Giáo án Bám sát 11

CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn hữu hạn Giả sử f(x) xác định trên khoảng K (hoặc K \ {x0}, x0 Î K. 2. Giới hạn ± ¥ Giả sử f(x) xác định trên khoảng K (hoặc K \ {x0}), x0 Î K. Giả sử f(x) xác định trên khoảng (a; + ¥) 3. Dạng vô định: Khi thì có dạng Khi thì có dạng Khi thì có dạng 0. ¥ Khi thì có dạng ¥ - ¥. B. HÀM SỐ LIÊN TỤC: 4. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b); x0 Î (a; b) f(x) liên tục tại x0 Î (a; b) Û f(x) liên tục trên (a; b) Û f(x) liên tục tại mọi x Î (a; b) f(x) liên tục trên [a; b] Û 5. Định lí: a. Các hàm số đa thức liên tục trên ¡. Các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định. b. Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b) < 0 thì tồn tại điểm c Î (a; b) sao cho f(c)=0 (tứ là phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (a; b)) . C. ĐẠO HÀM 6. Định nghĩa và ý nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn): Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và kí hiệu f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là f’(x0) = Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M(x0; f(x0)) là: y – y0 = f’(x0)(x – x0); y0 = f(x0). Vi phân của hàm số f(x) tại x (ứng với Dx) là dy = df(x) = f’(x)dx Công thức tính gần đúng: f(x0 + Dx) » f(x0) + f’(x0) Dx Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi x Î (a; b) thì hàm số x ® f’(x) được gọi là đạo hàm của f(x) trên (a; b). Nếu f’(x) có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của f(x). Kí hiệu: (f’(x))’ = f’’(x) Tương tự đối với f’’’(x) , …., f(n)(x), … 7. Công thức: (c)’ = 0 (c là hằng số) (xn)’ = n.xn – 1 (n Î ¥*, x Î ¡); (sinx)’ = cosx; (cosx)’ = - sinx (ku + lv)’ = ku’ + lv’ (k, l là hằng số) (uv)’ = u’v + uv’ y'x = y'u . u'x (y = y(u), u = u(x)) II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: Bài 1: Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau: a. ; b. c. d. Giải a. Dạng b. Dạng = c. Dạng 0. ¥ d. Dạng ¥ - ¥ Bài 2: Tìm các giới hạn sau: a. b. * Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên. Giải: a. Với x ® 1- thì x 0. Khi đó ta có Từ đó: nếu x £ - 4 nếu -4 < x £ 3 nếu x > 3 Bài 3: Cho hàm số f(x) = a. Tính b. Tìm các khoảng liên tục của f(x) * Sử dụng các định nghĩa và định lý về liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng Giải: a. b. Hàm số f(x) liên tục trên (- ¥; -4), (-4; 3), (3: + ¥) Vì nên f(x) liên tục trên (- ¥; -4] Vì nên f(x) không liên tục tại x= -4 Vì nên f(x) liên tục tại x=3 Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (- ¥; -4] và (-4; +¥) nếu x <2 nếu x³ 2 Bài 4: Tìm số thực m sao cho hàm số: liên tục tại x = 2 * f(x) liên tục tại x = 2 nếu Giải Ta có: Từ đó: Với m = thì f(x) liên tục tại x = 2. Bài 5: Chứng minh rằng phương trình x3 – 2x2 + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. * Sử dụng định lí: Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại điểm x Î (a;b) sao cho f(c) = 0 Giải: Đặt f(x) = x3 – 2x2 + 1 Ta có f(x) liên tục trên ¡ và do đó liên tục trên [-1; 0] Mặt khác, vì f(0) = 1, f(-1) = -2 < 0 nên tồn tại số c Î (-1; 0) sao cho f(c) = 0. Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm âm. Bài 6: Chứng minh rằng phương trình (3m2 – 5)x3 – 7x2 + 1 = 0 luôn có nghiệm âm với mọi giá trị của m. Giải: f(x) = (3m2 – 5)x3 – 7x2 + 1 là một đa thức nên liên tục trên ¡ và do đó liên tục trên [-1;0]. Hơn nữa f(0) = 1 > 0 F(-1) = -3m2 + 5 – 7 + 1 = -(3m2 + 1) < 0, "m Î ¡ Do đó tồn tại số c Î (-1; 0) sao cho f(c) = 0. Vậy phương trình luôn có nghiệm âm với mọi giá trị của m Bài 7: a. Tìm giao điểm của đồ thị các hàm số y = (H) và y = x – 2(d) b. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại các giao điểm đó * Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) của hàm số y=f(x) tại M0(x0;y0) là y-y0=f’(x0)(x–x0) Giải: a. Hoành độ giao điểm của (H) và (d) là nghiệm của phương trình: Vậy có hai giao điểm của (H) và (d) là A(-1; -3), B(3; 1) b. có đạm hàm là . Từ đó: f’(-1) = -3, f’(3) = - Tiếp tuyến của (H) tại A(-1; -3) có phương trình: y + 3 = -3(x + 1) Û y = -3x – 6 Tiếp tuyến của (H) tại B(3; 1) có phương trình: y – 1 = - (x – 3) Û y = -x + 2 Bài 8: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a. f(x) = ; b. g(x) = cos2x + cos2 c. h(x) = sin(cos2x).cos(sin2x) Sau khi tìm g’(x) có nhận xét gì về hàm g(x) Áp dụng công thức: y’x = y’u. u’x Giải: a. f’(x) = = b. Tương tự g’(x) = - 2cosxsinx – 2cos = - sin2x -sin = - sin2x + 2cossin(-2x) = -sin2x + sin2x = 0 c. h’(x) = -2cos(cos2x)cosxsinxcos(sin2x) – 2sin(cos2x)sin(sin2x)sinxcosx = -sin2xcos(cos2x)cos(sin2x) – sin2xsin(cos2x)sin(sin2x) = -sin2x [cos(cos2x)cos(sin2x) + sin(cos2x)sin(sin2x)] = -sin2xcos(cos2x – sin2x) = -sin2xcos(cos2x) Vì g’(x) = 0 nên g(x) là một hàm bằng. Bằng cách chọn x = 0, ta thấy g(0) = Vậy g(x) = với mọi x. Bài 9: Tìm a. d(tanx) ; b. dy với y = (x ¹ 1) * Áp dụng công thức: df(x) = f’(x)dx Giải: a. d(tanx) = (tanx)’dx = b. Với y = ta có: y’ = = Vậy dy = Bài 10: Không dùng máy tính và bảng số hãy tính gần đúng sin290 * Áp dụng công thức f(x0 + Dx) » f(x0) + f’(x0)Dx Giải: Vì 290 = 300 – 10 = nên sin290 = sin» sin Bài 11: Tìm y(n) biết * Dùng phương pháp quy nạp toán học. Giải: Ta có: Ta dự đoán y(n) = (-1)n (*). Ta chứng minh (*) bằng quy nạp. Từ (1) suy ra (*)đúng khi n = 1 Giả sử (*)đúng với n = k, ta có Ta chứng minh (*)đúng với n = k+1 Lấy đạm hàm hai vế của (2) ta đượC: = Vậy với mọi n Î ¥*, ta có: III. BÀI TẬP: 1. Áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: a. b. 2. Tính các giới hạn sau: a. b. c. d. 3. Tìm các giới hạn sau: a. và b. và 4. Cho hàm số f(x) = Với giá trị nào của m, hàm số f(x) có giới hạn khi x ® 0.Tìm giới hạn đó. 5. Tìm các khoảng liên tục của các hàm số sau: a. f(x) = ; nếu nếu nếu b. g(x) = 6. Tìm số thực a sao cho hàm số f(x) = liên tục tại x = 7. Chứng minh rằng phương trình x3 – 10x2 – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm dương. 8. Chứng minh rằng phương trình (m2 + m +1)x5 + x3 – 27 = 0 có nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m 9. Cho hàm số y = (C) a. Hãy tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số tại x = 1 b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1; -2) 10. Chứng minh rằng hàm số f(x) = liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0 11. Tìm vi phân của các hàm số: a. y = b. y = 12. Tính gần đúng các số sau với sai số 0,001 a. cos610 b. tan 440 c. 13. Cho y = x2sinx. Tìm y(4). 14. Chứng minh rằng: (n Î ¥*) (n Î ¥*) CHỦ ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: 1. Các quy tắc cần nhớ: a. Quy tắc ba điểm Với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có và b. Quy tắc hình bình hành Với hình bình hành ABCD ta có: c. Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với AB, AD, AA’ là ba cạnh có chung đỉnh A và AC’ là đường chéo, ta có 2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian Ba vectơ được gọi là dồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng Cho hai vectơ không cùng phương. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho Cho là ba vectơ không đồng phẳng. Với bất kì một vectơ nào trong không gian ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC: 3.Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O bất kì lần lượt song song với a và b. a là góc giữa hai đường thẳng a và b thì ta luôn luôn có a £ 900. Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (,)=a thì góc giữa hai đường thẳng a, b bằng a nếu a £ 900 và bằng 1800 – a nếu a > 900. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. 4. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song vớ nhau. Định lý ba đường vuông góc. - Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (a). Gọi b là đường thẳng không thuộc (a) đồng thời không vuông góc với (a) và b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (a). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’. - Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng (a) tại O và d không vuông góc với (a). Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) là góc tạo bởi đường thẳng d và hình chiếu d’ của d trên (a). - Khi d vuông góc với mặt phẳng (a) ta nói góc giữa d và (a) bắng 900. 5. Hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 900. Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. 6. Khoảng cách Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường vuông góc chung của chúng cắt a tại A, cắt b tại B. Ta nói khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là khoảng cách giữa A và B . II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: 1. Chứng minh các đẳng thức về vectơ * Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng: a. b. Giải a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên: (1) Vì OB = OD nên (2) So sánh (1) và (2) ta suy ra b. Ta có: Mà nên Tương tự ta có: Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có Từ đó suy ra Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng: a. b. c. với P là một điểm bất kì. Giải: a. Ta có: và Suy ra: Vì nên Ta suy ra: b. Vì nên c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có: Do đó: 2. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng * Chứng minh rằng các vectơ có giá song với một mặt phẳng. Chứng minh rằng có cặp số m, n sao cho với và không cùng phương Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. Giải: Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có: Vì nên Theo giả thiết ta có và Do đó Vì: và nên Vậy: Từ hệ thức trên ta suy ra ba vectơ đồng phẳng. Bài 4: Trong không gian cho tam giác ABC. a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì với mọi điểm O trong đó x + y + z = 1 b. Ngược lại nếu có một điểm O trong không gian sao cho trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mặt phẳng (ABC). Giải a. Vì là hai vectơ không cùng phương nên điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) khi: hay với điểm O tuỳ ý, tức là Đặt 1 – m – n = x, m = y, n = z thì: với x + y + z = 1 b. Ngược lại nếu có điểm O sao cho với x + y + z = 1 thì hay Từ đó suy ra : . Do đó điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) 3. Ứng dụng của tích vô hướng: Bài 5:Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là AB và CD, AC và DB vuông góc với nhau. Chứng minh rằng cặp cạnh đối diện còn lại là AD và BC cũng vuông góc với nhau. Giải: Trước hết tà cần chứng minh hệ thức sau đây: Ta có: Từ (1), (2), (3) ta suy ra Do đó, nếu AB^CD nghĩa là và AC ^ DB nghĩa là thì từ hệ thức (4) ta suy ra nghĩa là AD ^ BC. Cách khác: Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng (BCD), ta có AH ^(BCD). Do đó CD ^ AH. Theo giả thiết CD ^ AB, ta suy ra CD ^(AHB). Vậy CD ^ BH. Tương tự, theo giả thiết BD^AC, ta suy ra BD^(ACH), do đó BD^ CH. Vậy H là trực tâm của tam giác BCD tức là DH^BC. Do đó BC ^ (ADH) nên ta suy ra BC^AD. 4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: * Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (a) ta chứng minh : - d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (a) - d song song với một đường thẳng d’ mà d’ vuông góc với (a) - d vuông góc với (b) mà (b) // (a) Bài 6: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung đáy BC. a. Chứng minh BC ^ AD. b. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (BCD). Giải: a. Gọi I là trung điểm của BC, ta có BC ^ AI và BC ^ DI Do đó BC ^ (ADI) và suy ra BC ^ AD. b. Mặt phẳng (BCD) chứa đường thẳng BC^(ADI) nên (BCD) ^ (ADI). Ta có DI là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (ADI) vuông góc với nhau nên hình chiếu vuông góc H của đỉnh A phải nằm trên giao tuyến DI của hai mặt phẳng đó. Trong mặt phẳng (ADI), ta vẽ AH ^ DI thì H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (BCD). Bài 7: Cho tam giác ABC. Gọi (a) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (b) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. a. Chứng minh hai mặt phẳng (a) và (b) cắt nhau. b. Gọi d là giao tuyến của (a) và (b). Chứng minh d ^ (ABC). Giải: a. Theo giả thiết CA ^ (a) và CB ^ (b) nên góc của hai mặt phẳng (a) và (b) bằng góc của tam giác ABC đã cho hoặc bằng góc 1800 - . Do đó ta suy ra hai mặt phẳng (a) và (b) phải cắt nhau. b. Vậy (a) và (b) phải cắt nhau theo giao tuyến d. Ta cần chứng minh d ^ (ABC). Vì CA ^(a) và d thuộc (a) nên CA ^ d. Tương tự, vì CB ^ (b) và d thuộc (b) nên CB^d. Do đó, vì d ^ CA và d ^ CB nên ta suy ra d ^ (ABC). 5. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SA = SB = SC = a. Chứng minh: a. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b. Tam giác SBD vuông tại S Giải a. ABCD là hình thoi nên có AC ^ BD tại O. Mặt khác SA = SC nên có AC ^ SO. Vậy AC ^ (SBD). Mặt phẳng (ABCD) chứa AC ^ (SBD) nên (ABCD) ^ (SBD). b. Ta có: DSAC = DBAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO. Mặt khác BO = DO nên SO=OB=OD. Ta suy ra tam giác SBD vuông tại S. Bài 9: Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. a. Chứng minh rằNG (SAC) ^ (BHK) và (SBC) ^ (BHK) b. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng tam giác SBC có SB = 15cm, SC = 14cm, BC = 13cm và có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Giải: a. Gọi A’ là giao điểm của AH và BC. Ta có BC^AA’ và BC^SA suy ra BC^(SAA’). Do đó BC^SA’. Vậy SA’ đi qua K vì K là trực tâm của tam giác SBC. Vì BH ^ AC và BH ^ SA suy ra BH ^ (SAC) Do đó Vậy: (SAC) ^ (BHK) BC ^ (SAA’) do đó BC ^ HK; SC ^ (BHK) do đó SC ^ HK. Từ đó suy ra HK ^ (SBC) và (BHK) ^ (SBC) b. Gọi SSBC là diện tích tam giác SBC. Theo công thức Hê – rông, ta có: trong đó p = ½ (13+14+15) = 21 Do đó Ta có tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC). Áp dụng công thức S’ = S cosj trong đó j = 300 là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ta có: SABC = S’ = 84.cos300 = 42 (cm2) 6. Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và đến mặt phẳng Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a. Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’, D’ đến đường chéo AC’ bằng nhau. Hãy tính khoảng cách đó. b. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BD) của hình lập phương. Giải: a. ABC’ là tam giác vuông tại B, do đó khoảng cách từ B đến AC’ là độ dài đường cao BI kẻ từ B xuống AC’. Vì DABC’ vuông tại B nên ta có: Lập luận tương tự đối với các điểm còn lại ta chứng minh được các khoảng cách từ các điểm này đến đường chéo AC’ đều bằng nhau. b. Điểm A cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có AB = AD = AA’ = a. Điểm C’ cũng cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có C’B=C’D=C’A=a. Vậy AC’ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều A’BD, do đó AC’ ^ (A’BD) tại trọng tâm I của DA’BD. Ta cần tính AI. Vì A’I = BI = DI = A’O với O là tâm hình vuông ABCD. Ta có: và A’I = Xét tam giác vuông AA’I, ta có: AI2 AA’2 – A’I2 = a2 - Vậy 7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b * Tính khoảng cách giữa a và mặt phẳng (a) chứa b và (a) // a Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b Bài 11: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với OA=OB=OC=a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tìm khoảng cách giữa AI và OC đồng thời xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Giải: Ta có OC ^ (AOB). Gọi K là trung điểm OB, ta có hình chiếu của AI lên (AOB) là AK (vì IK ^ (AOB)). Vẽ OH ^ AK. Dựng HE// OC c8át AI tại E. Dựng EF // OH c8át OC tại F. Khi đó EF là đường vuông góc chung của AI và OC. Độ dài đoạn EF là khoảng cách giữa AI và OC. Xét tam giác vuông AOK ta có: . Do đó: OH2 = Vì OH = EF, ta suy ra khoảng cáhc EF = OH = III. BÀI TẬP: 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a. Chứng minh rằng b. Chứng minh: 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AD và BC ta lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. 3. Hai tam giác đều ABC và ABD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với các đường thẳng BD, DA’. 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB và SD. Chứng minh SC ^ (AHK) và HK ^ (SAC) 6. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh (SCD) ^ (SAD) và (SBC) ^ (SAB). 7. Cho tứ diện ABCD có AB = 7cm, AC = 8cm, BC = 5cm. Cạnh AD = 4 cm và AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a. SB và AD b. BD và SC CHỦ ĐỀ : Giới hạn & ĐH 1. a. 2; b. 0 2. a. 4; b. -; c. d. 3. a. – ¥; + ¥; b. – ¥; + ¥ 4. m = -1, (ứng với m = -1) 5. a. và [2; + ¥); b. và 6. 7. f(x) = x3 – 10x – 1 liên tục trên [0; 11] và f(0) = -1 0. Từ đó (0;11) để f(C) = 0 8. f(x) = (m2 + m + 1)x5 + x3 – 27 liên tục trên [0; 3] và f(0) = -27 < 0 f(3) = m5 (m2+m +1) > 0 với mọi giá trị của m. Do đó (0;3) để f(c) = 0 9. a. y’(1) = -5; b. y = -5x+3 10. Vì 11. a. b. 12. a. 0,485; b. 0,965; c. 4,003 13. -12sinx – 8xcosx + x2sinx