a) yy y yy 31 2 19 6 3103 1 22      b) 2 2 1. 3 61 3 2 4 3 2            xxx x Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy. Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M  AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 5: (1 điểm)Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương. ĐỀ SỐ 2 Câu I: (2điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) 542  xx b) )2()()( cbabccaacbaab  2) Giải phương trình 5 4 127 1 65 1 23 11 2222        xxxxxxxx Câu II: (2 điểm) 1) Xác định a, b để da thức baxxxxf  23 2)( chia hết cho đa thức 1)( 2  xxxg . 2) Tìm dư trong phép chia đa thức 2006)( 51337161  xxxxxxP cho đa thức .1)( 2  xxQ Câu III: (2 điểm) 1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: 222 2 222 2 222 2 b b bac c accba aP       2) Cho ba số a, b, c thoả mãn accbba  ,, . CMR: 0 ))(())(())(( 222          bcac abc cbab acb caba bca Câu IV: (3điểm) 1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB. CMR: a) KC = KP b) A, D, K thẳng hàng. c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi. 2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H. CMR: ' ' ' ' ' ' CC HC BB HB AA HA  bằng một hằng số. 45 đề thi học sinh giỏi toán 8 2 Câu V: (1 điểm): Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 22 22 baba babaQ    ĐỀ SỐ 3 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: )()()()()()( 222 babacacacbcbcba  b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 0111  cba Rút gọn biểu thức: abccabbca N 2 1 2 1 2 1 222       Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 122  yxxyyxM b) Giải phương trình: 01)5,5()5,4( 44  yy Bài 3: (2điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 34553 22  yx ĐỀ SỐ 4 Bài 1: (2,5điểm)Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x x - 3x + 4 x -2 với x  0 Bài 2 : (1,5điểm)Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: 22 2 12       cac c bbc b aab aA Bài 3: (2điểm)Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a  b  0.Tính: 224 ba abP   Bài 4 : (3điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM  CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC để cho AEMF là hình vuông. Bài 5: (1điểm)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. ĐỀ SỐ 5 Bài 1: (2điểm) Cho biểu thức: 3011 1 209 1 127 1 65 1 2222         xxxxxxxx M 45 đề thi học sinh giỏi toán 8 3 1) Rút gọn M. 2) Tìm giá trị x để M > 0. Bài 2: (2điểm) Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra. 1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra. 2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu. Bài 3: (1điểm) Tìm x, y nguyên sao cho: 042 22  yyxxyx Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D). Đường thẳng AE cắt BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cát CD tại K. 1) Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK. 2) Gọi I là trung điểm KF, J là trung điểm của AF. Chứng minh rằng: JA = JB = JF = JI. 3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x. 4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất. Bài 5: (1điểm)Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: 0111  zxyzxy . Tính xy z zx y yz xN 222  ĐỀ SỐ 6 Câu I: (5 điểm) Rút gọn các phân thức sau: 1) 143 1 2   xx xxx 2) 3)2(18)1(3 30)1(11)1( 24 24   aaa aa Câu II: (4 điểm) 1) Cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì 22 ba  chia hết cho 13. 2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn abc = 1. Tính giá trị của biểu thức: acc c bcb b aca aA       111 3) Giải phương trình: 6 7 32 22 22 12 2 2 2 2       xx xx xx xx Câu III: (4 điểm)Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3). Hai tổ công nhân lắp máy được giao làm một khối lượng công việc. Nếu hai tổ làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc. Nếu công việc trên được giao riêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành. Câu IV: (3 điểm)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. 1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA. 3) Chứng minh AKADAHABAC ..2  Câu V: (2 điểm)Giải phương trình: 120032002 20032002  xx ĐỀ SỐ 7 Câu I: (2điểm) 45 đề thi học sinh giỏi toán 8 4 1. Thực hiện phép chia 22 234  xxxxA cho 12  xB . Tìm x  Z để A chia hết cho B. 2. Phân tích đa thức thương trong câu 1 thành nhân tử. Câu II: (2điểm) 1. So sánh A và B biết: 1532 A và )15)(15)(15)(15(6 16842 B 2. Chứng minh rằng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44. Câu III: (2điểm) 1. Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mãn: )(3)( 2 cabcabcba  . Hỏi tam giác đã cho là tam giác gì ? 2. Cho đa thức f(x) = 1... 299100  xxxx . Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức 12 x . Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Gọi M là giao điểm của BF và CE. 1. Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ? 2. Chứng minh AB. CF = AC. AE 3. So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC. Câu V : (1 điểm)Chứng minh nghiệm của phương trình sau là một số nguyên: 4 2003 3 2004 2 2005 2003 4 2004 3 2005 2            xxxxxx ĐỀ SỐ 8 Câu 1: (2điểm) a) Cho 0136222 22  yxyxyx .Tính xy yxN 4 13 2   b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương. abccbaA 3333  Câu 2: (2 điểm)Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì: 9                      ac b cb a ba c b ac a cb c baA Câu 3: (2 điểm) Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ. Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC. Câu 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 426 13 yxx  ĐỀ SỐ 9 Bài 1: (2 điểm) Cho 3 3 3 6 6 6 11 211 x x x x x x x x M                      45 đề thi học sinh giỏi toán 8 5 a) Rút gọn M. b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của M. Bài 2: (2 điểm) a) Tìm x biết : 333 )3()2()52(  xxx b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 và n - 65 là hai số chính phương. Bài 3: (2 điểm) a) Cho x và y thoả mãn: 2459174 22  yxyyxyx .Tính xyyxH  33 b) Cho a, b, c thoả mãn: abccba  Chứng minh: abcbaccabcba 4)1)(1()1)(1()1)(1( 222222  Bài 4: (4 điểm)Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I là giao điểm của AC và BD. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh IM = IN. b) Chứng minh: MNCDAB 211  c) Gọi K là trung điểm của DC, vẽ đường thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lượt tại H và E. Chứng minh HM + HE = 2AK. d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). Tính S(ABCD) theo a và b. ĐỀ SỐ 10 Câu 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 122  xx ; b) 18  xx ; c) 5)3011)(23( 22  xxxx Câu 2: (2 điểm) 1) So sánh A và B biết: 325A và )15)(15)(15)(15(24 16842 B 2) Cho abba 723 22  và 03  ba . Tính giá trị của biểu thức: ba baP 20072006 20062005    Câu 3: (2 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1974126692 22  yxxyyxA 2) Giải phương trình: 02224 12  xx yy 3) Chứng minh rằng: 22228888 4 dcbadcba  Câu 4 Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(1) và f(2) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên. ĐỀ SỐ 11 Câu 1: (2 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức:                                        4 120... 4 14 4 12 4 119... 4 13 4 11 444 444 A b) Chứng minh rằng: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương. Câu 2: (2 điểm) a) Cho xyz = 2006.Chứng minh rằng: 1 1200620062006 2006       zxz z yyz y xxy x b) Tìm n nguyên dương để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3. 45 đề thi học sinh giỏi toán 8 6 c) Cho 1432  cba . Chứng minh rằng: 14222  cba . Câu 3: (2 điểm)Cho phân thức: 552 1. 1 1 1 1 1 33 223 2                 xx x xxx x x xB a) Rút gọn B. b) Tìm giá trị lớn nhất của B. Câu 4: a) Chứng minh rằng với n  N và n > 3 thì: 21... 5 1 4 1 3 1 2 11 33333  n C b) Giải phương trình: )4)(3)(2)(1()4)(3)(2)(1(  xxxxxxxx ĐỀ SỐ 12 Câu 1: (2 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) 672  xx ;b) 24)5)(4)(3)(2(  xxxx ;c) 44 x 2) Rút gọn: 3011 1 209 1 127 1 65 1 2222         xxxxxxxx A Câu 2: (2 điểm) 1) Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x-2 thì dư 2, f(x) chia cho x-3 thì dư 7, f(x) chia cho x2 - 5x + 6 thì được thương là 1-x2 và còn dư. 2) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên. 12 522 23    x xxxA Câu 3: (2 điểm)Giải phương trình: a) 94 6 96 4 98 2 95 5 97 3 99 1            xxxxxx b) 012)1()1( 222  xxxx Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất nếu có của biểu thức sau: x xxB 2 1416 2   (với x > 0) ĐỀ SỐ 13 Câu 1: (6 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử; a) 22 222 yxyxyx  ;b) yyxxy  222 ;c) 10332 22  yxyxyx Câu 2 CÂU 2 (4 điểm)Cho 0 cba và 0abc . Chứng minh rằng: CÂU 3Câu 3 (4 điểm)Cho biểu thức 1 1321 1 2 2 4       x xx xx xxQ ( 1x ) ĐỀ SỐ 14 Câu 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: 3333)( cbacba  b) Rút gọn: 933193 451272 23 23   xxx xxx Câu 2: (2điểm)Chứng minh rằng: nnnA 36)7( 223  chia hết cho 5040 với mọi số t/ nhiên n. Câu 3: (2 điểm) 45 đề thi học sinh giỏi toán 8 7 a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trình: aaxax 322  (a là hằng số). ĐỀ SỐ 15 Câu 1: (2 điểm)Cho 8147 44 23 23    aaa aaaP a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên. Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức: )6)(3)(2)(1(  xxxxP có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 3: (2 điểm) a) Giải phương trình: 18 1 4213 1 3011 1 209 1 222      xxxxxx b) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng; 3       cba c bca b acb aA Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh: a) 4 . 2BCCEBD  b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. Câu 5: (1 điểm)Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. 45 đề thi học sinh giỏi toán 8 8 ĐỀ SỐ 16 Bài 1: (2 điểm) a, Giải phương trình. 0)106()1()96( 33232  xxxx b) Cho x, y thoả mãn: 0132622 22  yxxyyx . Tính giá trị của biểu thức: yx xyxH    5272 Bài 2: (2 điểm) Cho )31( 3 )31( 3 22 xy xy yx yx      với 0, yx ; 3 1, yx ; yx  . Chứng minh rằng: 3 811  yx yx . ĐỀ SỐ 17 Bài 1: (2 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 178  xx ;b) 4)1)(23)(112)(14(  xxxx 2) Cho 0 cba và 1222  cba . Tính giá trị của biểu thức: 444 cbaM  Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức: )1)(1()1)(()1)(( 2222 yx yx xyx y yyx xM       a) Rút gọn M. b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7. Bài 3: (2điểm)Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra. 1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra. 2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu. ĐỀ SỐ 18 Câu 1: (2 điểm) Giải các phương trình sau: a) 54 24  xx ;b) 5321  xx Câu 2: (2 điểm)Cho biểu thức: xx xxA    2 4 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A > 1. Câu 3: (2 điểm) Hai anh em Trung và Thành cùng cuốc một mảnh vườn, và sẽ hoàn thành trong 5 giờ 50 phút. Nhưng sau 5 giờ làm chung Trung bận việc khác nên không làm nữa, một mình anh thành phải làm tiếp trong 2 giờ nữa mới cuốc xong mảnh vườn. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi anh phải làm trong bao lâu?. ĐỀ SỐ 19 Câu 1: (2 điểm) a) Phân tích thành nhân tử: 1243 24  xxx 45 đề thi học sinh giỏi toán 8 9 b) Tính: 2005.2003 1... 7.5 1 5.3 1 3.1 1 A Câu 2: (2 điểm) a) Cho a, b, c là hai số khác nhau và khác 0 thoả mãn: abba 43 22  . Tính giá trị của biểu thức: ba baA    b) Giải phương trình: 312 x Câu 3: Cho       133 143 23 23 bab aba . Tính giá trị của : 22 baP  ĐỀ SỐ 20 Bài 1: (2 điểm) a) Cho x > 0, y > 0 thoả mãn: 22 32 yxyx  .Tính giá trị của biểu thức: yx yxA    b) Với 1x . Rút gọn biểu thức: 1 2 5 56    nn xx xxB Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì biểu thức 6 .5 2 .1978 3 .1985)( 23 xxxxP  có giá trị nguyên. Bài 3: (2 điểm) Một người đi xe đạp, một người đi xe máy, một người đi ô tô cùng đi từ A về B khởi hành lần lượt lúc 6 giờ, 7 giờ, 8 giờ với vận tốc thứ tự là 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều người đi xe đạp và xe máy. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB  AC ) có O là giao điểm của ba đường trung trực, vẽ ra phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE, ACGH. Biết OE = OH. Tính số đo góc BAC ? ĐỀ SỐ 21 Câu 1: (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức:               aaa aa aa aaA nn 22 22 1 2 3 44 )2(. 3 2 b) Tính giá trị của biểu thức: 188655...555 216171819  xxxxxxB với x = 4. Câu 2: (2 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 41253  yxx . b) Cho a, b, c là các số tự nhiên không nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng: abba      1 2 1 1 1 1 22 Câu 3: (2 điểm) Một ô tô vận tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Sau đó một thời gian một ô tô con cũng đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng ngay sau khi đi được nửa quãng đường AB, xe tải giảm bớt 5 km/h nên hai xe gặp nhau tại C cách B 30 km. Tính quãng đường AB. ĐỀ SỐ 22 Câu 1: (2 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có: 512 5 24 7 12120 2345 xxxxxA  luôn luôn là số nguyên dương. 45 đề thi học sinh giỏi toán 8 10 b) Rút gọn: 1.... 1.... 2222426 4162024    xxxx xxxxB Câu 2: (2 điểm)Bạn A hỏi bạn B: “ năm nay bố mẹ của anh bao nhiêu tuổi ?” B trả lời: “ bố tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây khi tổng số tuổi của bố mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của ba anh em chúng tôi là 14; 10 và 6. Hiện nay tổng số tuổi của bố mẹ tôi gấp 2 lần tổng số tuổi của ba anh em tôi”. Tính xem tuổi của bố mẹ bạn B là bao nhiêu ? Câu 3: (1 điểm) Tìm x, y, z  Z thoả mãn: 105)2)(152( 2  xxyyx x ĐỀ SỐ 23 Câu 1: (2 điểm) a) Cho 32 2 )( 133 kk kkak    với k  N*.Tính tổng S = 2007321 .... aaaa  b) Chứng minh rằng: nnnA 36)7( 223  chia hết cho 7 với mọi n nguyên. Câu 2: (3 điểm) a) Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời: 0122  yx ; 0122  zy ; 0122  xz Tính giá trị của biểu thức: 200720062005 zyxA  b) Chứng minh rằng với x, y  Z thì 4)4)(3)(2)(( yyxyxyxyxP  là một số chính phương. c) Tìm số dư trong phép chia: 2007)7)(5)(3)(1(  xxxx cho 182  xx ĐỀ SỐ 24 Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình: a) 2005 2004 1.... 3 2002 2 2003 1 2004 . 2005 1... 4 1 3 1 2 1          x b) 431  xx Câu 2: (2 điểm) Tìm tỉ lệ ba đường cao của một tam giác. Biết nếu cộng lần lượt độ dài từng cặp hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8. Câu 3: (2 điểm) a) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: 2005220042 )20052004(.)20052004()( xxxxxP  b) Tìm số tự nhiên n để 124  nn là số nguyên tố. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB, B’ là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB là I và K. Chứng minh IB, CK là đường cao của tam giác ABC. Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c  1;0 và 2 cba . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 222 cbaP  ĐỀ SỐ 25 Câu 1: ( 2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 12345679  xxxxxxx b) Rút gọn biểu thức:                   yx xy xyyxx y xyx y xyx 2 22334 2 2 . 31 Câu 2: (2 điểm) 45 đề thi học sinh giỏi toán 8 11 a) Có tồn tại một cặp số tự nhiên (x, y) nào để số 444 yx  là một số nguyên tố không. b) Giải phương trình: 42 632 2 2   xx yy Câu 3: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: 21        ac c cb b ba a ĐỀ SỐ 26 Câu 1: (2 điểm) Cho phân thức: 242 22 234 234    xxxx xxxxA (với x  Z) a) Rút gọn A. b) Xác định x để A có giá trị nhỏ nhất. Câu 2: (2 điểm) a) Cho x, y, z là các số nguyên khác 0.Chứng minh rằng nếu: ayzx 2 ; bzxy 2 ; cxyz 2 Thì tổng czbyax  chia hết cho tổng cba  . b) Cho đa thức f(x) khi chia cho x-2 thì dư 5, khi chia cho x-3 thì dư 7, còn khi chia cho 652  xx thì được thương là 21 x và còn dư. Tìm đa thức f(x). Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình: 3 123  xxx Câu 4: Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng các nghịch đảo của các chữ số của mỗi số bằng 1. 45 đề thi học sinh giỏi toán 8 12 ĐỀ SỐ 27 Câu 1: (2 điểm) a) Cho 0 xy và 3 1022   xy yx . Tính giá trị của biểu thức yx yxM    b) Rút gọn biểu thức                                        4 1 12.... 4 1 4 4 1 2 4 111.... 4 13 4 11 444 444 A Câu 2: (2 điểm) a) Giải phương trình: 0120106194 234  xxxx b) Cho bab y a x   144 và 122  yx .Chứng minh rằng: 1021002 2004 1002 2004 )( 2 bab y a x   Câu 3: (2 điểm) Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà bình với vận tốc 4 km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bình trên đường rồi cả hai cùng đi về nhà Bình. Khi trở về đến nhà mình An tính ra quãng đường mình đi dài gấp bốn lần quãng đường Bình đã đi. Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình. Câu 4: (1 điểm)Cho 233  qp . Chứng minh rằng: 20  qp ĐỀ SỐ 28 Câu 1: (2 điểm) a) Giải phương trình: 0)64()2()44( 33232  xxxx b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 200420032004 24  xxx Câu 2: (2 điểm) Cho 0 cba ; 0 zyx ; 0 z c y b x a Chứng minh: 0222  czbyax Câu 3: Tìm x nguyên để y nguyên: 1 32 2    x xy ĐỀ SỐ 29 Câu 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức: a) 483 2 2    xx xxx A b) 9 1 1514 4 107 3 2 2 222         xxxxxxx B Câu 2: (2 điểm) a) Cho abba 43 22  và b > a > 0. Tính ba baP    b) Tìm x, y biết: 03322  xxyyx Câu 3: (2 điểm) a) Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a chia cho 19 dư 3, b chia cho 19 dư 2 thì abba  22 chia hết cho 19. b) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phương. 45 đề thi học sinh giỏi toán 8 13 ĐỀ SỐ 30 Câu 1: (2 điểm) Cho đa thức 444222222 222 cbacacbbaA  a) Phân tích đa thức A thành nhân tử. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì A> 0. Câu 2: (2 điểm) a) Giải phương trình:   14222  xyyx b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và 0      ba c ac b cb a . Tính 222 )()()( ba c ac b cb aP       Câu 3: (2 điểm) a) Cho m, n là các số thoả mãn: nmnm  22 43 . Chứng minh (m-n) và (4m + 4n + 1) đều là số chính phương. b) Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mãn xyzzyx  và m zyx  111 . Tính giá trị của biểu thức: 222 111 zyx A  theo m. ĐỀ SỐ 31 Câu 1: (2 điểm)Cho biểu thức: )1)(1()1)(()1)(( 2222 yx yx xyx y yyx xM       a) Rút gọn M. b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7. Câu 2: (3 điểm) a) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: 131620  nnnA chia hết cho 323 b) Cho x, y, z khác 0 và 0 zyx . Chứng minh rằng: Nếu zyxzyx   1111 thì 200720072007200720072007 1111 zyxzyx   Câu 3: (2 điểm) Trong một cuộc đua mô tô có ba xe cùng khởi hành một lúc. Một xe trong một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất là 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km, đến đích chậm hơn xe thứ nhất 12 phút và sớm hơn xe thứ ba 3 phút. Không có sự dừng lại trên đường đi. Tìm vận tốc mỗi xe, quãng đường đua và xem mỗi xe chạy mất bao nhiêu thời gian. Câu 4: (2 điểm)Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Các đoạn thẳng AO, BE, Cn và DK cắt nhau tại L, M, R, P. Tính tỉ số diện tích S(MNPR) : S(ABCD). Câu 5: (1 điểm)Tính tổng )2)(1( 1.... 5.4.3 1 34.2 1 3.2.1 1  