Đề thi khảo sát chất lượng bồi dưỡng đợt I môn thi: toán – khối a

Sở GD & ĐT Thanh hóa Trường THPT Bỉm sơn Đề thi khảo sát chất lượng bồi dưỡng đợt I Môn thi: toán – Khối A Thời gian: 180 phút. (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đường thẳng những điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị (C) của hàm số. Câu 2. (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình sau có nghiệm: Câu 3. (2 điểm) 1) Giải bất phương trình: 2) Tìm giới hạn: Câu 4. (3 điểm) 1) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy: a) Lập phương trình các cạnh của một hình vuông, biết một đỉnh có toạ độ và một đường chéo có phương trình: b) Viết phương trình đường tròn (C’) tiếp xúc với trục hoành tại điểm và tiếp xúc với đường tròn (C) có phương trình: 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân ở A, các mặt bên SAB và SAC là các tam giác vuông ở S. Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết góc góc phẳng nhị diện cạnh BC bằng Câu 5. (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực ta có: Đề số: Họ tờn: Lớp: Trường: Ngày: Cõu I: Cho hàm số . Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. Tỡm m để hàm số cú cực trị và khoảng cỏch giữa hai điểm cực trị của (Cm) nhỏ hơn . Cõu II: Giải hệ phương trỡnh: cosxcos2xcos3x – sinxsin2xsin3x = . Tỡm a để hệ phương trỡnh: cú đỳng 2 nghiệm. Cõu III: Giải phương trỡnh: . Tớnh tớch phõn: . Cõu IV: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giỏc cõn ABC, cạnh đỏy BC cú phương trỡnh , phương trỡnh AB: , đường thẳng AC đi qua điểm . Tỡm toạ độ điểm C. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ cú cỏc mặt bờn là hỡnh vuụng cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm cỏc đoạn BC, A’C’, B’C’. Tớnh khoảng cỏch giữa DE và A’F. Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm , mặt phẳng (P): và đường thẳng . Viết phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng đi qua A, song song với (P) và vuụng gúc với d. Cõu V: Cho a, b, c là ba số thực dương thoả món abc = 1. Chứng minh rằng: ----------------------------- Hết ---------------------------- Đề số: Họ tờn: Lớp: Trường: Ngày: Cõu I: Cho hàm số . Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. Tỡm m để hàm số đồng biến trờn . Cõu II: Giải hệ phương trỡnh: . Tỡm a để bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x. Cõu III: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm và parabol . Tỡm toạ độ điểm N sao cho từ N kẻ được hai tiếp tuyến đến (P), trong đú đoạn thẳng nối hai tiếp điểm nhận M làm trung điểm. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng D được giới hạn bởi cỏc đường: và . Cõu IV: Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho , mặt phẳng (P): x – 2y + z – 7 = 0 và đường thẳng d: Viết phương trỡnh đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuụng gúc với đường thẳng d. Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn (P), B là điểm sao cho và C là điểm đối xứng với A qua . Tớnh diện tớch tam giỏc ABC. Cõu V: Xỏc định số hạng chứa trong khai triển thành đa thức của . Xỏc định dạng của tam giỏc ABC; Biết rằng BC = a, CA = b và đường cao CH = h thoả món . ----------------------------- Hết ---------------------------- LỜI GIẢI Cõu I: 2. ; . Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng: và . Hàm số đồng biến trờn khoảng 0 m m 1. Cõu II: 1. Giải hệ: Với điều kiện xy > 0, ta nhận xột phương trỡnh (2) khụng nhận x và y cựng õm. Như vậy ta chỉ xột với x, y > 0. Khi đú hệ tương đương: Đề số: Họ tờn: Lớp: Trường: Ngày: Cõu I: Cho (Cm): y = mx3 – (m – 1)x2 – (m + 2)x . Khảo sỏt khi m = 1. Tỡm trờn đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đú kẻ được ba tiếp tuyến đến (C1). Tỡm m để hàm số cú cực trị. Lập phương trỡnh đường thẳng qua cỏc điểm cực trị. Cõu II: 1. Tỡm m để phương trỡnh cú đỳng ba nghiệm phõn biệt. Giải hệ: 3. Giải phương trỡnh: x(lg5 – 1) = lg(2x + 1) – lg6. Cõu III: 1. Cho tam giỏc ABC. Tỡm GTLN của biểu thức: P = sin2A + sin2B + sin2B. Cho x, y, z thoả món x2 + y2 + z2 = 1. Tỡm GTNN của biểu thức Q = xy + yz + 2zx. Cõu IV: 1. Tỡm m để hệ sau cú nghiệm: 2. Tớnh I = . Cõu V: 1. Cho (P): y2 = 2px. Một đường thẳng bất kỳ qua tiờu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm A, B. Chứng minh tớch cỏc khoảng cỏch từ A, B đến trục của (P) là hằng số. 2. Tớnh thể tớch tứ diện ABCD; Biết rằng: CD = a, cỏc gúc phẳng của gúc tam diện cú đỉnh C, D đều bằng . HD: Cõu I: (Cm): y = mx3 – (m – 1)x2 – (m + 2)x . Khi m = 1: y = x3 – 3x. y’ = 3x2 – 3. 2. M(a; 2)d: y = 2. Tiếp tuyến qua M: y = k(x – a) + 2 thoả: Nhận xột rằng mỗi tiếp tuyến cú tương ứng một tiếp điểm. Vỡ vậy thoả món yờu cầu bài toỏn khi và chỉ khi phương trỡnh 2x2 – (3a + 2)x + 3a + 2 = 0 cú hai nghiệm phõn biệt, – 1 hoặc . y = mx3 – (m – 1)x2 – (m + 2)x , y’ = 3mx2 – 2(m – 1)x – (m + 2). Hàm số cú cực trị khi và chỉ khi: m 0 và (m – 1)2 + 3m(m + 2) > 0m 0 và m . Điểm cực trị A(1; – 1) và B, suy ra phương trỡnh đường thẳng AB: CõuII: 1. Thoả món yờu cầu bài toỏn hoặc hoặc hoặc 2. Hệ đó cho . Xột hàm f(t) = et – t, t > 0; f’(t) = et – 1 > 0 f(t) đồng biến. (1) cú dạng f(x) = f(y)x = y; (2)x = 2; x = 4. Nghiệm (x; y) = (2; 2), (4; 4). Phương trỡnh đó cho . Cõu III: 1. P == 2 – cos(A + B)cos(A – B) – cos2C = – cos2C + cos(A – B)cosC + 2 =. Vậy Pmax cos(A – B) = 1 và cosC = A = B = C. Khi đú max P = . Chỳ ý: ta cú thể biến đổi chứng minh trực tiếp bất đẳng thức: sin2A + sin2B + sin2C . Cho x, y, z thoả món x2 + y2 + z2 = 1. Tỡm GTNN của biểu thức Q = xy + yz + 2zx. Cõu IV: 1. Tỡm m để hệ sau cú nghiệm: (1) (x – 1)(x – 3)(x2 + 1) 0, suy ra f(x) đồng biến, do đú f(1) < f(x) < f(3) – 2 < f(x) < 2. Hệ cú nghiệm khi chỉ khi (2) cú nghiệm trờn khoảng (1; 3) m > – 2. Tớnh I = . Đặt x = – t, ta cú I = 2I =. Đặt 2x = 3tanu, ta cú: x = 0, u = 0; khi x = 1, u =; tan = . Vậy: I = ; tan = . Cõu V: 1. Gọi A, B. AB qua F suy ra: với , suy ra với , suy ra . Vậy tớch cỏc khoảng cỏch từ A, B đến trục của (P) (truc Ox) là: khụng đổi (đpcm). H là trung điểm CD, AB = 2AC= 2; AH = BH = CH.tan= . Diện tớch ABH là S = = =. Thể tớch tứ diện V = (đvtt). BÀI TẬP (hệ thức trong tam giỏc). Chứng minh cỏc hệ thức: S = R(acosA + bcosB + ccosC). b. S = . c. . d. . Khi nào xảy ra đẳng thức? SỬA ĐỀ Cõu I: Cho hàm số: y = mx3 – (m – 1)x2 – (m + 2)x. Khảo sỏt khi m = 1. Tỡm cỏc giỏ trị khụng õm của m để hàm số nghịch biến trờn khoảng (– 1; 1). Cõu II: Cho tam giỏc ABC. Tỡm GTLN của biểu thức: P = sin2A + sin2B + sin2B. Tỡm t để phương trỡnh cú đỳng ba nghiệm phõn biệt. Cõu III: Cho hai điểm A(0; 0; – 3), B(2; 0; – 1) và mặt phẳng (P): 3x – 8y + 7z – 1 = 0. Tỡm toạ độ của điểm C nằm trờn mặt phẳng (P) sao cho tam giỏc ABC đều. Viết phương trỡnh mặt cầu đi qua O, A, B và cú tõm nằm trờn mặt phẳng (P). Cõu IV: Tớnh I = . Tỡm m để hệ sau cú nghiệm: Cõu V (chọn Va. hoặc Vb.): Va. Cho tập hợp gồm 6 số và 3 chữ cỏi: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, a, b, c}; F là một tập con của E chỉ cú 4 số và 2 chữ cỏi. Cú bao nhiờu tập F như thế và mỗi tập F cú bao nhiờu tập con? Cho hai đường trũn (C1): (x + 2)2 + (y – 2)2 = 9 và (C2): x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0. Gọi A là giao điểm cú hoành độ dương của (C1) và (C2). Viết phương trỡnh đường thẳng d qua A cắt (C1) và (C2) lần lượt tại điểm thứ hai B và C sao cho B là trung điểm AC. Vb. Giải hệ: Tớnh thể tớch tứ diện ABCD; Biết rằng: CD = a, cỏc gúc phẳng của gúc tam diện cú đỉnh C, D đều bằng . Hướng dẫn. Cõu I: 2. y’ = 3mx2 – 2(m – 1)x – (m + 2). + Nếu m = 0, y = x2 – 2x nghịch biến trờn khoảng , suy ra nghịch biến trờn khoảng (– 1; 1). + Nếu m > 0, y’ = 0 cú hai nghiệm x = 1; x = và y’ < 0 ở trong khoảng hai nghiệm. Thoả món yờu cầu bài toỏn khi chỉ khi . Kết hợp cỏc trường hợp ta được . Cõu III: 1. Cỏch 1: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB giao với mặt phẳng (P) bởi đường thẳng d cú phương trỡnh là d: . Điểm C thuộc d cú toạ độ dạng: C(2t; – t – 1; – 2t – 1). Thoả món yờu cầu bài toỏn khi chỉ khi CA = ABt = 1; t =. Vậy cú hai điểm thoả món yờu cầu bài toỏn là C(2; – 2; – 3) hoặc C. Cỏch 2: Điểm cần tỡm cú toạ độ dạng C(x; y; z) thuộc (P) và thoả món CA = CB = AB. Ta được hệ: 2. Gọi (S) là cầu cần tỡm cú tõm I(a; b; c). Phương trỡnh (S) cú dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0. Do (S) qua O(0; 0; 0), A(0; 0; – 3), B(2; 0; – 1) và tõm I thuộc mặt phẳng (P) nờn ta cú hệ: Giải hệ ta được: . Vậy phương trỡnh mặt cầu là: x2 + y2 + z2 – x + y + 3z = 0. Cõu IV: 1. Tớnh I = . Đặt x = – t, ta cú I = 2I =. Đặt:, ta cú: dcost = ; 1 + 3cos2t = 1 + tan2u; Khi t = 0 thỡ u = ; khi t = thỡ u =. Ta được: 2I = . Vậy I = . Cõu Va. 1. Cứ với mỗi tập con gồm 4 số trong 6 số 1, 2, 3, 4, 5, 6 và 2 chữ cỏi trong 3 chữ cỏi a, b, c cho ta một tập F (là tập con của tập E). Vậy số cỏc tập F cú thể lập được là: (tập hợp). Mỗi tập F gồm cú 6 phần tử (gồm 4 số và 2 chữ cỏi). Ta ký hiệu là F = {x1, x2, x3, x4, x5, x6}. Cỏc tập con của F là cỏc tập hợp gồm lần lượt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 phần tử trong cỏc phần tử của F. Số cỏc tập con của F là . Vậy số cỏc tập con của mỗi tập F là 64 (tõp con). 2. Toạ độ A(x; y) thoả món hệ: A(1; 2). Gọi B(x; y), do B là trung điểm AC nờn C(x – 1; 2y – 2). Vỡ B(C1) và C(C2), ta cú hệ: . Hệ trờn chứng tỏ B thuộc đường thẳng d cú phương trỡnh 7x – 4y + 1 = 0. Mặt khỏc A(1; 2) cũng thuộc d. Vậy phương trỡnh đường thẳng cần tỡm là d: 7x – 4y + 1 = 0. ----------------------------- Hết ---------------------------- Đề số: Họ tờn: Lớp: Trường: Ngày: Cõu I: Cho (Cm): y = . Khảo sỏt khi m = 6. Tỡm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm phõn biệt. CMR hệ số gúc của tiếp tuyến tại cỏc giao điểm ấy được tớnh theo cụng thức k = . Lập phương trỡnh đường thẳng qua cỏc điểm cực trị của đồ thị (Cm) của hàm số. Cõu II: Tỡm m để phương trỡnh 41+x + 41-x = (m + 1)(22+x – 22-x) + 2m, cú nghiệm thuộc [0; 1]. Giải phương trỡnh: . Cõu III: Giải phương trỡnh: . Tớnh cỏc gúc trong tamgiỏc ABC nếu 2sinAsinB(1 – cosC) = 1. Cõu IV: Cho họ cỏc đường trũn (Cm): x2 + y2 – 2(m + 1)x – 4my – 5 = 0. Tỡm điểm cố định của họ (Cm). Tỡm tập hợp cỏc điểm cú cựng phương tớch đối với mọi đường trũn trong họ. Cho hỡnh chúp S.ABCD, ABCD là hỡnh thoi cú cạnh bằng a, , O là giao điểm của AC và BD, đường cao của hỡnh chúp là SO = . Gọi M là trung điểm AD, mặt phẳng (P) qua BM và song song với SA cắt SC tại K. Tớnh thể tớch KBCDM. Cõu V: Giải hệ: Tỡm số nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x + y + z = 100. Cho a, b, c là cỏc số dương thoả món . CMR: . BÀI TẬP Tỡm GTNN của: P = . CMR tam giỏc ABC cú ớt nhất một gúc bằng 60o nếu sin3A + sin3B + sin3C = 0. Cho tam giỏc ABC cú (1 + cotA)(1 + cotB) = 2 thỡ C = 45o. ----------------------------- Hết ---------------------------- Đề số: Họ tờn: Lớp: Trường: Ngày: Cõu 1: Cho hàm số (C). Khảo sỏt, vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tỡm cỏc điểm M, N trờn hai nhỏnh của (C) sao cho khoảng cỏch MN là nhỏ nhất. Cõu 2: Giải phương trỡnh: . Giải hệ: Cho x, y thoả món và x + y = 1. Tỡm GTLN, GTNN của biểu thức P = 3x + 9y. Cõu 3: Giải phương trỡnh: 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tg2x. Tỡm GTNN của hàm số y = 2 + tg2x + cotg2x +, với . Giải biện luận phương trỡnh . Cõu 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Cho (P): y2 = 64x, đường thẳng : 4x + 3y + 46 = 0. Tỡm điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cỏch từ M đến ngắn nhất. Tớnh khoảng cỏch đú. Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai đường thẳng d1: và d2: . Chứng minh rằng d1 và d2 chộo nhau. Viết phương trỡnh đường vuụng gúc chung của d1 và d2. Tớnh khoảng cỏch giữa d1 và d2. Cõu 5: Tỡm cỏc số hạng khụng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của . Tớnh tớch phõn I = . Cho cỏc số thực a, b, c, d tuỳ ý. Chứng minh rằng: . ----------------------------- Hết ---------------------------- Đề số: Họ tờn: Lớp: Trường: Ngày: Cõu 1: Cho hàm số (C). Khảo sỏt, vẽ đồ thị (C) của hàm số. Chứng minh rằng qua điểm M(-3; 1) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và chỳng vuụng gúc với nhau. Cõu 2: Giải cỏc phương trỡnh sau: . . Cõu 3: Tỡm m để bất phương trỡnh: x + 2 – m cú nghiệm. Tớnh tớch phõn I =và J =. Cõu 4: Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz. Chứng minh rằng điểm A(1; -1; 1) và hai đường thẳng và cựng nằm trong một mặt phẳng. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Cỏc mặt bờn là hỡnh vuụng cạnh bằng a. Goi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, A’C’ và B’C’. Tớnh khoảng cỏch giữa DE và A’F. Cõu 5: Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC biết rằng . Tỡm số hạng mà số mũ của x và của y bằng nhau trong khai triển nhị thức Newton của ----------------------------- Hết ---------------------------- LỜI GIẢI: Cõu 1: Cho hàm số (C). Khảo sỏt, vẽ đồ thị (C) của hàm số. Chứng minh rằng qua điểm M(-3; 1) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và chỳng vuụng gúc với nhau. 1. ; y’ = 1; CĐ: (- 2; - 1), CT: (0; 3). 2. Tiếp tuyến qua M cú phương trỡnh: y = k(x + 3) + 1. Thoả món hệ sau cú nghiệm: (1) cú hai nghiệm x1, x2 thoả món x1 + x2 = x1.x2 = -1. Tương ứng hai tiếp tuyến cú hệ số gúc là k1 và k2. Từ (2) suy ra k1.k2 = . Cõu 2: Giải cỏc phương trỡnh sau: . . 1. Điều kiện: x > 0 (*); Đặt log2x = t, phương trỡnh trở thành 3t = 4t – 1, nghiệm duy nhất t = 1. 2. Hạ bậc (1) . Cõu 3: Tỡm m để bất phương trỡnh: x + 2 – m cú nghiệm. Tớnh tớch phõn I =và J =. 1. x + 2 – m