Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán - Nguyễn Tài Minh

CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC. CHƯƠNG 2 : SỐ NGUYÊN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1. Chia có dư và chia hết : a) Chia hai số nguyên a và b (b ≠ 0), tất có duy nhất một cặp số nguyên (q, r) sao cho a = bq + r, ở đó 0 ≤ r ≤ ‌‌ ‌‌| b |. q gọi là thương, r gọi là số dư trong trong phép chia a cho b. nếu r = 0 , nghĩa là a = bq, thì ta nói rằng a chia hết cho b hay a là bội của b . Kí hiệu : a M b. ta còn nói b chia hết cho a hay b là ước của a. b) Một số tính chất cần lưu ý : +) Nếu thì a = b ( thêm a, b cùng dấu thì a = b ) +) Nếu thì a c. +) Nếu thì a b m Tổng quát : a1, a2, … , an cùng chia hết cho m thì với các số nguyên x1, x2, … , xn bất kì ta có a1 x1 + a2 x2 + … + an xn m . c) Một số dấu hiệu chia hết : - Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn . - Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó 0 hoặc 5. - Một số chia hết cho 3 ( cho 9 ) khi và chỉ khi tổng các các chữ số của số đó chia hết cho 3 ( cho 9 ). 2. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) – Bội chung nhỏ nhất ( BCNN). a) Số lớn nhất trong các ước chung của a1, a2, … , an gọi là ước chung lớn nhất của n số đó. Kí hiệu : (a1, a2, … , an ) . Ước chung lớn nhất của n số chia hết cho ước số chung bất kì của n số đó. b) Số đương nhỏ nhất trong các bội số chung của a1, a2, … , an gọi là bội chung nhỏ nhất của n số đó. Kí hiệu [ a1, a2, … , an ]. Bội chung nhỏ nhất của n số là ước của bội chung bất kì của n số đó. c) Các số nguyên a1, a2, … , an gọi là số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1 ( hay (a1, a2, … , an ) = 1 ) d) Một số kết quả cần lưu ý : +) Tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của n số bằng phương pháp phân tích ra tích các thừa số nguyên tố. +) Nếu thì b M c . +) Nếu ( a , c ) = 1 thì ( ab , c ) = ( b , c ). Do đó nếu ( a1 , c ) = ( a2 , c ) = … = ( an, c ) thì (a1 a2 …an , c ) = 1 +) [ a, b ](a, b) = ab. +) Nếu A M m1 , A M m2 , … ,A M mn và (mi , mj ) = 1 thì A M m1 m2... mn 3. Số nguyên tố và hợp số. a) Số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước số là 1 và chính nó gọi là số nguyên tố. Số tự nhiên lớn hơn 1 không là số nguyên tố gọi là hợp số. b) Mọi số tự nhiên lớn hơn 1đêu phân tích được thành thíc các thằ số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất ( không kể thứ tự các thừa số ). c) Ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là một số nguyên tố. d) Tích của các thừa số chia hết cho số nguyên tố p thì tất có một thứa chia hết cho p. II . MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. 1. Chia hết và chia có dư . Bài toán 1 : ( Toán 6) Một số chia cho 7 dư 6, chia cho 8 dư 5. Hỏi số đó chia cho 56 thì dư là bao nhiêu ? Phân tích tìm lời giải : Để tìm số dư r khi chia số nguyên tố a cho số nguyên tố b, ta tìm cách biểu diễn a = bq + r, ở đó 0 ≤ r ≤ ‌‌ ‌‌| b | Giải : Cách 1 : ( theo đặc điểm riêng 56 = 7 . 8 và 8 – 7 = 1) Gọi số bị chia là a. Từ giả thiết ta có : Do đó Suy ra : a = 8a – 7a = 56(q1 – q2) + 13. Vậy số dư là 13. Khai thác lời giải : Với đặc điểm riêng của bài toán ta giải cho trường hợp tổng quát. Số nguyên tố a chia cho số nguyên tố dương n thì dư r1 , chia cho (n + 1) thì dư r2 . Hỏi số a chia cho n(n + 1) thì số dư là bao nhiêu? Giải : Ta có : . Do đó : Suy ra : a = n(n + 1)(q1 – q2) + (n + 1)r1– nr2 . Ta thấy : |(n + 1)r1– nr2 | < n(n + 1). Nếu (n + 1)r1– nr2 0 thì số dư là (n + 1)r1– nr2 Nếu (n + 1)r1– nr2 < 0 thì khi đó 0 < n(n + 1) +(n + 1)r1– nr2 < n(n + 1) Ta viết a = n(n + 1)( q1 – q2) + n(n + 1) +(n + 1)r1– nr2 . Từ đó suy ra số dư : n(n + 1) +(n + 1)r1– nr2 . Cách 2 :(Áp dụng cho các bài toán cùng loại) Từ a = = . Ta có : 7q1 – 7q2 = q2 – 1 M 7. Vậy : q2 – 1 = 7t ( t Z ) Hay : q2 = 7t + 1 Thay vào ta được : a = 56q2 + 13. Suy ra số dư là 13. Bài toán 2 : Khi chia số nguyên a cho 3 thì dư 2, chia cho 8 thì dư 4. Hỏi số dư khi chia số a cho 48. Giải : Theo giả thiết ta có : a = 3q1 + 2 = 8q2 + 4. Do đó : q2 – 2 = 3(3q2 – q1) M 3 Vậy q2 – 2 = 3t ( t Z) Hay q2 = 3t + 2. Thay vào a ta được a = 24t + 20 Vì t Z nên có hai khả năng : t = 2k hoặc t = 2k + 1 Với t = 2k thì a = 48k + 20. Số dư là 20. Với t = 2k + 1 thì a = 48k + 44. Số dư là 44. Trả lời : số dư là 20 hoặc 44. Bài toán 3 : Kí hiệu BSx là một bội số nào đó của số nguyên x. a) Chứng minh rằng a = BSb + r thì an = BSb + rn (a, r Z) b) Tìm số dư trong phép chia 19931992 cho 9. Giải : a) Vì a = BSb + r nên a – r = BS b. Ta lại có : an – rn = (a – r)(an-1 + an-2r + … + rn-1) = BSb. Hay an = BSb + rn. b) Ta có 1993 = BS9 + 4 Theo a) thì 19931992 = BS9 + 41992 = BS9 + (43)664 Mà 43 = 64 = BS9 + 1. Suy ra (43)664 = BS9 + 1664 =BS9 + 1. Do đó 19931992 = BS9 + 1. Vậy số dư là 1. Bài toán 4 : Chia số 1993 cho một số tự nhiên a ta được thương là 30. Tìm số chia a và số dư trong phép chia này. Giải : Gọi r là số dư của phép chia. Theo giả thiết ta có : 1993 = 30a + r trong đó 0 < r < a Do đó 0 < 1993 – 30a < a. Nghĩa là : < a < . Vậy a = 65 hoặc a = 66. Khi a = 65 ta có r = 43. Khi a = 66 ta có r = 13. Đáp số: a = 65 ; r = 43 hoặc a = 66 ; r = 13. Bài toán 5 : Chứng minh rằng nếu hai số nguyên a và b chia cho số nguyên c mà cùng cho một số dư thì hiệu a – b c . Giải : Vì a và b chia cho c cùng một số dư r nên : a – b = c(q1 – q2) c. (đpcm) Khai thác kết quả : Một số nguyên chia cho số nguyên dương n có số dư là một trong n số : 0, 1, 2, 3, …, n-1. Vậy (n + 1) số nguyên cùng chia cho n tất có hai sô cho cùng một ssó dư. Khi đó, hiệu hai số có cùng số dư chia hết cho n. Áp dụng kết quả này trong một số trường hợp ta sẽ có lời giải hay. Bài toán 6 : Chứng minh rằng tồn tại số chỉ gồm số 1 và 0 chia hết cho 1993. Giải : Xét 1994 số sau : 1, 11 , 111, …, . trong 1994 số đó tất có hai số có hiệu chia hết cho 1993. Hiệu hai số đó chỉ gồm hai chữ số 1 và 0. Vậy tồn tại số chỉ gồm hai chữ số 0 và 1 chia hết cho 1993. Khai thác kết quả : Ta thấy hiệu hai số nói trên có dạng : 11… = 111…1.10k. Tích hai thừa số 111…1 và 10k chia hết cho 1993 mà (10k, 1993) = 1. Vậy ta có kết quả mạnh hơn : tồn tại số chỉ gồm chữ số 1 chia hết cho 1993. Bài toán 7 : (Toán 6) . Thêm vào bên trái sô 1986 một chữ số và vào bên phải số ấy một chữ số để được số mới chia hết cho 45. Phân tích lời giải : Ta có 45 = 9.5 và (5 ; 9) = 1. Một số chia hết cho 45 khi và chỉ khi số đó chia hết cho 5 và 9. Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5 ta tìm được chữ số thêm vào bên phải rồi dựa và dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm chữ số thêm vào bên trái. Giải : Gọi chữ số b thêm vào bên trái là x và chữ số thêm vào bên phải là y, ta có số : 45. Vì 45 = 9.5 và (5 ; 9) = 1 nên 45 Để có 5 phải có y = 0 hoặc y = 5. +) Với y = 0, để có 9 phải có : x + 1 + 9 + 8 + 6 + 0 = x + 24 9, vậy x = 3. +) Với y = 5, để có 9 phải có : x + 1 + 9 + 8 + 6 + 5 = x + 29 9, vậy x = 7. Đáp số : : 319860 và 719865.