Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá các ẩn

Đối với các hệ phương trình có các ẩn bình đẳng, nếu dùng các phương pháp giải thông thường thì rất giải rất khó khăn, nhất là các bài tập dành cho học sinh khá giỏi . Đối với các hệ phương trình có các ẩn bình đẳng đó ta có thể “Sử dụng phương pháp đánh giá các ẩn để giải hệ phương trình” I – Cơ sở lý thuyết : Vì các hệ phương trình có các ẩn bình đẳng . Do vai trò các ẩn như nhau ta giả sử x ≥ y ; y ≥ z . Dựa vào điều kiện bài toán ta chứng minh được x = y = z thay vào 1 trong các phương trình của hệ ta tìm được nghiệm của hệ phương trình. Sau đây là một số bài toán minh hoạ : II – Một số bài toán minh hoạ : Bài toán 1 : Giải hệ phương trình : Điều kiện Ta sẽ chứng minh x = y . Thật vậy : Tương tự ta chứng minh được : Do đó Từ đó ta có : Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình là x = y = 1 Bài toán 2 : Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình : Ta sẽ chứng minh x = y = z. Do vai trò của x ; y ; z như nhau không làm mất tính tổng quát ta giả sử x ≥ y ; y ≥ z(4) . Vì x >0 ; y >0 ; z >0 Từ (1) ; (2) ;(4) ta có Từ (1) ; (3) ;(4) ta có Từ (4) ; (5) ;(6) đ x = y = z . Thay vào (1) ta có Do x > 0 nên nghiệm của hệ phương trình là x = y = z = 1 Bài toán 3 :Tìm a ; b ; c biết : * Ta thấy ngay a >0 ; bv > 0 ; c >0 Giả sử a>b Từ * đ 4a – 4b = b2 –c2đ b >c >0 4a – 4c = c2 - a2đ c> a > 0 đ b >a trái giả sử đ a Ê b tương tự nếu a < b cũng vô lý đ a = b đ 4a – 4b = b2 –c2 = 0 đ b = c đ a = b = c Thay vào * ta có 4a – a2= 1 đ a2- 4a +1 = 0 giải phương trình bậc hai ta được a = 2 ± Vậy nghiệm của hệ phương trình là a = b = c = 2 ± Bài toán 4 :Biết a >0 ; b>0 và Tính giá trị của biểu thức P = Ta sẽ chứng minh a = b = 1 Từ (1) ta có : Trừ từng vế (2) cho (3) ta có do a >0 Nếu a ạ 1 ta suy ra : trái với (4) đ a = b = 1 Suy ra P = 2 Bài toán 5 : Giải hệ phương trình : Ta sẽ chứng minh x = 1 Nhận xét vì x;y;z ạ0 . Giả sử x > 1 (4) Từ (1) đ Từ (2) đ Tương tự từ (3) đ x <1 . Mâu thuẫn với (4) đ x = 1 Thay vào (1) và (2) đ Vậy nghiệm của hệ là x = y = z = 1 Bài toán 6 : Giải hệ phương trình : Ta sẽ chứng minh :x = y = z . Hiển nhiên x;y;z>0 Do vai trò của các ẩn là bình đẳng không làm mất tính tổng quát ta giả sử x ≥ y ; y ≥ z (4) Từ (1) và (2) đ Do x ≥ y đ y ≥ z Từ (2) và () đ Do y ≥ z đ z ≥ x mâu thuẫn với (4) Tương tự nếu xÊ y ; x Ê z thì mâu thuẫn đx = y = z Thay vào (1) ta có: Vậy nhiệm của hệ phương trình là: x = y = z = Bài toán 7 : Giải hệ phương trình : Giải :+ Ta chứng minh x ; y ; z >0 Ta có : tương tự ta có y ; z >0 + Ta chứng minh x = y = z .Vì các ẩn bình đẳng ta giả sử x≥ y ; x ≥z Lấy (1) trừ (3) ta có : (4) Do x≥ y>0 ; x ≥z>0 nên Do đó . Từ (4) và (5) ta có x = y = z Thay vào (1) ta có : Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = z = Bài toán 8 : Giải hệ phương trình : Giải : Ta chứng minh x = y = z Giả sử x là lớn nhất x≥ y (4 ); x ≥z (5)đ z2 là lớn nhất đ z2 ≥ x2 (6) đ x2 ≥ y2(7) Nếu x ; y; z >0 thì từ (6) thì z ≥ x , Từ (5) thì x ≥zđ x = z Nếu x ; y; z <0 thì từ (7) thì y ≥ z , do (1) và (2)đ Thay vào (1) ta có Vậy nghiệmcủa hệ phương trình là x = y = z = Một số bài tập tự làm Giải các hệ phương trình sau : Bài 1 : Bài 2 : Bài 3 : Bài 4 : Bài 5 : Bài 6 : Bài 7 : Bài 8 :