Đề thi olympic Toán - lớp 6, 7, 8

phòng Giáo dục & Đào tạo Đề chính thức Thanh oai Đề thi olympic lớp 6 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Cõu 1 ( 6 điểm ) Tỡm x thỏa món một trong cỏc điều kiện sau: 1. 2. 3. | x | + x = 0 Cõu 2 ( 5 điểm ) Tỡm a, b là số tự nhiờn biết: Hai số tự nhiờn x và 2x đều cú tổng cỏc chữ số bằng y. Chứng minh rằng: x chia hết cho 9. Chứng minh rằng : Cõu 3 ( 3 điểm ) Cựng một cụng việc nếu mỗi người làm riờng thỡ 3 người A, B, C hoàn thành cụng việc trong thời gian lần lượt là 6 giờ, 8 giờ, 12 giờ. Hai người B và C làm chung trong 2 giờ sau đú C chuyển đi làm việc khỏc, A cựng làm với B tiếp tục hoàn thành cụng việc cho đến xong. Hỏi A làm trong mấy giờ? Cõu 4 ( 5 điểm ) Cho: xoy = 1200, xoz = 500. Tớnh xom biết rằng om là tia phõn của gúc yoz. Cõu 5 ( 1 điểm ) Tỡm số tự nhiờn x biết tổng cỏc chữ số của x bằng y, tổng cỏc chữ số của y bằng z và x + y + z = 60. __________________________________________________________ phòng Giáo dục & Đào tạo Đề chính thức Thanh oai Đề thi olympic lớp 7 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Cõu 1 ( 6 điểm ) 1. Tỡm x thỏa món một trong cỏc điều kiện sau : a, b, , | x – 5 | = 5- x 2. Chứng minh đa thức x2 + 2x + 2 khụng cú nghiệm. Cõu 2 ( 4 điểm ) Cho: . Chứng minh: a, b, c, Cõu 3 ( 4 điểm ) Chứng minh rằng với mọi a,b Q ta cú : | a + b | ≤ | a | + | b | So sỏnh 12723 và 51318 Cõu 4 ( 5 điểm ) Cho tam giỏc ABC vuụng ở C, đường cao CD. Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc ACD và DCB cắt cạnh huyền AB theo thứ tự ở K và M. a, Chứng minh: ∆ ACM cõn. b, Chứng minh điểm cỏch đều 3 đỉnh của ∆KCM thỡ cũng cỏch đều ba cạnh của ∆ABC. Cõu 5 ( 1 điểm ) Cho cỏc số nguyờn dương a, b, c, d, e, f biết : và af – be = 1 Chứng minh : d ≥ b + f phòng Giáo dục & Đào tạo Đề chính thức Thanh oai Đề thi olympic lớp 8 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Cõu 1 ( 6 điểm ) Giải phương trỡnh: a, | 2x - 3 | = - x + 21 b, 9x2 + 6x – 8 = 0 2. Chứng minh bất đẳng thức Cõu 2 ( 5 điểm ) 1. Tỡm cỏc hằng số a, b để : x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho x2 – x – 2 với mọi x є Q. 2. Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn x2 +2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0 Cõu 3 ( 2 điểm ) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : A= a3 + b3 + c3 biết a, b, c lớn hơn -1 và a2 + b2 + c2 = 12 Cõu 4 ( 7 điểm ) Cho tam giỏc ABC. Gọi P là giao điểm của ba đường phõn giỏc trong của tam giỏc đú. Đường thẳng qua P và vuụng gúc với CP, cắt CA và CB theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng: a, ∆ AMP ~ ∆ APB b, c, BC . AP2 + CA. BP2 + AB. CP2 = AB . BC. CA __________________________________________________________ phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Hướng dẫn chấm thi olympic Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Lớp 6 Cõu Nội dung Điểm Cõu 1 1. -> x = -1 2. -> x= - 1 3. / x / = -x -> x 0 1,0đ. 1,0đ. 1,0đ. 1,0đ. 2,0đ. Cõu 2 1. -> b( 3a - 2 ) = 30 -> 3a – 2 Ư(30) Do 3a – 2 chia 3 dư 1 -> 3a – 2 = 1 hoặc 10 -> (a, b) = ( 4, 3); (1, 30). 2. Do 1 số và tổng cỏc c/s của nú cú cựng số dư trong phộp chia cho 9 nờn hiệu của chỳng chia hết cho 9 Ta cú 2x – y 9 và x – y x => ( 2x – y ) – ( x – y) 9 -> x 9 3. S = = = Do = -> S < 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. Cõu 3 Trong 1 giờ mỗi người A, B, C lần lượt làm được , , , B và C làm được 2 giờ B và C làm được A và B làm được 1 giờ A và B cựng làm được: Thời gian A cựng làm với B là: giờ. 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. Cõu 4 2 trường hợp : a, Trường hợp 1 : 2 tia oy, oz thuộc cựng một nửa mặt phẳng cú bờ ox xoz = 500 oz nằm giữa ox và oy. yoz = xoy – xoz = 1200 – 500 = 700 zom = = 350 xom = xoz + zom =500+ 350 = 850 b, Trường hợp 2 : 2 tia oy và oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ ox. Từ đầu bài -> 0x nằm giữa 2 tia oy và oz. yoz = 1200 + 500 = 1700 zom = 850 xom = 850 – 500 = 300 0,5đ. 1,0đ. 1,0đ. 0,5đ. 1,0đ. 1,0đ Cõu 5 Từ đầu bài ta cú x là số cú 2 chữ số. Đặt x = x = 10a + b -> y = a + b, z cú 2 trường hợp : * Nếu y = a + b 9 -> z = a + b ta cú : ( 10a + b) + ( a + b ) + ( a + b ) = 60 -> 4a + b = 20 b 4 -> b = 0; 4; 8 -> a = 5, 4, 3 loại a = 3, b = 8 ( do a + b > 9) * Nếu y = a + b 10 -> z = a + b – 9 Ta cú : ( 10a + b ) + ( a + b ) + ( a + b – 9 ) = 60 -> 4a + b = 23 -> a = 4 , b = 7 -> = 44, 47, 50. 0,5đ. 0,5đ. phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Hướng dẫn chấm thi olympic Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Lớp 7 Cõu Nội dung Điểm Cõu 1 1. a, ( 2x + 3)2 = => x = hoặc x= b, | x – 5| = 5 – x = - ( x – 5 ) x – 5 ≤ 0 x ≤ 5 2. x2 + 2x + 2 = x2 + x + x +1 + 1 = (x + 1)2 + 1 > 0 -> đpcm 1,0đ. 1,0đ. 1,0đ. 1,0đ. 1,0đ. 1,0đ. Cõu 2 Chứng minh cõu a, cõu b mỗi cõu cho 1 điểm c, -> => 2,0đ. 1,0đ. 1,0đ. Cõu 3 1. a, Nếu a +b ≥ 0 -> | a + b| = a + b Do: a ≤ |a| ; b ≤ | b| ( a,b є Q ) -> | a+ b | = a + b ≤ | a | + | b| (1) b, Nếu a + b | a+b | = - a – b mà – a ≤ | a | , - b ≤ | b | -> | a+b | = - a - b ≤ | a | + | b | . (2) Từ (1), (2) -> đpcm dấu = xảy ra ú ab ≥ 0 2. 12723 < 12823 = (27)23 = 2161 51318 > 51218 = (29)18 = 2162 -> 51318 > 12723 0,5đ. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ Cõu 4 1, AMC = , ACM = ACD + Do = , = ACD -> ACM = AMC -> ∆ACM cõn. 2. CM tương tự ta cú BC = BK. Vậy đường thẳng chứa tia phõn giỏc của gúc A cũng là đường trung trực của CM. Và đường thẳng chứa tia phõn giỏc của gúc B cũng là trung trực của CK. => Giao điểm 3 đường trung trực của ∆KCM trựng với giao điểm 3 đường phõn giỏc của ∆ABC -> đpcm 2,5đ. 2,5đ. Cõu 5 d = d( af – be ) = adf – bed = ( adf – bcf ) + ( bcf – bed ) = f( ad – bc ) + b ( cf – ed ) ≥ f.1 + b.1 = f + b 0,5đ. 0,5đ. phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Hướng dẫn chấm thi olympic Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Lớp 8 Cõu Nội dung Điểm Cõu 1 1. a, | 2x -3 | = - x + 21 x = 8 , x = - 18 b, 9x2 + 6x – 8 = 9x2 – 6x + 12x – 8 = ( 3x – 2)( 3x + 4) = 0 -> x = , x = 2. Xột hiệu : Do x2 - x + 1 > 0 -> -> đpcm 2,0đ. 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. 1,0đ. 1,0đ. Cõu 2 1. x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b = ( x2 – x – 2). Q(x) "(x) = ( x + 1)(x – 2 ). Qx Với x = -1 cú: -a + b = -31 x = 2 cú: 2a + b = - 28 -> a = 1, b= -30 2. Pt ( x + y)( x + 2y – 1) = -3 = 1.(-3) = 3. ( -1) Xột 4 trường hợp ta cú : (x ; y) = ( -8 ; 5), ( -6 ;5), (6 ;-3), (4 ;-3) 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 1,5đ. 1,0đ. Cõu 3 ( a3 +1) - 3(a2 – 1) = (a + 1)( a2 – a + 1) – 3( a - 1)( a +1) = ... = ( a + 1)( a – 2)2 ≥ 0 ( do a > - 1 ) -> a3 – 3a2 ≥ - 4 , tương tự b3 – 3b2 ≥ - 4, c3 – 3c2 ≥ - 4 -> ( a3 + b3 + c3 ) – 3( a2 + b2 + c2 ) ≥ - 12 -> B – 36 ≥ -12 -> B ≥ 24 ->GTNN B = 24 a = b = c= 2 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. Cõu 4 a, AMP = 900 + APB = 900 + BNP = 900 + -> ∆ AMP ~ ∆ APB b, CM tương tự : ∆ APB ~ ∆PNB => ∆AMP ~ ∆ APB ~ ∆PNB => => => ( do MP = NP ) c, Do ∆AMP ~ ∆PNB => => AM.NB = MP.PN = MP2 => AM.NB = CM2 – CP2 = ( CA–AM )(CB–BN ) – CP2 = CA.CB – CA.BN – AM.CB + AM.BN – CP2 => AM.CB + BN.CA+ CP2 = CA.CB => AM.CB.AB + BN.CA.AB + CP2.AB = AB.BC.CA (1) Từ cõu (b) cú : -> AM.AB = AP2 (2) -> BN.AB = BP2 (3) Từ (1), (2), (3) ->đpcm 1,0đ. 1,0đ. 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. 1,0đ. 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ.