Ðề kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi năm học 2012-2013 môn: toán lớp 12 (thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)

ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: Toán lớp 12 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao ñề) Chú ý: Thí sinh không ñược sử dụng máy tính bỏ túi Câu 1. 1). Giải phương trình: 2). Giải hệ phương trình: Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của ñể bất phương trình sau có nghiệm : Câu 3. Cho dãy số ñược xác ñịnh bởi: ðặt . Tìm giới hạn : Câu 4. Cho các số thực dương thỏa mãn : . Chứng minh rằng: Câu 5. a). Cho hình chóp với thể tích . Gọi là trung ñiểm cạnh . Các ñiểm và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Tính theo thể tích khối tứ diện . b). Cho tứ diện là ñiểm nằm bên trong tứ diện, các ñường thẳng và lần lượt cắt các mặt và tại . Tìm vị trí của ñiểm ñể biểu thức sau ñạt giá trị nhỏ nhất: Câu 6. Gọi lần lượt là góc giữa ñường thẳng và các ñường thẳng chứa các cạnh của tam giác ñều Chứng minh rằng: . 2 − x − =x2 1 8 + − 1 9 8x2 1 x − −−−−−−−−−−√3 ⎧ ⎩⎨ ⎪ ⎪ (y + 1 + y = x +)2 + 1y2 − −−−−√ 3 2 x + = 1 + 2− 2x + 5x2 − −−−−−−−−−√ 2x − 4y + 2− −−−−−−−−−√ m m( + 1) + x( + 1) ≥ 01 − x− −−−−√ 1 + x− −−−−√ ⎧ ⎩⎨ = 5u1 =un+1 + 2 + 4u2n un 6 =vn ∑ k=1 n 1 + 4uk lim n→∞ vn a, b, c + + = 3a2 b2 c2 + + ≥ 1 1 + a2b2 1 1 + b2c2 1 1 + c2a2 9 2(a + b + c) S. ABC V M BC K G SAB SAC V AMGK ABCD, M AM, BM, CM DM (BCD), (ACD), (ABD) (ABC) , , ,A1 B1 C1 D1 M P = + + + . AM MA1 − −−−−√ BM MB1 − −−−−√ CM MC1 − −−−−√ DM MD1 − −−−−√ α, β, γ ∆ BC, CA, AB ABC. α. β. γ + α. β. γ =sin2 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 1 16 ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: Toán lớp 12 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi Câu 1. 1). Giải phương trình: 2 3 2 1 9 1 2 1 8 8 x x x x      2). Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 ( 1) 1 2 2 5 1 2 2 4 2 y y y x x x x x y                Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm    1 1 1 1 0m x x x      Câu 3. Cho dãy số ( )nu được xác định bởi: 1 2 1 5 2 4 6 n n n u u u u         Đặt 1 1 4 n n k k v u    . Tìm giới hạn lim n n v  Câu 4. Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 3a b c   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 1 1 1 2( )a b b c c a a b c         Câu 5. a). Cho hình chóp S.ABC với thể tích V. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Các điểm K và G lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SAC. Tính theo V thể tích khối tứ diện AMGK. b). Cho tứ diện ABCD, M là điểm nằm bên trong tứ diện, các đường thẳng AM, BM, CM và DM lần lượt cắt các mặt (BCD), (ACD), (ABD) và (ABC) tại 1 1 1 1, , ,A B C D . Tìm vị trí của điểm M để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 1 1 1 1 AM BM CM DM P MA MB MC MD     . Câu 6. Gọi , ,   lần lượt là góc giữa đường thẳng  và các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 sin .sin .sin cos .cos .cos 16        . -----------------------------------Hết------------------------------------ 2. ðặt . Tính Câu III: (4p) 1. Giải hệ phương trình 2. Cho . Chứng minh rằng Câu IV: (8p) Cho tứ diện có ba cạnh tại ñỉnh ñôi một vuông góc vơi nhau. Gọi lần lượt là góc tạo bởi với các mặt phẳng , và là các góc tương ứng trong tam giác . 1. Chứng mình rằng: 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3. Chứng minh rằng: ---------Hết------------- =vn ( + ( +. . . +(u1) n u2) n u2012 ) n − −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√n Lim( )vn ⎧ ⎩ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ = cos(pi )x1 3√ 9 x2 = cos(pi )x2 3√ 9 x3 = cos(pi )x3 3√ 9 x1 a, b, c ∈ [2;+ ∝) lo + lo + lo ≥ 3gb+ca 2 gc+ab 2 ga+bc 2 OABC O α,β, γ (ABC) (OBC); (OAC); (OAB) A,B,C ABC co α + co β + co γ = 1s2 s2 s2 T = ta α + ta β + ta γ + co α + co β + co γn2 n2 n2 t2 t2 t2 = = si αn2 sin2A si βn2 sin2B si γn2 sin2C ðỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN ðẠI HỌC VINH Câu I: (4p) Tìm ñề nghiệm của bất phương trình sau chứa ñoạn Câu II: (4p) Cho dãy số , với 1. Chứng minh là dãy tăng. m [1; 2] m − 3x + 1 − ≤ 0∣∣x 2 ∣∣ 2 − 3x + 1 + 1∣x2 ∣ ( )un = ,n = 1, 2...un ∑ i=1 n i (i + 1)! ( )un ðỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN ðẠI HỌC VINH Câu I: (4p) Tìm ñề nghiệm của bất phương trình sau chứa ñoạn Câu II: (4p) Cho dãy số , với 1. Chứng minh là dãy tăng. 2. ðặt . Tính Câu III: (4p) 1. Giải hệ phương trình 2. Cho . Chứng minh rằng Câu IV: (8p) Cho tứ diện có ba cạnh tại ñỉnh ñôi một vuông góc vơi nhau. Gọi lần lượt là góc tạo bởi với các mặt phẳng , và là các góc tương ứng trong tam giác . 1. Chứng mình rằng: 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3. Chứng minh rằng: ---------Hết------------- m [1; 2] m − 3x + 1 − ≤ 0∣∣x 2 ∣∣ 2 − 3x + 1 + 1∣x2 ∣ ( )un = , n = 1, 2...un ∑ i=1 n i (i + 1)! ( )un =vn ( + ( +. . . +(u1) n u2) n u2012) n − −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √n Lim( )vn ⎧ ⎩ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ = cos(pi )x1 3√ 9 x2 = cos(pi )x2 3√ 9 x3 = cos(pi )x3 3√ 9 x1 a, b, c ∈ [2; + ∝) lo + lo + lo ≥ 3gb+c a 2 gc+a b 2 ga+b c 2 OABC O α, β, γ (ABC) (OBC); (OAC); (OAB) A,B,C ABC co α + co β + co γ = 1s2 s2 s2 T = ta α + ta β + ta γ + co α + co β + co γn2 n2 n2 t2 t2 t2 = = si αn2 sin2A si βn2 sin2B si γn2 sin2C HD 1. Xét hàm số Hàm số liên tục trên và Nên : ðặt : Bài toán trở thành, tìm ñể nghiệm bất phương trình sau : (*) chứa ñoạn g(x) = − 3x + 1, x ∈ [1; 2]x [1; 2] (x) = 0 ⇔ x =g′ 3 2 g(x) = Min{g(1); g( ); g(2)} = g( ) = −Min [1;2] 3 2 3 2 5 4 g(x) = Max{g(1); g( ); g(2)} = g(1) = g(2) = −1Max [1;2] 3 2 t = − 3x + 1 ⇒ t ∈ [1; ]∣∣x2 ∣∣ 5 4 m mt − ≤ 0 ⇔ m + mt − 2 ≤ 0 2 t + 1 t2 [1; ]5 4 +) Nếu tập nghiệm của bất pt là . +) Với , ta có : Nếu : Tập nghiệm của BPT (*) là . Nếu Với ta có : Nên yêu cầu b.toán Trường hợp này cho ta kết quả : Với ta có : Nên yêu cầu b.toán Trường hợp này nghiệm ñúng . Kết hợp với ñk tìm ñược m = 0 R ⊃ [1; ]5 4 m ≠ 0 = + 8m∆m m 2 = + 8m ≤ 0 ⇔ −8 ≤ m < 0∆m m 2 R ⊃ [1; ]5 4 = + 8m > 0 ⇔ [∆m m2 m > 0 m < −8 m > 0 ≤ t ≤ −m − + 8mm2 − −−−−−−−√ 2m −m + + 8mm2 − −−−−−−−√ 2m ⇔ ≤ 1 < ≤ −m − + 8mm2 − −−−−−−− √ 2m 5 4 −m + + 8mm2 − −−−−−−− √ 2m 0 < m ≤ 32 45 m < −8 ⇔ ≤ t ≤ −m + + 8mm2 − −−−−−−−√ 2m −m − + 8mm2 − −−−−−−−√ 2m ⇔ ≤ 1 < ≤ −m + + 8mm2 − −−−−−−−√ 2m 5 4 −m − + 8mm2 − −−−−−−−√ 2m ∀m < −8 m ≤ 32 45 2. Cho . Chứng minh rằng Ta có bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với Do nên a, b, c ∈ [2;+ ∝) lo + lo + lo ≥ 3gb+ca 2 gc+ab 2 ga+bc 2 + + ≥ 3 log2a 2 (b + c)log2 log2b 2 (c + a)log2 log2c 2 (a + b)log2 a, b, c ≥ 2 + ≤ 1 ⇒ a + b ≤ ab 1 a 1 b Xây dựng các BðT tương tự ta ñưa bài toán về chứng minh Sử ñụng Nesbit ta có ñpcm. + + = 2( + + ) ≥ 32 alog2 bclog2 2 blog2 calog2 2lo cg2 lo abg2 x y + z z x + y y x + y 2. ðặt . Tính a) Vì với mọi b) Lại có Nhưng vì =vn ( + ( +. . . +(u1) n u2) n u2012) n − −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√n Lim( )vn − = > 0un+1 un i + 1 (i + 2)! k ∈ N ⇒ > , ∀i ∈ Nui+1 ui ⇒ < + +. . . + < 2012.y2012 u n 1 u n 2 u n 2012 x n 2012 ⇒ < < . (∗)u2012 + +. . . +un1 u n 2 u n 2012 − −−−−−−−−−−−−−−−√n 2012− −−−√n x2012 = = − i (1 + i)! (i + 1) − 1 (i + 1)! 1 i! 1 (i + 1)! ⇒ = (1 − ) + ( − )+. . . +( − ) = 1 −uk 1 2! 1 2! 1 3! 1 k! 1 (k + 1)! 1 (k + 1)! ⇒ = 1 −u2012 1 2013! 1 − < < (1 − )1 2013! + +. . .+un1 u n 2 u n 2012 − −−−−−−−−−−−−−−−√n 2012− −−−√n 1 2013! (1 − ) = [ (1 − )]lim n→+∞ 1 2013 lim n→+∞ 2012− −−−√n 1 2013! ⇒ lim( ) = = 1 −vn lim n→+∞ + +. . . +un1 u n 2 u n 2012 − −−−−−−−−−−−−−−−√n 1 2013! Môc lôc 1 C¸c bµi to¸n §¹i sè vµ L­îng gi¸c 2 1.1 C¸c ®¼ng thøc §¹i sè thuÇn tuý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 C¸c ®¼ng thøc L­îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 Ch­¬ng 1 C¸c bµi to¸n §¹i sè vµ L­îng gi¸c 1.1 C¸c ®¼ng thøc §¹i sè thuÇn tuý 1. Chøng minh r»ng (a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax − by − cz − dt)2 + (bx + ay − dz + ct)2 + (cx+ dy + az − dt)2 + (dx− cy + bz + at)2 2. Chøng minh r»ng tõ c¸c ®¼ng thøc ax−by−cz−dt = 0, bx+ay−dz+ct = 0, cx + dy + az − dt = 0, vµ dx − cy + bz + at = 0 ta suy ra r»ng hoÆc a = b = c = d = 0 hoÆc x = y = z = t = 0. 3. Chøng minh r»ng ta cã ®ång nhÊt sau (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)−(ax+by+cz)2 = (bx−ay)2+(cy−bz)2+(az−cx)2 4. Chøng minh r»ng c¸c ®ång nhÊt nãi trong c¸c bµi to¸n tr­íc cã thÓ më réng nh­ sau (a21 + a 2 2 + · · ·+ a2n)(b21 + b22 + · · ·+ b2n)− (a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn)2 = = (a1b2 − a2b1)2 + (a1b3 − a3b1)2 + · · ·+ (an−1bn − anbn−1)2 5. Gi¶ sö r»ng n(a21 + a 2 2 + · · · + a2n) = (a1 + a2 + · · · + an)2 . Chøng minh r»ng a1 = a2 = · · · = an 6. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = (y + z − 2x)2 + (z + x− 2y)2 + (x+ y − 2z)2 ta suy ra r»ng x = y = z 7. Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau (a2 − b2)2 + (2ab)2 = (a+ b)2 (6a2−4ab+4b2)3 = (3a2+5ab−5b2)3+(4a2−4ab+6b2)3+(5a2−5ab−3b2)3 2 Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 3 8. Chøng minh r»ng (p2 − q2)4 + (2pq + q2)4 + (2pq + p2)4 = 2(p2 + pq + q2)4 9. Chøng minh r»ng X2 + XY + Y 2 = Z3 nÕu X = q3 + 3pq2 − p3, Y = −3pq(p+ q), vµ Z = p2 + pq + q2 10. Chøng minh r»ng (3a+ 3b)k + (2a+ 4b)k + ak + bk = (3a+ 4b)k + (a+ 3b)k + (2a+ b)k víi k = 1, 2, 3. 11. Chøng minh r»ng nÕu x+ y + z = 0 th× (ix−ky)n+(iy−kz)n+(iz−kx)n = (iy−kx)n+(iz−ky)n+(ix−kz)n khi n = 0, 1, 2, 4 trong ®ã i lµ ®¬n vÞ ¶o, ie... i2 = −1. 12. Chøng minh r»ng xn + (x + 3)n + (x + 5)n + (x + 6)n + (x + 9)n + (x + 10)n +(x+12)n +(x+15)n = (x+1)n +(x+2)n +(x+4)n +(x+7)n + (x+ 8)n + (x+ 11)n + (x+ 13)n + (x+ 14)n khi mµ n = 0, 1, 2, 3 13. Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau ®©y i. (a+ b+ c+ d)2 +(a+ b− c− d)2 +(a+ c− b− d)2 +(a+ d− b− c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2) ii. (a2 − b2 + c2 − d2)2 + 2(ab− bc+ dc+ ad)2 = (a2 + b2 + c2 + d2)2 − 2(ab− ad+ bc+ dc)2 iii.(a2−c2+2bd)2+(d2−b2+2ac)2 = (a2−b2+c2−d2)2+2(ab−bc+dc+ad)2 14. Chøng minh ®ång nhÊt thøc sau ®©y (a+b+c)4+(a+b−c)4+(a−b+c)4+(−a+b+c)4 = 4(a4+b4+c4)+24(a2b2+b2c2+c2a2) 15. Cho s = a+ b+ c = 2p . Chøng minh r»ng∑ sym s(s− 2b)(s− 2c) = (s− 2a)(s− 2b)(s− 2c) + 8abc ∑ sym a(p− a)2 = abc− 2(p− a)(p− b)(p− c) 16. Cho s = a+ b+ c vµ 2δ = a2 + b2 + c2 . Chøng minh r»ng∑ sym (δ2 − a2)(δ2 − b2) = 4s(s− a)(s− b)(s− c) Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 4 17. Chøng minh r»ng nÕu a+ b+ c = 0 th× a3 + b3 + c3 = 3abc Bµi gi¶i. H·y chó ý r»ng ta cã ®¼ng thøc a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca) 18. Cho c¸c sè a, b, c . §¬n gi¶n biÓu thøc sau ®©y (a+ b+ c)3 − ∑ sym (a+ b− c)3 19. Chøng minh r»ng (a− b)3 + (b− c)3 + (c− a)3 = 3(a− b)(b− c)(c− a) [(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2]2 = 2[(a− b)4 + (b− c)4 + (c− a)4] 20. Cho a+ b+ c = 0 , chøng minh r»ng ta cã c¸c ®¼ng thøc sau ®©y • 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2 • a5+b5+c5 5 = abc · a2+b2+c2 2 • a3+b3+c3 3 · a2+b2+c2 2 = a 5+b5+c5 5 • a7+b7+c7 7 = a 2+b2+c2 2 · a5+b5+c5 5 • a7+b7+c7 7 = a 3+b3+c3 3 · a4+b4+c4 4 · 21. Cho 2n sè a1, a2, . . . , an vµ b1, b2, . . . , bn vµ gi¶ sö r»ng sk = a1b1 + a2b2 + · · ·+ akbk víi k = 1, 2, ..., n. Chøng minh r»ng n∑ k=1 akbk = n∑ k=1 (ak − ak+1)sk theo modulo n (Khai triÓn Abel ). 22. Gi¶ sö r»ng a1 + a2 + · · ·+ an = n2s . Chøng minh r»ng n∑ k=1 (s− ak)2 = n∑ k=1 a2k 23. Cho ®a thøc hai biÕn d¹ng Ax2 + 2Bxy +Cy2 . Chøng minh r»ng qua phÐp ®æi biÓn x = αu + βv vµ y = γu + δv ®a thøc trªn cã thÓ viÕt l¹i ë d¹ng Mu2 +2Nuv+Pv2 víi N2−MP = (B2−AC)(αδ−βγ)2 . H·y më réng bµi to¸n cho c¸c d¹ng bËc hai nhiÒu chiÒu. Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 5 24. Cho 2n sè a1, a2, . . . , an vµ b1, b2, . . . , bn tho¶ m·n ai + bi = 1 vµ a = a1 + a2 + · · ·+ an n b = b1 + b2 + · · ·+ bn n Chøng minh r»ng n∑ k=1 akbk = nab− (a1 − a)2 − (a2 − a)2 − · · · − (an − a)2 25. Chøng minh r»ng 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · ·+ 1 2n− 1 − 1 2n = 1 n+ 1 + 1 n+ 2 + · · ·+ 1 2n 26. Chøng minh r»ng (1+ 1 x− 1)(1− 1 2x− 1)(1+ 1 3x− 1) · · · (1+ 1 (2n− 1)x− 1)(1− 1 2nx− 1) = = (n+ 1)x (n+ 1)x− 1 · (n+ 2)x (n+ 2)x− 1 · · · (n+ n)x (n+ n)x− 1 27. Chøng minh r»ng x3 = (x · x 3 − 2y3 x3 + y3 )3 + (y · 2x 3 − y3 x3 + y3 )3 28. Chøng minh ®ång nhÊt thøc sau ®©y 2 x2 − 1 + 4 x2 − 4 + 6 x2 − 9 + · · · + 20 x2 − 100 = 11 ( 1 (x− 1)(x+ 10) + 1 (x− 2)(x+ 9) + · · · + 1 (x− 10)(x+ 1) ) 29. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc a b = c d ta suy ra ®¼ng thøc ab cd = (a+ b)2 (c+ d)2 Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 6 30. Gi¶ sö r»ng x = a− b a+ b ; y = b− c b+ c ; z = c− a c+ a Chøng minh r»ng (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1− x)(1− y)(1− z) 31. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc (a+ b+ c+ d)(a− b− c+ d) = (a− b+ c− d)(a+ b− c− d) suy ra ®¼ng thøc a c = b d 32. Gi¶ sö r»ng ax+ by + cz = 0 . Chøng minh r»ng ax2 + by2 + cz2 bc(y − z)2 + ca(z − x)2 + ab(x− y)2 = 1 a+ b+ c 33. Chøng minh tÝnh ®óng ®¾n cña ®¼ng thøc sau ®©y x2y2z2 a2b2 + (x2 − a2)(y2 − a2)(z2 − a2) a2(a2 − b2) + (x2 − b2)(y2 − b2)(z2 − b2) b2(b2 − a2) = x2 + y2 + z2 − a2 − b2 34. Gi¶ sö r»ng Sk = ak (a− b)(a− c) + bk (b− c)(b− a) + ck (c− a)(c− b) Chøng minh r»ng S−2 = 1abc · ( 1a + 1b + 1c );S−1 = 1abc ;S0 = S1 = 0;S2 = a+ b+ c;S4 = ab+ bc+ ca+ a 2 + b2 + c2;S5 = a 3 + b3 + c3 + a2b+ ab2 + b2c+ bc2 + c2a+ ca2 35. Gi¶ sö r»ng Sk = ∑ cyclic ak (a− b)(a− c)(a− d) Chøng minh r»ng S0 = S1 = S2 = 0;S3 = 1;S4 = a+ b+ c+ d 36. Gi¶ sö r»ng Sk = ∑ cyclic ak (a+ b)(a+ c) (a− b)(a− c) H·y x¸c ®Þnh S0, S1, S2, S3, S4 . Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 7 37. Chøng minh r»ng ta cã ®ång nhÊt thøc sau ®©y∑ cyclic ab (c− x)(c− y)(c− z) (c− a)(c− b) = abc− xyz 38. Chøng minh r»ng∑ cyclic a2b2c2 (a− d)(b− d)(c− d) = abc+ bcd+ cda+ dab 39. H·y lµm ®¬n gi¶n biÓu thøc sau ®©y∑ cyclic ak (a− b)(a− c)(x− a) víi k = 1, 2 . 40. Chøng minh ®ång nhÊt thøc sau ®©y∑ cyclic b+ c+ d (a− b)(a− c)(a− d)(a− x) = x− a− b− c− d (x− a)(x− b)(x− c)(x− d) 41. Chøng minh r»ng ∑ cyclic ak (x− b)(x− c) (a− b)(a− c) = x k víi k = 0, 1, 2 42. Chøng minh r»ng nÕu a+ b+ c = 0 th× ( a− b c + b− c a + c− a b )( c a− b + a b− c + b c− a) = 9 43. H·y chøng minh r»ng a− b a+ b + b− c b+ c + c− a c+ a + a− b a+ b · b− c b+ c · c− a c+ a = 0 44. Chøng minh r»ng ∑ cyclic b− c (a− b)(a− c) = 2 ∑ sym 1 a− b 45. Cho ∑ sym b2 + c2 − a2 2bc = 1 Chøng minh r»ng hai trong ba ph©n thøc b»ng 1 vµ ph©n thøc cßn l¹i b»ng −1 Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 8 46. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc 1 a + 1 b + 1 c = 1 a+ b+ c Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng lÎ n ta cã ®¼ng thøc 1 an + 1 bn + 1 cn = 1 an + bn + cn 47. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc bz + cy x(−ax+ by + cz) = cx+ az y(ax− by + cz) = ay + bx z(ax+ by − cz) suy ra x a(b2 + c2 − a2) = y b(c2 + a2 − b2) = z c(a2 + b2 − c2) 48. Cho a+ b+ c = x+ y + z = x a + y b + z c = 0 Chøng minh r»ng xa2 + by2 + cz2 = 0 49. Cho a3+b3+c3 = (b+c)(c+a)(a+b) vµ (b2+c2−a2)x = (c2+a2−b2)y = (a2 + b2 − c2)z . Chøng minh r»ng x3 + y3 + z3 = (x+ y)(y + z)(z + x) 50. Cho 1 x + 1 y = 1 z Chøng minh r»ng (z − x)2 + z2 (z − y)2 + z2 = x2 y2 51. Chøng minh r»ng tæng ba ph©n sè b− c 1 + bc , c− a 1 + ca , a− b 1 + ab b»ng tÝch cña chóng . 52. Chøng minh r»ng ®¼ng thøc sau ®©y∑ cyclic ak (x− b)(x− c)(x− d) (a− b)(a− c)(a− d) = x k víi k = 0, 1, 2, 3 . Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 9 53. [HongKong TST 2004] §Æt x = 3 √ 4+ 3 √ 2+1. H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc (1 + 1 x )3 54. Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau ®©y • (a+ b+ c)(bc+ ca+ ab) = abc+ (b+ c)(c+ a)(a+ b) • (a2 − 1)(b2 − 1)(c2 − 1) + (a+ bc)(b+ ca)(c+ ab) = (abc+ 1)(a2 + b2 + c2 + 2abc− 1) • (b+ c− a)3 + (c+ a− b)3 + (a+ b− c)3 − 4(a3 + b3 + c3 − 3abc) = 3(b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c) • ∑cyclic a4(b2 − c2) = (∑cyclic a2(b− c))(a+ b)(b+ c)(c+ a) • a5 + b5 − (a+ b)5 = −5ab(a2 + ab+ b2) • (a+ b)7 − a7 − b7 = 7ab(a+ b)(a2 + ab+ b2)2 55. Chøng minh r»ng nÕu xy + yz + zx = 0 th×∏ sym (x+ y)2 + 24x2y2z2 = ∑ sym x4(y + z)2 56. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc xy + yz + zx = 1 ta nhËn ®­îc ®¼ng thøc∑ sym x 1− x2 = 4xyz (1− x2)(1− y2)(1− z2) 57. §Æt f(a, b, c) = | |b− a||ab| + b+ a ab − 2 c |+ |b− a||ab| + b+ a ab + 2 c Chøng minh r»ng f(a, b, c) = 4max{1 a , 1 b , 1 c } 58. Chøng minh r»ng nÕu a b+ c + b c+ a + c a+ b = 1 th× ta cã ®¼ng thøc a2 b+ c + b2 c+ a + c2 a+ b = 0 59. H·y t×m c¸c gi¸ trÞ cã thÓ nhËn cña biÓu thøc x+ y z + t + y + z t+ x + z + t x+ y + t+ x y + z nÕu biÕt r»ng x y + z + t = y z + t+ x = z t+ x+ y = t x+ y + z Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.10 60. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc x+ y = z + t ta suy ra ®¼ng thøc x2 + y2 + z2 + t2 = (x+ y)2 + (x− z)2 + (x− t)2 61. Cho ab+ bc+ ca = 1 , chøng minh r»ng ta cã ®¼ng thøc (1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) = [(a+ b)(b+ c)(c+ a)]2 62. Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n b 6= c , a + b 6= c vµ c2 + 2(ab − bc − ca) = 0. Chøng minh r»ng ta cã ®¼ng thøc sau ®©y a2 + (a− c)2 b2 + (b− c)2 = a− c b− c 63. Chøng minh r»ng nÕu a b− c + b c− a + c a− b = 0 th× ta cã ®¼ng thøc a (b− c)2 + b (c− a)2 + c (a− b)2 = 0 64. Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ m·n xy + yz + zx = 0, a = √ y2 + yz + z2 b = √ z2 + zx+ x2, c = √ x2 + xy + y2 Chøng minh r»ng ta cã ®¼ng thøc (a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b) = 0 65. Cho bèn sè thùc a, b, c, d tho¶ m·n ®¼ng thøc ac+ bd = (b+ d+ a− c)(b+ d− a+ c) . Chøng minh r»ng (ab+ cd)(ad+ bc) = (ac+ bd)(a2 − ac+ c2) 66. Cho c¸c sè thùc a, b, c tho¶ m·n a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Chøng minh r»ng a+ b2 + c3 = 1 . 67. Cho bèn sè d­¬ng a, b, c, d tho¶ m·n a+ b2 = c+d2, a2+ b = c2+d. Chøng minh r»ng nÕu a+ b+ c+ d ≤ 2 th× {a, b} = {x, y} 68. Gi¶ sö r»ng a, b, c, d lµ bèn sè thùc tho¶ m·n ®¼ng thøc a + b + c + d = a7 + b7 + c7 + d7 = 0. Chøng minh r»ng (a+ b)(a+ c)(a+ d) = 0 Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.11 69. Chøng minh ®ång nhÊt thøc sau ®©y∑ cyclic ak (a− x)(a− y) (a− b)(a− c) = xy abc 70. Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau ®©y • ∑cyclic x(y + z)2 − 4xyz = (x+ y)(y + z)(z + x) • 1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 = (1 + x)(1 + x+ x2)(1− x+ x2) • (ab+ bc+ ca)(a+ b+ c)− abc = (a+ b)(b+ c)(c+ a) • (1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5)2− x5 = (1+ x+ x2 + x3 + x4) · (1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 + x6) 71. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc a+b(1+a)+c(1+a)(1+b)+· · ·+l(1+a)(1+b) · · · (1+k) = (1+a)(1+b) · · · (1+l)−1 ta suy ra r»ng a = b = c = · · · = l . 72. Cho a+ b+ c = 0 , chøng minh r»ng ta cã ®¼ng thøc sau ®©y ( b− c a + c− a b + a− b c )( a b− c + b c− a + c a− b) = 9 73. Chøng minh ®¼ng thøc sau ®©y a2 k+1 − b2k+1 a− b = (a+ b)(a 2 + b2)(a4 + b4) · · · (a2k + b2k) 74. [HongKong TST 1990] Gi¶ sö r»ng a, b, c, d lµ bèn sè thùc tho¶ m·n hÖ a+ 4b+ 9c+ 16d = 1 4a+ 9b+ 16c+ 25d = 12 9a+ 16b+ 25c+ 36d = 123 H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 16a+ 25b+ 36c+ 49d. 75. [HongKong TST 1993]Cho c¸c sè d­¬ng a, b, c tho¶ m·n a b = b c = c a H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a+ b+ c a+ b− c Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.12 76. Cho c¸c sè thùc d­¬ng a, b, c, d satisfying the conditions a4 b + b4 d = 1 b+ d a2 + c2 = 1 Chøng minh r»ng a2004 b1002 + b2004 d1002 = 2 (b+ d)1002 77. Chøng minh r»ng nÕu xyz = 1 th× ta cã 1 1 + x+ xy + 1 1 + y + yz + 1 1 + z + zx = 1 78. Chøng minh r»ng 2 + √ 3√ 2 + √ 2 + √ 3 + 2−√3√ 2− √ 2−√3 = √ 2 79. Chøng minh tÝnh ®óng ®¾n cña c¸c hÖ thøc sau ®©y 3 √ 3 √ 2− 1 = 3 √ 1 9 − 3 √ 2 9 + 3 √ 4 9 80. Gi¶ sö r»ng ta cã A a = B b = C c = D d Chøng minh r»ng √ Aa+ √ Bb+ √ Cc+ √ Dd = √ (a+ b+ c+ d)(A+B + C +D) 81. Chøng minh r»ng nÕu ax3 = by3 = cz3 vµ 1 x + 1 y + 1 z = 1 th× ta cã hÖ thøc 3 √ ax2 + by2 + cz2 = 3 √ a+ 3 √ b+ 3 √ c 82. Cho bèn sè thùc a, b, c, d tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn abcd = 1 vµ a+ b+ c+ d = 1 a + 1 b + 1 c + 1 d Chøng minh r»ng cã thÓ chia bèn sè ®ã ra thµnh hai cÆp, mçi cÆp hai sè mµ tÝch cña chóng b»ng 1. 83. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau ®©y Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.13 (a) √ 4− √ 10− 2 √ 5− √ 4 + √ 10− 2 √ 5 = 1− √ 5 (b) √ 2 + √ 3 + √ 14− 5 √ 3 = 3 √ 2 (c) 3 √ 6 + √ 847 27 + 3 √ 6− √ 847 27 = 3 84. Rót gän c¸c biÓu thøc d­íi ®©y (a) √ 4− √ 15 + √ 5 + √ 21 + √ 6− √ 35 + √ 6 (b) 3 √ 7 + 8 3 √ 55 3 + 3 √ 7− 8 3 √ 55 3 (c) √ 5 + √ 17 + 2 √ 7+ √ 5 + √ 17− 2 √ 7+ √ 5− √ 17 + 2 √ 7− √ 5 + √ 17− 2 √ 7 (d) 4 √ 2 + √ 5 + 2 √ 2 + √ 5 + 4 √ 2 + √ 5− 2 √ 2 + √ 5 85. Cho c¸c sè thùc a, b, c tho¶ m·n ®¼ng thøc a 2002 = b 2003 = c 2004 Chøng minh r»ng 4(a− b)(b− c) = (c− a)2. 86. Cho c¸c sè x, y kh¸c kh«ng tho¶ m·n x2 + xy + y2 = 0. H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc ( x x+ y )2001 + ( y x+ y )2001 87. Cho n lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ 2n + 1 sè ®­îc lÊy tõ tËp hîp {2, 5, 9} tho¶ m·n nÕu ta viÕt chóng ë d¹ng d·y a1, a2, . . . , a2n+1 th× hai sè liªn tiÕp bÊt k× ®Òu kh¸c nhau vµ a2n+1 = a1. Chøng minh r»ng a1a2 − a2a3 + · · ·+ a2n−1a2n − a2na2n+1 = 0 88. Cho c¸c sè a, b, c ∈ R tho¶ m·n ®¼ng thøc 1 bc− a2 + 1 ca− b2 + 1 ab− c2 = 0 Chøng minh r»ng a (bc− a2)2 + b (ca− b2)2 + c (ab− c2)2 = 0 Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.14 89. Cho n lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ n sè thùc x1, . . . , xn. Víi mçi k nguyªn d­¬ng ®Æt Sk = x k 1 + · · · + xkn. Chøng minh r»ng nÕu S2 = S3 = S4 th× Sk = S1 víi mäi k. 90. Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n ( √ x2 + 3 + x)( √ y2 + 3 + y) = 1 Chøng minh r»ng x+ y = 0. 91. Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ m·n xyz(x+ y + z) = 1. Chøng minh r»ng (x+ y)(y + z)(z + x) = 1 x + 1 z + (x+ z)xz 92. (Proposed by Hµ Duy H­ng) Cho s¸u sè thùc a, b, c, d, e, f tho¶ m·n hÖ ph­¬ng tr×nh  |d+ e− a− b| = √3 · (|b− a|+ |e− d|) |e+ f − b− c| = √3 · (|c− b|+ |e− f |) |f + a− c− d| = √3 · (|c− d|+ |f − a|) Chøng minh r»ng a+ c+ e = b+ d+ f . 93. Cho n lµ mét sè nguyªn d­¬ng ch½n. KÝ hiÖu w = cos 2kpi n+ 1 + i · sin 2kpi n+ 1 lµ mét c¨n bËc n+ 1 cña 1 kh¸c víi 1. KÝ hiÖu ak = ( cos 2kpi n+ 1 )n Chøng minh r»ng 1 + a1w + a2w 2 + · · ·+ anwn 6= 0 Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.15 1.2 C¸c ®¼ng thøc L­îng gi¸c 1. Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau • cos a+ cos b = 2 cos(a+b 2 ) · cos(a−b 2 ) • cos a− cos b = −2 sin(a+b 2 ) · sin(a−b 2 ) • sin a+ sin b = 2 sin(a+b 2 ) · cos(a−b 2 ) • sin a− sin b = 2 cos(a+b 2 ) · sin(a−b 2 ) • tan a+ tan b = sin(a+b) cos a·cos b • cos a · cos b = 1 2 [cos(a+ b) + cos(a− b)] • sin a · cos b = 1 2 [sin(a+ b) + sin(a− b)] • cos(a+ b) · cos(a− b) = cos2 a− sin2 b • (cos a+ cos b)2 + (sin a+ sin b)2 = 4 cos2 a−b 2 • (cos a− cos b)2 + (sin a− sin b)2 = 4 sin2 a−b 2 • cos(a+ b) = cos a · cos b− sin a · sin b • cos(a− b) = cos a · cos b+ sin a · sin b • sin(a+ b) = sin a · cos b+ cos a · sin b • sin(a− b) = sin a · cos b− cos a · sin b • sin 2a = 2 sin a · cos a • cos 2a = cos2 a− sin2 a = 2 cos2 a− 1 = 1− 2 sin2 a • cos2 a+ sin2 a = 1 • tan 2a = 2 tan a 1−tan2 a • sin 3a = 3 sin a− 4 sin3 a • cos 3a = 4 cos3 a− 3 cos a • tan 3a = 3 tan a−tan3 a 1−3tg2a • tan a− tan b = sin(a−b) cos a·cos b • cot a+ cot b = sin(a+b) sin a·sin b • cot a− cot b = sin(b−a) sin a·sin b 2. Cho tan a 2 = 4 tan b 2 , chøng minh r»ng ta cã ®¼ng thøc tan a− b 2 = 3 sin b 5− 3 cos b 3. Cho a cosx+ b cos y = a cos(x+ z) + b cos(y + z) = 0 víi z 6= kpi. Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc t ∈ R ta cã ®¼ng thøc a cos(x+ t) + b cos(y + t) = 0 Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.16 4. Chøng minh r»ng ta cã c¸c ®¼ng thøc sau ®©y • tan4 a = cos 4a−4 cos 2a+3 cos 4a+4 cos 2a+3 • 1 2 · cot4 a = sin2 2a+4 sin2 a−4 1−8 sin2 a−cos 4a • cot a− tan a− 2 tan 2a− 4 tan 4a = 8 cot 8a • cos6 a− sin6 a = (3+cos2 2a) cos 2a 4 • 2(sin6 a+ cos6 a)− 3(sin4 a+ cos4 a) + 1 = 0 • 1+sin 2a sin a+cos a − 1−tan2 a2 1+tan2 a 2 • √ 1+cos a+ √ 1−cos a√ 1+cos a−√1−cos a = cot( a 2 + pi 4 ) 5. Cho sin(a+ 2b) = 2 sin a . Chøng minh r»ng tan(a+ b) = 3 tan b 6. Cho sin(x− α) sin(x− β) = a b cos(x− α) cos(x− β) = a1 b1 víi ab1 + a1b 6= 0 . Chøng minh r»ng cos(α− β) = aa1 + bb1 ab1 + a1b 7. Cho hµm f(x) = a sin x + b cosx tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cã hai sè thùc x1, x2 sao cho x1 − x2 6= k · pi (k ∈ Z) mµ f(x1) = f(x2) = 0 . Ch