Đề thi tuyển vào THPT chuyên Toán

đề thi tuyển vào thpt chuyên toán Năm học: 2007 – 2008 ( Vòng 2 ) Thời gian làm bài: 150 phút. --------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 1: ( 4 Điểm ) Rút gọn biểu thức: Chứng minh rằng: với a+b < c. Bài 2: ( 4 Điểm) Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 – x – 1 = 0. Chứng minh các biểu thức P = a + b + a3 + b3; Q = a2 + b2 + a4 + b4; R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 là những số nguyên chia hết cho 5. Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm. Bài 3: ( 4 Điểm ) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn: a + b + c = 2. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2. Tìm một số có 5 chữ số. Biết rằng nếu xoá đi ba chữ số cuối cùng thì sẽ được số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu. Bài 4: ( 5 Điểm ) Cho đường tròn (O) với dây BC cố định ( BC < 2R ), điểm A trên cung lớn BC ( A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung ). Gọi H là hình chiếu của A trên BC, E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường kính AA’. Chứng minh: HE^AC Chứng minh: DHEF~DABC Khi A di chuyển trên cung BC chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp DHEF là điểm cố định. Bài 5 ( 2 Điểm ) Cho phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Đặt ( n là số tự nhiên ) Tìm các giá trị a, b sao cho với mọi số tự nhiên n từ đó suy ra