Đổi biến để chứng minh bất đẳng thức

Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức Đôi khi chứng minh một bài toán BĐT có rất nhiều cách khác nhau để giải, song không phải cách nào cũng thuận lợi cho việc chứng minh BĐT, có nhiều BĐT đề ra phức tạp làm cho ta cảm giá rối, nhưng qua việc đưa về biến mới thì bài toán trở nên dễ hơn. Bài viết này xin nêu ra một số cách đổi biến để chứng minh BĐT được dễ dàng hơn. Sau đây là một số ví dụ : VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR: Ta đặt nên BĐT (đúng) Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: . CMR: Đặt với từ giả thiết Và BĐT cần CM CM BĐT mặt khác ta có BĐT sau: Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra VD3: Cho x, y, z >0 thoả . CMR Từ giả thiết ta có thể đặt: với a,b,c >0 Nên BĐT CM (đúng) Dấu “=” xảy ra VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR Ta đặt với nên BĐT CM BĐT mặt khác ta có Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . CMR: Do nên ta có thể đặt với Nên BĐT có thể viết lại (đã CM ở VD4) Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . CMR : Ta đặt với và do nên Nên BĐT mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có: Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: . CMR: Từ Ta đặt với Nên BĐT cần CM CM BĐT Mặt khác ta có: Nên Vậy BĐT luôn đúng Dấu “=” xảy ra Sau đây là một số bài tập để luyện tập: Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác: 1, 2, Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn . CMR: 1, 2, Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn . CMR: Bài 4: Cho thoả mãn . CMR: Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR: 1, với S là diện tich tam giác 2, Gợi ý: Đặt