Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng 2. II. GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đối với một số phương trình có thể đặt ẩn phụ để quy về dạng đơn giản. Tùy theo dạng phương trình có thể đặt một ẩn, nhiều ẩn, quy về phương trình hoặc hệ phương trình. 1. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn a. Một số dạng thường gặp Nếu có và f(x) thì đặt t = Nếu có mà (hằng số) đặt Nếu có đặt b. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. Giải phương trình: =11. Lời giải. Đặt t = ,. Phương trình đã cho trở thành V . Ta thấy đều thỏa mãn Với thì = 1. Với thì = 9 Vậy phương trình có nghiệm là , . Ví dụ 2. Giải phương trình (*). Lời giải. Điều kiện Cách 1: Đặt . Pt đã cho có dạng: Với t=3 thay vào biểu thức đặt được Ví dụ 3. Giải phương trình: Đkxđ x ≥ 1 đặt t= đ/k t ≥ 1dẫn tới pt t2-5t+6=0 Ví dụ 4. Giải phương trình: không là nghiệm của pt đã cho. Chia cả 2 vế PT cho đặt giải ra có t = 1, t = 1/ 2 suy ra nghiệm phương trình Bài tập đề nghị a. b. c. d. e. f. g. h. m. p. q. r. s. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Ví dụ 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Ví dụ 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thành : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn : Bài tập đề nghị 1. 2. (4x-1)8x2+2x+1 3. 3. Đặt ẩn phụ đưa về dạng tích Sử dụng đẳng thức Ví dụ 1. Giải phương trình : Giải: Ví dụ 2. Giải phương trình : Giải: + , không phải là nghiệm + , ta chia hai vế cho : Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải: pt Ví dụ 4. Giải phương trình : Giải: Đk: Chia cả hai vế cho : 4. Đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình Dạng 1: đặt 2 ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: Ví dụ 2. Giải phươngtrình: Dạng 2: một ẩn phụ chuyển phương trình thành một hệ : Ví dụ 3. Giải phương trình: Ví dụ 4. Giải phương trình: (1) Giải : Điều kiện : Đặt với . Từ đó phương trình (1) trở thành hệ phương trình : Trừ vế với vế của (2) và (3) ta được : . Xảy ra 2 trường hợp : a) hay , thay vào (2) được phương trình : giải ra được : b) hay , thay vào (2) cú : giải ra được : Kết luận : Với 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài nên PT (1) có 2 nghiệm như trên . Dạng 3: Đưa về hệ tạm Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : , khi đĩ ta có hệ: Ví dụ 5. Giải phương trình sau : Giải: Ta thấy : không phải là nghiệm Xét Trục căn thức ta có : Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= Ví dụ 6. Giải phương trình : Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. (Đặt y=) 6. 7. 8. 5. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách Xét phương trình trở thành: . thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a. Phương trình dạng : Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu Ví dụ 1. Giải phương trình : Giải: Đặt Phương trình trở thành : Tìm được: Ví dụ 2. Giải phương trình : Ví dụ 3. giải phương trình sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng nhất thức ta được: Đặt , ta được: Ta được : Ví dụ 4. Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : Pt có nghiệm : B.Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. Ví dụ 5. giải phương trình : Giải: Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : Ví dụ 6.Giải phương trình sau : Giải Đk . Bình phương 2 vế ta có : Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : Do . Ví dụ 7. giải phương trình : Giải: Đk . Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt . Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết .