Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 1995 –1996) Buổi 1

Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 1. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 1995 – 1996) Buổi 1 Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức : M = 265 xyxy +- a) Phân tích M thành nhân tử. b) Tìm các cặp số (x; y) thoả mãn đồng thời: 01 =+- yx và M = 0. Bài 2. (2 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho điểm A(0; 2) và đường thẳng (d) có phương trình y = - 2. Gọi M(x; y) là điểm thay đổi trong mặt phẳng và D là hình chiếu của M trên (d). Giả sử luôn có MA = MD. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x, y. Từ đó suy ra tập hợp điểm M. Bài 3. (2 điểm) Cho hai điểm cố định M, N. Đường tròn tâm O tiếp xúc với MN tại M, đường tròn tâm O1 tiếp xúc với MN tại N. a) Hai đường tròn cắt nhau tại A, B. Nối AB kéo dài cắt MN tại C. Chứng minh hai tam giác CAM và CMB đồng dạng, suy ra C là điểm cố định trên MN. b) Dựng đường tròn tâm O1 tiếp xúc ngoài với đường tròn tâm O. Bài 4. (2 điểm) Một đường thẳng song song với cạnh BC của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, AC tại D, E. Chứng minh rằng với mọi điểm K trên cạnh BC luôn có diện tích tam giác DEK không lớn hơn một phần tư diện tích tam giác ABC. Đường thẳng DE ở vị trí nào thì tam giác DEK có diện tích lớn nhất ?. Bài 5. (2 điểm) Tính tổng: 19961995 1 ... 43 1 32 1 21 1 + ++ + + + + + =A . ------------------------------------------- 2. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 1995 – 1996) Buổi 2 Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức: x x xx A 2 8)2( 2 - -+ = . a) Tìm điều kiện để A có nghĩa. b) Rút gọn A. Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 Bài 2. (2,5 điểm) Cho hàm số y = 3x2 có đồ thị (P). a) Biện luận theo m số giao điểm của (P) với đường thẳng (d) có phương trình: y = mx – 1. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 0) và tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm. c) Tìm trên (P) những điểm cách đều hai trục toạ độ. Bài 3. (2 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, D là điểm chuyển động trên đường tròn. Từ điểm C trên AB hạ đường vuông góc với AD tại H, phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F, FD cắt (O) tại N. 1. Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và suy ra 3 điểm N, C, E thẳng hàng. 2. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt DN tại M. Chứng minh BCM là tam giác cân Bài 4. (2 điểm) Cho hình vuông ABCD có tâm O. Gọi M, N là trung điểm của OB, CD. 1. Chứng minh AMN là tam giác vuông cân. 2. So sánh AN và MD. Bài 5. (2 điểm) Cho a, b, c, d và A, B, C, D là các số dương thoả mãn điều kiện: D d C c B b A a === Chứng minh: ))(( DCBAdcbadDcCbBaA ++++++=+++ ------------------------------------------- 3. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 1996 – 1997) Buổi 1 Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức x x x x xx x A - + - - + - +- - = 3 12 2 3 65 92 . 1. Tìm x để A có nghĩa. 2. Rút gọn A. Tìm x nguyên để A nguyên. Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 Bài 2. (1,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: )11(2)11(2 +-+++++= xxxxA . Bài 3. (3 điểm) Cho (O, R). Gọi K là trung điểm của dây AB, qua K kẻ hai dây EF và CD ( với EF > CD), C và E ở về cùng một phía đối với AB. CF cắt AB tại M; ED cắt AB tại N. Từ F kẻ dây FI // AB. 1. Chứng minh: FK = IK. 2. Chứng minh tứ giác KNDI nội tiếp trong một đường tròn và KM = KN. 3. Giả sử hai điểm A, B thay đổi trên đường tròn sao cho độ dài AB không đổi. Hãy tìm tập hợp điểm K. Bài 4. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi D là một điểm trên cạnh BC. Gọi (O1, R1) và (O2, R2) là các đường tròn đi qua D lần lượt tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C; P là giao của BO1 và CO2; I là trung điểm của O1O2. Chứng minh rằng khi D di động trên BC thì P cố định và I chạy trên một đường thẳng cố định. Bài 5. (1,5 điểm) Trên mặt phẳng toạ độ xOy, cho hai điểm A (2; 5), B(-3; 1). Tìm trên Ox điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất ------------------------------------------- 4. §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT chuyªn Yªn B¸i (N¨m häc 1996 – 1997) Buæi 2 Bài 1 (3điểm): Trong mặt phẳng tọa độ xoy cho đồ thị (P) của Parabol: 2 4 3y x x= - + ; điểm A(2;1) và đường thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k. a. Chứng minh rằng (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt M; N. b. Xác định k để độ dài MN ngắn nhất. Bài 2 (2 điểm) Từ điểm P ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ các tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (A; B là các tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A tới đường kính BC. a. Chứng minh PC cắt AH tại trung điểm của AH. b. Tính AH theo R và PO = d. Bài 3 (2,5 điểm) Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB, một tia Ax hợp với AB một góc 300. Từ B kẻ BH vuông góc với Ax tại H, trên BH kéo dài lấy điểm C sao cho HM = 2MC, đường thẳng song song với AB kẻ từ C cắt Ax tại D. a. Gọi N là trung điểm của CD. Chứng minh 3 điểm M, N, H thẳng hàng. b. Cho AC và BD cắt nhau tại E. chứng minh H là trọng tâm của tam giác AEB. Bài 4 (1,5 điểm) Tìm những giá trị nguyên của n ( n ¹0) để phương trình: 2 (2 1) 2 0nx n x n+ - + - = có biệt số đen ta là số chính phương. Bài 5 (1 điểm). Cho hình vuông ABCD, trên các cạnh BC, CD theo thứ tự lấy hai điểm M và N sao cho góc · 045MAN = chỉ dùng thước thẳng hãy vẽ đường vuông góc với đường thẳng NM ------------------------------------------------------------- 5. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 1997 – 1998) Buổi 2 Bài 1. (3 điểm) 1. Cho biểu thức: 41)4(3 41)4(3 )( 2223 2223 +--+- ---++ = xxxx xxxx xP Rút gọn biểu thức P(x) rồi giải phương trình P(x) = 1. 2. Cho parabol (P): y = x2 – 4x + 3 và điểm A(2; 1). Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm giá trị của k để MN nhỏ nhất. Bài 2. (2 điểm) Cho đường tròn (O; R). Gọi P là điểm nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến PA, PB ( A, B là tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường kính BC của đường tròn. 1. PC cắt AH tại I. Chứng minh I là trung điểm của AH. 2. Đặt PO = d. Tính AH theo Rvà d. Bài 3. (2,5 điểm) Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB và góc BAx = 300 . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống Ax. Trên BH kéo dài lấy điểm C sao cho HM = 2CH, đường thẳng song song với AB kẻ từ C cắt Ax tại D. 1. Gọi N là trung điểm của CD, chứng minh M, H, N thẳng hàng. 2. Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh H là trọng tâm của tam giác ABE. Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 Bài 4. (1,5 điểm) Tìm số nguyên n 0¹ để phương trình: nx2 + (2n – 1)x + n – 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ. Bài 5. (1 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên BC và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho góc MAN = 450. Chỉ dùng thước kẻ hãy vẽ đường thẳng vuông góc với MN. ------------------------------------------ 6. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 1997 – 1998) Bài 1. (2 điểm) Cho parabol (P): y = 3x2 1. Biện luận theo m số giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = mx – 2. 2. Tìm trên (P) những điểm cách đều hai trục toạ độ. Bài 2. (2,5 điểm) 1. Cho biểu thức B = . 1 2 )1(2 1 )1(2 1 3 2 a a aa - + - - + + Rút gọn và tìm GTNN của B. 2. Giải phương trình: 24 54 10 2 2 += +- + x xx x . Bài 3. (1,5 điểm) Cho biểu thức: A = n4 – 14n3 + 71n2 – 154n + 120, với n là số nguyên. 1. Phân tích A thành tích của 4 số nguyên liên tiếp. 2. Chứng minh A chia hết cho 24. Bài 4. (3 điểm) Cho đường tròn rtâm O cố định. Một đường thẳng (d) cố định cắt đường tròn (O) tại M và N. A là điểm chuyển động trên (d) và nằm ngoài (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O). 1. Tìm những điểm cố định mà đường tròn xác định bởi 3 điểm A, B, C đi qua. 2. Tìm vị trí của A để tam giác ABC đều. 3. Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 5. (1 điểm) Cho hai điểm A, B thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng (d) cho trước. Hãy tìm trên (d) hai điểm C, D sao cho tổng AB + BC +CD + DA là nhỏ nhất, biết CD có độ dài m cho trước. ------------------------------------------- Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 7. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 1998 – 1999) Bài 1. (2 điểm): Trên mặt phẳng toạ độ xOy cho parabol (P): 2 4 1 xy -= và đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1. 1. Tìm m sao cho (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định thuộc (P). Bài 2. (3 điểm) 1. Giải hệ phương trình: î í ì =+- =++ 1 .1322 yxyx yxyx 2. Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình: b2x2 + (b2 + c2 – a2)x + c2 = 0 vô nghiệm. Bài 3. (2 điểm) Cho tam giác ABC với trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi I là trung điểm của BC, AM là đường kính của đường tròn. 1. Chứng minh I là trung điểm của HM. 2. Chứng minh 3 điểm H, G, O thẳng hàng. Bài 4. (2 điểm) Từ điểm A nằm ngoài (O, R) kẻ cát tuyến AMN. 1. Chứng minh: AM.AN = OA2 – R2. 2. Các tiếp tuyến tại M và N của (O) cắt đường thẳng qua A và vuông góc với OA lần lượt tại B, C. Chứng minh BA = AC. Bài 5. (1 điểm) Từ một điểm D trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC kẻ các đường thẳng DM, DN lần lượt vuông góc với AC, AB. Chứng minh tam giác BCD đồng dạng với tam giác NDM. Với mỗi tam giác ABC cho trước, hãy tìm vị trí của D trên đường tròn ngoại tiếp tam giác sao cho MN có độ dài lớn nhất. ------------------------------------------- 8. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 1999 – 2000) Bài 1. (3 điểm) a) Cho parabol (P): 2 2 1 xy = và đường thẳng (d): y = ax + b, Xác định các hệ số a, b sao cho (d) đi qua điểm A(-1; 0) và tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm. Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 b) Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương và tổng 4 nghiệm của hai phương trình không nhỏ hơn 4. Bài 2. (2 điểm) Cho biểu thức: 1212 --+-+= xxxxA 1. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. Rút gọn A. 2. Tìm x ứng với GTNN của A. Bài 3. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AC > AB. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC, D là giao của của AB và CM. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tiếp tuyến tại M và cắt tia AM lần lượt tại N và E. 1. Chứng minh: Tứ giác ADEC nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh: MN // BC. 3. Gọi I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh: CICENC 111 += Bài 4. (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một cát tuyến CD quay quanh trung điểm I của OB, kẻ AE vuông góc với CD, K là trung điểm của CD, H là giao điểm của BK và AE. 1. Chứng minh : BD = HC. 2. Tìm quỹ tích điểm H khi CD quay quanh I ------------------------------------------- 9. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 2000-2001) Bài 1. (2,5 điểm) 1. Cho parabol (P): y = x2 và điểm A(2; 1). Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A. a) Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) b) Tìm trên (P) điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó tới gốc toạ độ bằng 6 . 2. Cho hàm số: f(x) = (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7). Tìm GTNN của f(x). Bài 2. (2,5 điểm) 1. Giải phương trình: 144423 =--+--- xxxx Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 2. Giải hệ pương trình: î í ì =- =+ 1 2 2zxy yx Bài 3. (3 điểm) Cho hai đường tròn (O1); (O2) có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở hai điểm C, D. Vẽ cát tuyến bất kỳ qua D cắt hai đường tròn ở M, N ( ))();( 21 ONOM ÎÎ , vẽ cát tuyến ADB vuông góc với CD ))();(( 21 OBOA ÎÎ . Gọi S là giao điểm của các tia AM, NB. a) Chứng minh các tứ giác MCNS, MCBS nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh: SM = SN. c) Khi cát tuyến MDN quay quanh D thì trung điểm K của MN và điểm S di chyển trên đường nào?. Bài . (2 điểm) Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O), các điểm D, E chạy trên đường tròn sao cho AD // BE và D, E ở cùng nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi C là giao điểm của AE và BD, Các tiếp tuyến của (O) tại A và D cắt nhau ở P. a) Chứng minh 3 điểm P, O, C thẳng hàng. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácDCE không đổi khi các điểm D, E thay đổi trên (O). ------------------------------------------------------- 10. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 2001-2002) Bài 1. (2,5 điểm) Cho phương trình: x2 – mx + m – 1 = 0 1. Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó. 2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2. Chứng minh rằng: A = m2 – 8m + 8. Bài 2. (2,5 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh ( thuộc đất trong vườn) rộng 2m. Tính kích thước khu vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256m2. Bài 3. (3 điểm) Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy một điểm M, đường thẳng CM cắt (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của (O) ở P. Chứng minh rằng: a) Tứ giác OMNP nội tiếp được trong một đường tròn. Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 b) Tứ giác CMPO là hình bình hành. c) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M. d) Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định. Bài 4. (2 điểm) Một số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, được tạo nên từ 4 chữ số: 0; 2; 3; 5. Hãy tìm số đó, biết rằng nó là số chính phương. ------------------------------------------------------------------------------------------ 11. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 2002-2003) Buổi 1 Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức: 11 1 1 1 3 - - + +- + -- = x xx xxxx M a) Tìm điều kiện tồn tại và rút gọn M. b) Tìm giá trị của x khi cho M = 2. c) Tìm giá trị nguyên dương của x để M có giá trị nguyên. Bài 2. (2điểm) a) Tìm GTLN của biểu thức: 344 1 2 +- = xx P b) Với những giá trị nào của x, y, z thì biểu thức: D = 2x + 3y – 4z đạt GTNN. Tìm GTNN đó biết x, y, z thoả mãn hệ phương trình: î í ì =-+ =++ 4343 632 zyx zyx ;(với x, y, z > 0) Bài 3. (1 điểm) Tổng các chữ số của một số có 3 chữ số bằng 7. Chứng minh rằng số đó chia hết cho 7 khi và chỉ khi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng nhau. Tìm các số có tính chất trên. Bài 4. (3điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, vẽ dây AC và BD lần lượt bằng R và R 2 . Gọi E và F là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường thẳng CD. a) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AC và BD. b) Tính EF theo R. c) Chứng minh diện tích tứ giác AEFB bằng tổng diện tích hai tam giác ABC và ABD. Bài 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Từ một điểm D bất kì trên (O) kẻ DM, DN lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và BC (MÎAB, NÎBC). Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 a) Chứng minh các tam giác ADC, MDN đồng dạng. b) Xác định vị trí điểm D trên (O) để MN có độ dài lớn nhất. ------------------------------------------- 12. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 2002-2003) Buổi 2 Bài 1. (2 điểm) Cho parabol (P): 2 2 1 xy -= và điểm D(1; -2). a) Viết phương trình đường thẳng (c) đi qua D và có hệ số góc m. Chứng minh rằng (c) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. b) Gọi xA, xB là hoành độ của A, B. Tìm m để xA2.xB + xA.xB2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 2. (1,5 điểm) Cho biểu thức : yyxxP 232 +-= . a) Phân tích P thành nhân tử. b) Tính giá trị của (P) khi 549 1 ; 25 1 + = - = yx . Bài 3. (2 điểm) a) Rút gọn vế phải rồi giải phương trình: 246246122 --+=+- xx b) Cho P(x) là đa thức bậc 4 biết: P(1) = P(-1); P(2) = P(-2). Chứng minh rằng P(x) = P(-x) với mọi x. Bài 4. (2 điểm) Cho (O, R) và đường thẳng (c) ở ngoài đường tròn. Kẻ OP vuông góc với (c) tại P. Từ điểm S trên (c) vẽ 2 tiếp tuyến với (O) tại các tiếp điểm M, N. Dây cung nối hai điểm này cắt SO tại D và cắt OP tại E. a) Chứng minh rằng: SO.OD = R2 b) Chứng minh các tứ giác SMNP, PMON nội tiếp. c) Tìm tập hợp điểm D khi S chạy trên (c). Bài 5. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S. Các điểm D, E, F thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = kAB; BE = k.BC; CF = kCA. a) Tính diện tích tam giác DEF theo S và k. b) Với giá trị nào của k thì diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. ------------------------------------------------------ Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 13. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 2003-2004) Buổi 1- 4/7/2003 Bài 1. (2 điểm) 1. Tìm A, B biết: 111 10 2 + + - = - x B x A x x . Với 1±¹x 2. Cho biểu thức: M = 4813532 +-+ . Chứng minh M = 26 + Bài 2. (2 điểm) Cho phương trình: 2x2 + (2m-1)x + m – 1 = 0 1. Tìm m để phưng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn điều kiện: 610 2221 2 1 -=++ xxxx . 2. Với giá trị nào của m thì 2 nghiệm x1, x2 : đều dương; đều âm; đối nhau. Bài 3. (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm trên cung AB, D là điểm chính giữa cung nhỏ CB. Lấy E là một điểm bất kỳ trên đoạn OB, nối DE cắt (O) ở điểm thứ hai K, KC cắt AD tại H. a) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh EH vuông góc với AC c) Đường thẳng song song với AC kẻ từ E cắt CK tại I. Chứng minh IE = BE. Bài 4. (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A, C. Vẽ tia Bx vuông góc với AC và trên đó lấy hai điểm H, E sao cho 3== BC BH BE AB . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE và CBH cắt nhau tại điểm thứ hai D. a) Chứng minh: 3 điểm A, H, D thẳng hàng. b) Chứng minh đường thẳng BD luôn đi qua một điểm cố định khi B di chuyển trên AC. Bài 4. (1 điểm) Trên mặt phẳng toạ độ xOy, cho hai điểm A(-2; 1), B(2; 3). Tìm trên Ox điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất. ------------------------------------------------------- 14. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 2003-2004) Buổi 2 ngày 5/7/2003 Bài 1. (2 điểm) 1. Cho biểu thức A = 221221 ---+-+- xxxx Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 a. Rút gọn A b. Tìm x để A đạt GTNN. 2. Tìm các số x, y, z thoả mãn : )( 2 1 21 zyxzyx ++=-+-+ Bài 2. (2 điểm) Cho parabol (P): y = x2 – 4x +3 và điểm A(2; 1). Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A. 1. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. 2. Tìm giá trị của k để MN ngắn nhất. Khi đó tìm toạ độ M, N. Bài 3. (3 điểm) Cho góc xOy =a (a <0) trên tia Ox lấy điểm C cố định, các điểm A, B lần lượt chạy trên Ox, Oy sao cho OA – OB = OC, đường trung trực của OC và AB cắt nhau tại D. 1. Chứng minh tứ giác ABOD nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Tính góc AOD theo a 3. Gọi G là trọng tâm tam giác AOB. Chứng minh đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ G đi qua một điểm cố định . Bài 4 (2 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B cố định vẽ các dây AD, AE lần lượt của (O) và (O’) sao cho AD tiếp xúc với (O’), AE tiếp xúc với (O) . Đường kính vuông góc với ) AD của (O) và đường kính vuong góc với AE của (O’) cắt nhau tại H. 1. Chứng minh tứ giác AôH’ là hình bình hành. 2. Tìm tập hợp điểm H khi (O) và (O’) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Bài 5 ( 1 điẻm) Cho góc xOy trên tia Ox lấy hai điểm A, B và trên Oy lấy hai điểm C, D sao cho AB = CD, gọi điểm M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh đường thẳng MN song song với phân giác của góc xOy. ------------------------------------------- 15. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 2004-2005) Buổi 1 Bài 1 . (2 điểm) Cho các biểu thức: 2 22 + -+- = x xxxx A ; 2 232 - -- = x xx B a) Rút gọn A và B. Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 b) Tìm x để A = B. Bài 2. (2 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0. (1) a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối. c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Bài 3.(1 điểm) Giải hệ phương trình: ïî ï í ì =++ - = - = - 5632 3 3 2 2 1 1 zyx zyx Bài 4.(4 điểm) Trên đường thẳng lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự, từ A kẻ các tiếp tuyến AE, AD với đường tròn đường kính BC. Kẻ DH vuông góc với EC tại H. Gọi P là trung điểm của DH, đường thẳng CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai Q, DE cắt BC tại I. a) Tứ giác IPCE là hình gì? Tại sao?. b) Chứng minh tứ giác QDPI nội tiếp. c) Chứng minh góc AQE vuông. d) Chứng minh AC tiếp xúc với đường tròn qua 3 điểm A, D, Q. Bài 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R), M là một điểm thuộc đường tròn. Từ M dựng các đường MH, MK lần lượt vuông góc với BA, BC. Xác định vị trí của M để HK có độ dài lớn nhất. -------------------------------------------------------- 16. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 2004-2005) Buổi 2 Bài 1. (2 điểm) a) Giải phương trình: x4 + 4x3 + 4x2 – 1 = 0. b) Cho biểu thức: 1212 --+-+= xxxxy . Tìm x để y đạt GTNN Bài 2. (2 điểm) Một đoàn học sinh đi tham quan bằng ôtô, nếu mỗi ôtô chở 22 người thì còn thừa một người. Nếu bớt đi một ôtô thì có thể chia đều số người cho các ôtô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ôtô, biết rằng mỗi ôtô chở không quá 40 người. Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 Bài 3. (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C cố định trên đoạn AB ( C khác A, B ). Lấy điểm M trên nửa đường tròn, đường thẳng qua M, vuông góc với MC lần lượt cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A, B ở E, F. a) Chứng minh ACF là tam giác vuông. b) Chứng minh: AE.BF = AC.BC c) Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ECF khio M chuyển động trên nửa đường tròn. Bài 4. (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, Gọi K là điểm chính giữa cung AB, trên cung KB lấy điểm M, trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = MB, kẻ dây BP song song với KM. a) So sánh hai tam giác AKN và BKM. b) Chứng minh tam giác KMN vuông cân. c) Chứng minh tứ giác ANKP là hình bình hành. Bài 5. (1 điểm) Trong hệ toạ độ xOy cho hai điểm A(5; 1) và B(-1; 5). Hãy tính chu vi và diện tích tam giác AOB. ----------------------------------------- 17. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 2005-2006) Buổi 1 ngày 6/7/2005 Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức: . 2 8)2( 2 x x xx A - -+ = a. Tìm điều kiện của x để A tồn tại. b. Rút gọn A. Bài 2. (2,5 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): mxy 2 1 += , ( m là tham số). a. Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. b. Tìm phương trình đường thẳng (l) vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P). c. Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu a) là 23 . Bài 3. (2 điểm) Người sưu tầm và biên tập: Vũ Kim Châm – sở GD&ĐT Yên Bái Tháng 4 năm 2012 a. Tìm giá trị của m để hai phương trình bậc hai: x2 + mx + 1 = 0 và x2 + x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung. b. Giải hệ phương trình: ïî ï í ì =-- =++ 072 0953 yx yx Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCD, đường thẳng qua D song song với BC cắt đừơng thẳng AH tại E. a. Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn. b. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BAC. Chứng minh góc OAC bằng góc BAE. c. Gọi M là trung điểm cạnh BC, đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC. Bài 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC có góc A vuông, gọi D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC, các điểm M, N theo thứ tự là hình chiếu của D trên AB, AC. Tìm vị trí của D để MN có độ dài nhỏ nhất. ---------------------------------------------------- 18. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Yên Bái (Năm học 2005-2006) Buổi 1 ngày 7/7/2005 Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức: .1 2 1 1 2 2 393 - + + - - - -+ -+ = xx x xx xx M a. Chứng minh 1 1 - + = x x M ; b. Tìm x để 1=M . c. Tìm các giá trị của ZxÎ để sao cho ZM Î Bài 2. (2, điểm) a. Giải phương trình: 5)31()21( 22 =--++- xx . b. x, y là h