Đề thi tuyển sinh đại học năm 2006 (đề dự trữ) đề dự bị 1 – Khối A

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2006 (ĐỀ DỰ TRỮ) Đề DỰ BỊ 1 – khối A – 2006 Phần Chung Cho Tất Cả Các Thí Sinh Câu I (2 đ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x x x + + + 2 2 5 1 (C) 2) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau đây có hai nghiệm dương phân biệt x2 + 2x + 5 = (m2 + 2m + 5)(x + 1) Câu II (2 đ) 1) Giải phương trình: cos3x cos3x – sin3x sin3x = +2 3 2 8 2) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( , ) ( )( ) x y y x y x y R x y x y ⎧ + + + =⎪ ∈⎨ + + − =⎪⎩ 2 2 1 4 1 2 Câu III (2 đ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C′ ′ ′ có A(0, 0, 0) ; B(2, 0, 0) ; C(0, 2, 0) ; A′ (0, 0, 2) 1) Chứng minh A′C vuông góc với BC. Viết phương trình mp (ABC′ ) 2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B C′ ′ trên mp (ABC ) ′ Câu IV (2 đ) 1) Tính tích phân: I = dx x x+ + +∫ 6 2 2 1 4 1 2) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x2 + xy + y2 ≤ 3. Chứng minh rằng: x xy y− − ≤ − − ≤ −2 24 3 3 3 4 3 3 Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu Va hoặc câu Vb Câu Va (2đ) ) 1 Trong mp với hệ trục Oxy, cho elíp (E): x y+ = 2 2 1 12 2 Viết phương trình hypebol (H) có hai đường tiệm cận là y = ± 2x và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elíp (E) 2)Áp dụng khai triển nhị thức Newton của (x2 + x)100, chứng minh rằng: ...C C C⎞ ⎛ ⎞ ⎛− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 99 100 0 1 991 1 1100 101 199 C⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 198 199 100 100 100 100 1200 0 2 2 2 ập k 1) ải phươ 2) o h hộp ⎜ ⎟⎝ ⎠100 2 ( knC là số tổ hợp ch của n phần tử ) Câu Vb (2 đ) Gi bất ng trình: logx + 1(-2x) > 2 Ch hìn đứng ABCD. A B C D′ ′ ′ ′ có các cạnh AB = AD = a, A A′ = a 3 2 và góc BAD = 600. Gọi M và N ần lượt là trung điểm l ùc cạnh A D′ ′ và A B′ ′ . Chứng của ca minh AC′ vuông góc với mp ùp A.BDMN (BDMN). Tính thể tích khối cho Bài giải 1/ KS y= x x + + 2 2 5x + 1 , MXĐ: D=R/{ }−1 y’= ( ) x x+ −2 2 3 , y x + 2 ’=0 ⇔1 x=1 hay x=-3 TC: x=1, y=x+1 -3 -1 x -∞ 1 +∞ y’ + 0 - - 0 + y -4 +∞ +∞ -∞ -∞ 4 2/ Tìm m để pt có 2 nghiệm d ơng phân biệt. Vì x >0, pt đã cho ư ⇔ x x+ + + 2 22 5 2 5 m m x = ++1 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm x x x + + + 2 5 1 , x > 0, với đường thẳng y= 2 m m+ +2 2 5 . Từ BBT và y(0) ta suy ra ⎪⎩ ≠− số y = của (C) ycbt ⇔ m m ⎧⎪ ⎨ m m− < < 1 2 0 II 24 2 5 5 Câu +2 3 2 1/Giải pt: cos3x.cos3x-sin3x.sin3x= 8 (1) (1) 3x(c 3cos in3x(3sinx sin3x)= +2 3 2 2 ⇔ cos os3x+ x)-s - ⇔ cos23x+sin23x+3(cos3x.cosx-sin3x.sinx)= + 2 3 21 cos4x=⇔ 2 π 4 ⇔ x= kπ π± + 16 =cos 2 2 2/ Gỉai hệ phương trình )( ) x ( )y y x y (x y x y ⎧ + +⎪⎨ + =+ + − = 2 2 1 4 1 2 (I) *Khi y=0 thì (I) ⎪⎩ ⇔ )( )( x x x ⎧ +⎪⎨⎪ + − =⎩ =2 2 1 1 2 0 0 (VN) *Khi y 0 chia hai pt cho y (I) ≠ ⇔ ( ) x y x ⎧ + + +⎪ y x y x − =⎪⎨ +⎪ y + − =⎪ 2 2 2 2 1 2 1 ⎩ 1 ( ) ( ) x y x y y x y x ⎧ + + + − =⎪⎨⎪ + − − + − + =⎩ 2 2 1 2 2 2 2 2 1 ⇔ 0 ng và tích ) ( do pt tổ ⇔ y x x x + − =⎧⎨ + = −⎩ 2 2 1 1 3 ⇔ x y =⎧⎨ =⎩ 1 2 hay x y = −⎧⎨ =⎩ 2 5 Cách khác Thay y của pt 2 vào pt 1 ( I) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) x x y x y x x y x x y x y ⎧ + + + + − + = + + −⎪⇔ ⎨ + + − =⎪⎩ 2 2 2 2 1 1 2 4 1 2 1 2 ta có )2 ( chia 2 vế của pt 1 cho 1 + x2 ) ) 1 2 ( )( ) ( ( )( ) y x y x y x x y x y + + − + = + −⎧⇔ ⎨ + + − =⎩ 2 1 2 4 1 2 ( )( ) ( ( ) ( ) y x y x y x x y x y + + − + − + = + −⎧⇔ ⎨ + + − =⎩ 2 1 2 2 2 4 2 ⇔ y x x x⎨ −2 ⇔ +⎧ − = + = 2 1 1 3⎩ x y =⎧⎨ =⎩ 2 hay y 1 x = −⎧⎨ =⎩ 5 2 Câu III. 1/CM: A’C BC’. Viết phương trình mp(ABC’) ó ( , , )− ⊥ Ta c / ( , , ), 'A C BC= − = uuuur uuuur 0 2 2 2 2 2 '' . ' .( )A .( ) .( ) 'C BC BC= − ⊥0 2uuuur uuuur r uuuur . Vì A’CA C+ − = ⇔2 2 2 2 0 uuuu ⊥ BC’, A’ )= −0 2 2 C⊥AB=> A’C⊥ (ABC’) ⇒ 'A Cuuuur là PVT của mp(ABC’) ( , , ⇒pt(ABC’): 0.(x-0)+2(y-0)-2(z-0) = 0 ⇔ y - z = 0 2/Viết phương trình hình chiếu vuông góc của B’C’ lên mp(ABC’) Ta có ' 'B C =uuuuur uuur ( , , )BC = −2 2 0 . Gọi (α ) là mp chứa B’C’ và ⊥ (ABC’). h hiếu vuông góc của B’C’ lên mp(ABC’) l iao tuyến của K i đó hình c à g (α ) và (ABC’) (α ) có PVT ⎡ ⎤= = − − − = −4 4 4 4 111uur uuuuur uuuur ' ', ' ( , , ) ( , , )n B C A Cα ⎣ ⎦ ⇒pt(α ):1(x-0)+1(y-2)+1(z-2)=0 ⇔ x+y+z - 4=0. nh chiếu B’C’ lên (ABC’) là x y z y z ⎧⎪⎨⎪⎩ + + − = − Vậy pt hì =0 4 0 Câu IV 1/ Tính I= dx x x+ + +2 2 1 4 1∫ 6 Đặt t= x +4 1 ⇒ t2=4x+ x=1⇒ t − 2 1 4 , t dt 2 dx= .Đổi cận : t ( 2) = 3 ; t ( 6 ) = 5 I= ( )t dt+ −5 1 1 ( ) (t t t = −+ + +∫ ∫ ∫23 3 31 1 )dt dt 5 5 1 =2 ln lnt t ⎡ ⎤+ + = −⎢ ⎥+⎣ ⎦ 3 1 31 1 2 12 5 1 2/Chứng minh: x xy y− − ≤ − − ≤ −2 24 3 3 3 4 3 3 với x 2+xy+y2 Đặt A= x2+xy+y2 , B= x2-xy-3y2 *Nếu y= theo û thiết A=x0 thì gia 2 ≤ 3 B=x2. Do đó ⇒ B− − ≤ ≤ <4 3 0 4 3≤ −3 3 3 (ĐPCM) : ( )A x xy y t tB A x xy y t t − − −= = −+ + + 2 2 2 2 2 2 3 3 1 *Nếu y ≠ 0 Đặt t= x y .Ta có + Ta tìm tập giá trị của ( ) ( )t t t u− −u u t u t t = ⇔ − + + 2 23 1 1 ( )vì và b =a u= −1 + + =+ +2 3 01 +1 không đồng thời bằng 0 nên miền giá trị củ la u ø Δ ≥ ⇔0 − −3 4 3 3 ≤ u≤ − +3 4 3 3 a u . A.u và Ta có B = 0≤A≤ 3 −3⇒ − 4 B3 ≤ ≤ − +3 4 3 Câu Va 1/(E): x y 2 2 m là + =1 12 2 có hai tiêu điể ( ( ,F −1 10, ), )F 210 0 0 (H) có cùng tiêu điểm với (E) x y2 2 a b − =2 2 1 vơ⇒ (H): ùi a2+b2=c2=10 (1) (H) có hai tiệm cận ( ) by x x a b⇔ = =>2 2 b a = ± = ± = 2 2 Từ (1),(2) suy ra a2=2,b2=8 pt(H): a ⇒ x y− = 2 2 1 2 8 2/ Ta có ( ) ... x x C x C x C x C x+ = + + + +2 100 0 100 1 101 2 102 100 200 lấy 100 100 100 100 đạo hàm hai vế, cho x= - 1 2 và nhân hai vế cho (-1).Ta có kết quả: ( ) ... ( ) ( )C C C C+ − = 100 100 100 100 199 00 2 2 2 ) (− +1 99 10099 100 198 199 100 1 1 1 1101 2 0 2 Vb 0 Câu x+1/Giải pt: log x ( )− >1 2 2 (1). Với ĐK: -1< x < 0 0 < x + 1 < 1 ⇒ (1) và -1< x <0 < ⇔ log ( ) log ( )x xx x+ +− > = + 21 12 2 1 ⇔ x x x+ + >⎩ 2 4 1 0 − <⎧⎨ 1 0 ⇔ -2+ 3 < x < 0 2/ Gọi O là tâm hình thoi ABCD S là điểm đối xứng của A qua A’. Khi đó S,M,D thẳng hàng và M l SD ; S,N,B thẳng hàng và N là trung của SB à trung điểm của điểm có AB=AD= a BADΔ BAD =600⇒ BADΔ đều AO=⇒ a 3 2 , AOAC=2 = a 3 =SA a 3 =AO Hai tam gi 2 a âng ø A n ùc vuoCC’= SAO va CC’ bằng hau ⇒ ' 'ASO CAC A> C SO= = ⊥ (1) Vì D BD AC và B⊥ ⊥AA’ C’ ( Từ (1) và (2) suy ra AC’ ⇒BD⊥ (AC C’A’) ⇒BD⊥A 2) ⊥ (BDMN) đó: VABDMN= 3 4 1VSABD ( vì S SDo MN= 4 S SBD ) . ABD a aSA S a =3 4 16 = = 2 33 1 1 3 3 4 3 4 Hà Văn Chương - Phạm Hồng Danh - Lưu Nam Phát ( Trung Tâm Luyện Thi Vĩnh Viễn )