Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 8 - Chứnh minh ba điểm thẳng hàng nhờ sử dụng định lý Thales

CHỨNH MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG NHỜ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ THALES ĐÀO TAM ( GV khoa Toán, ĐH Vinh) 1. Các cách vận dụng định lí Thales để chứng minh ba điểm thẳng hàng. Cách 1: Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta làm theo các bước sau: - Vẽ đường thẳng a đi qua A, sao cho B và C thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng a. - Vẽ các đường thẳng BM và CN song song với nhau sao cho M, N thuộc a. - Chứng minh: ( )1BM AM CN AN = Có thể kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh bằng cách sau: C1 N A C B M Vẽ đường thẳng AB cắt tia CN tại C1. Khi đó vì BM //C1NB nên theo định lí Thales trong tam giác AC1N ta có ( ) 1 2BM AM C N AN = . Từ các hệ thức (1) và (2) suy ra: 1 BM BM CN C N = . Từ đó CN = C1N suy ra hai điểm C và C1 trùng nhau. Tức là A, B, C thẳng hàng. Cách 2: Chứng minh A, B, C thẳng hàng theo các bước sau: - Vẽ đường thẳng a đi qua điểm B sao cho A và C thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là a. - Vẽ AM , AN song song với nhau sao cho các điểm M, N thuộc a. - Chứng minh AM BM CN BN = . N A C B M Bạn đọc có thể kiểm tra tính đúng đắn của cách 2 bằng cách sử dụng định lí Thales. 2. Một vài ví dụ áp dụng Bài 1: Cho tam giác ABC . Đường thẳng MN song song với cạnh BC; M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC. Gọi I và J tương ứng là trung điểm của đoạn MN và BC. Chứng minh rằng A, I, J thẳng hàng. Lời giải: J I N A B C M Do I, J nằmg về một phía của đường thẳng AB và MI // BJ nên hai bước đầu của của cách 1 đã thỏa mãn. Vậy để chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng chỉ cần chứng minh MI AM MJ AB = . Thật vậy, do MN // BC nên theo định lí Thales áp dụng cho tam giác ABC ta có: 1 2 1 2 MNAM MN MI AB BC BJBC = = = (đccm). Chú ý: Có thể diễn đạt bài toán 1 như bổ đề hình thang: Với hình thang MBCN, các cạnh bên cắt nhau tại A; Các điểm I, J là các trung điểm cùa hai cạnh đáy thì A, I, J thẳng hàng. Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác đó; O1 là giao điểm của AO với phân giác ngoài của góc B. Giả sử các điểm H và K là hình chiếu của O1 và O lên BC. Điểm I là điểm đối xứng của K Qua tâm O. Chứng minh rằng A, I, H thẳng hàng. Lời giải: S I HK O O1 A B C Do các điểm I, H nằm cùng vể một phía đường AO và OI // O1H nên theo cách 1 để lập luận A, I, H thẳng hàng thì cần chứng tỏ 1 1 OI AO O H AO = . Thật vậy, gọi các điểm M và N là các hình chiếu của O và O1 lên đường thẳng AB. Khi đó: 1 1 1 1 AO AM OM OK OI AO AN O N O H O H = = = = ( Áp dụng định lí Thales cho tam giác AO1N và tính chất đường phân giác. 3. Một vài bài toán làm thêm Bài 3 : Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó thẳng hàng. ( Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi là đường thẳng Euler). Bài 4: Tứ giác ABCD vừa nội tiếp đường tròn (O) vừa ngoại tiếp đường tròn (I) và có các đường chéo cắt nhau tại P. Chứng minh rằng các điểm P, O, I thẳng hàng. Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại P. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Chứng minh rằng P, B và trung điểm N của MH thẳng hàng. Bài 6: Cho hình vuông ABCD . Vẽ tia Cx là tia đối của tia CD. Vẽ tia Cy là phân giác của góc BCx. Trên tia Cy lấy điểm O bất kì ( O khác C), vẽ đường tròn bán kính OC (OC > OB) cắt các tia Cx, Cy, CB tại H, M K. Gọi Q là giao điểm của CB và DM. Chứng minh rằng A, Q, H thẳng hàng.