Đề và đáp án học sinh giỏi Toán 9 năm học 2013- 2014

PHÒNG GD&ĐT NÔNG CỐNG TRƯỜNG THCS MINH THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 09 tháng 12 năm 2013 Bài 1 (5 điểm). Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tìm x để P = c) So sánh P2 với 2P. Bài 2 (3 điểm). a) Giải phương trình: b) Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện: Bài 3 (2 điểm). Cho và là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức . Chứng minh rằng là một số hữu tỉ. Bài 4 (5 điểm). Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Qua điểm C thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi I, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh: a) CI = CK b) CH2 = AI.BK c) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính IK. Bài 5 (2 điểm). Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM. Bài 6 (3 điểm). a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: b) Cho Chứng minh rằng : Họ tên học sinh: .................................................; Số báo danh: .................................... PHÒNG GD&ĐT NÔNG CỐNG TRƯỜNG THCS MINH THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán Bài Nội dung Điểm Bài 1 (5 đ) a) 2,0 đ Điều kiện: x 0, x P = = = = = = 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b) 1,5 đ P = ( vì với x 0) (thỏa mãn điều kiện) Vậy với x = 4 thì P = 0,5 đ 0.5 đ 0,5 đ c) 1,5 đ P = > 0 vì x 0 P = 2 vì Ta có P > 0 và P 2 nên P.(P - 2) 0 P2 - 2P 0 P2 2P 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 2 (3 đ) a) 1,0 đ (Thỏa mãn điều kiện) Điều kiện Đặt = t (t0) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b) 2,0 đ Điều kiện: Cộng từng vế ta có : Kết luận : vậy 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 3 (2đ) * Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì là số hữu tỉ * Nếu x, y đều khác 0 là số hữu tỉ Vậy và là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức . thì là một số hữu tỉ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 4 (5 đ) a) 1,5 đ Nối OC. Vì d là tiếp tuyến của (O) tại C nên OC vuông góc với d Ta có: AI// BK ( vì cùng vuông góc với d) => ABKI là hình thang Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( vì cùng vuông góc với d) => CI = CK ( T/c đường trung bình của hình thang) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b) 2,0 đ Vì ( So le trong, AI//CO), cân) ( Cạnh huyền - góc nhọn) => AI = AH. Tương tự: BK = BH. Do nội tiếp đường tròn đường kính AB nên vuông tại C. => CH2 = HA.HB = AI.BK ( hệ thức lượng trong tam giác vuông) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ c) 1,5 đ Ta có: Mà tại H => AB là tiếp tuyến của Hay AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính IK. 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 5 (2 đ) H K A B M Ta có: ( góc có cạnh tương ứng vuông góc) Suy ra: DBKM ~ DHKA (g.g) Þ Mặt khác: BK.KA . ( bất đẳng thức Cosi) Dấu “=” xảy ra khi BK = KA . Vậy giá trị lớn nhất của tích KM.KH = khi BK = KA, tức K là trung điểm của cạnh AB. 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ Bài 6 (3 đ) a) 1,5 đ Ta có: Vậy phương trình có 3 nghiệm là (x,y) = (0;0); (1;-1);(-1;1) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b) 1,5 đ Vì nên Tương tự ta có Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được Dấu “=” xẩy ra khi x = y = z =1 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Hết