Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Buổi 1 : hằng đẳng thức a. mục tiêu: * Củng cố và nâng cao kiến thức về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán b. hoạt động dạy học: I. Nhắc lại nội dung bài học: 1. Nhân đa thức với đa thức: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Những hằng đẳng thức đáng nhớ: Bình phương một tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương một hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) II. Bài tập áp dụng: Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1. Bài 1: Rút gọn biểu thức a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) Thực hiện phép nhân rồi rút gọn b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 Bài 2: Tìm x biết: 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 áp dụng các H.đẳng thức nào để giải Biến đổi, rút gọn vế trái Bài 3: Cho x + y = a; xy = b. tính giá trị các biểu thức sau theo a và b: x2 + y2; x4 + y4 Bài 4: chứng minh rằng a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4 b) Nếu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) thì: a = b Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra điều gì? c) Nếu: x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 thì x = y = z Từ : x + y + z = 0 (x + y + z)2 =? Từ đo ta có điều gì? d) cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2 c/m: a4 + b4 + c4 = 2 HD cách giải tương tự Bài 5: So sánh: a) A = 1997 . 1999 và B = 19982 b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) và B = 3128 - 1 Tính 4 theo 32 – 1? Khi đó A = ? áp dụng hằng đẳng thức nào liên tiếp để so sánh A và B Bài 6: a) Cho a = 11…1( co n chữ số 1) b = 100…05( có n – 1 chữ số 0) Cmr: ab + 1 là số chính phương b) Cho Un = 11…155…5 (có n chữ số 1 và n chữ số 5) Cmr: Un + 1 là số chính phương HS ghi đề, thực hiện theo nhóm HS cùng GV thực hiện lời giải a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + 2x + 4 = x3 + 3x2 + 6x + 4 b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + 1 c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + 1 – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 HS ghi đề bài giải theo nhóm ít phút áp dụng các H.đẳng thức (1), (2), (3) 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 7(x2 – 9) = 172 …. 8x = 96 x = 12 HS ghi đề bài, tiến hành bài giải Ta có x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 HS ghi đề, tiến hành giải cùng với GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3- y4 = x4 – y4 = VP (đpcm) b) Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 a2 - 2ab + b2 = 0 (a – b)2 = 0 a – b = 0 a = b (đpcm) c) Từ : x + y + z = 0 (x + y + z)2 = 0 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0 x2 + y2 + z2 = 0 ( vì xy + yz + zx = 0) x = y = z d) Từ a + b + c = 0 (a + b + c )2 = 0 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 ab + bc + ca = -1 (1) Ta lại có: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4 (2) Từ (1) (ab + bc + ca)2 = 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 = 1 (3) Từ (2) và (3) suy ra a4 + b4 + c4 = 2 a) A = 1997 . 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – 1 < 19982 A < B b) Vì 4 = nên A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) =(34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) = (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1) = (364 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B Vậy: A < B Ta có: b = 10n + 5 = 9….9 + 6 = 9(1…1) + 6 = 9a + 6 ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a +1 = (3a + 1)2 là một số chính phương Ta viết: = = 11…1.10n + 5. 11…1 Đặt: a = 11…1 thì 9a + 1 = 10n Do đó : Un + 1 = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III. Bài tập về nhà: Bài 1: cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + 1 Bài 2: Chứng minh rằng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bài 3: Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2). Cmr: a = b = c Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu n là tổng của hai số chính phương thì 2n và n2 củng là tổng của hai số chính phương Bài 5: So sánh: A = với B = (Với 0 < y < x ) Buổi 2 : hằng đẳng thức ( Tiếp) a. mục tiêu: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về hằng đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán b. hoạt động dạy học: I. Nhắc lại nội dung bài học: Những hằng đẳng thức đáng nhớ: Bình phương một tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương một hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) Lập phương một tổng: (A + B)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (4) Lập phương một hiệu: (A - B)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (5) Tổng hai lập phương: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) (6) Hiệu hai lập phương: a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) (7) Bình phương tổng ba hạng tử: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II. Bài tập áp dụng: Hoạt động của GV Hoạt động của HS Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) Cho HS ghi đề, tiến hành bài giải Ta thực hiện phép tính như thế nào? b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) Ta nên thực hiện phép tính như thế nào? Bài 2: Tìm x biết (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 Để tìm x ta làm thế nào? Bài 3: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Cho HS suy nghĩ, tìm cách giải Nếu HS chưa giải được thì gợi ý: Hãy triển khai, tách tổng trên thành ba tổng có dạng: A2 + 2AB + B2 Bài 4: Tính giá trị Bt khi biết giá tri Bt khác a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị của Bt A = x3 + y3 Cho HS giải Viết A thành tích Để tính giá trị của A ta cần tính xy. Tính xy như thế nào? Từ : x + y = 2; x2 + y2 = 10. Hãy tìm cách tính xy b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1 Tính giá trị của Bt: B = a4 + b4 + c4 ? Để có a4 + b4 + c4 ta làm thế nào? Nhiệm vụ bây giờ là làm gì? Để có (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta phải làm gì? Khi đó ab + bc + ca = ? a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? Từ đây, làm thế nào để tính giá trị của Bt B Bài 5: Cho a = ; b = và c = Chứng minh rằng: A = a + b + c + 8 là một số chính phương Để chứng minh một tổng là một số chính phương, ta cần c/m gì? A = a + b + c + 8 = ? Ta có: . Viết thành luỹ thừa 10? Bài 6: Tồn tại hay không các số x, y, z thoã mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng tổng các bình phương? Có nhận xét gì về hai vế của đẳng thức? Ta có kết luận gì? Ta có thể nói : Biểu thức A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 có giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = 2 ; y = và z = 4 HS ghi đề, tiến hành bài giải 1HS lên giải a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) = ...= 5x - 8 HS thực hiện, 1HS lên giải b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 HS ghi đề, tiến hành bài giải Thực hiện phép tính, rút gọn vế trái 1HS lên bảng giải (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1 x3 - 27 - x(x2 - 4) = 1 x3 - 27 - x3 + 4x = 1 4x = 28 x = 7 HS ghi đề, tìm cách giải Đại diện HS lên trình bày( Nếu không giải được thì theo Hd của GV) A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a2+ b2+ c2 = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2) = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 HS giải A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghĩ, tìm cách tính xy Từ x + y = 2x2 + y2 + 2xy = 4 xy = - 3 (2) Thay (2) vào (1) ta có : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi đề Bình phương Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta có a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1 a4 + b4 + c4 = 1 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) Tính: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ta phải bình phương Bt: (ab + bc + ca) Ta bình phương Bt: a + b + c = 0, ta có: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 ab + bc + ca = (ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = a2b2 + b2c2 + c2a2 = (2) Thay (2) vào (1) ta có: B = 1 - 2. = 1 - = HS ghi đề, tìm cách giải Để chứng minh một tổng là một số chính phương, ta cần c/m nó bằng bình phương của một số A = + + + 8 = () + () + 6( ) + 8 = + + 6. + 8 = = = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ 2 = 0 (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + 2 = 0 Rõ ràng, vế trái của đẳng thức là một số dương với mọi x, y, z; còn vế phải bằng 0 Vậy không tồn tại các số x, y, z thoã mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 Bài tập về nhà Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bài 2: a) Cho x - y = 1. Tính giá trị Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 . Tính x3 + y3 theo a và b Bài 3: Chứng minh rằng Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3 abc Buổi 3 : đường trung bình của tam giác, hình thang a. mục tiêu: - Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thang, đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang - Tiếp tục rèn luyện kỷ năng chứng minh hình học cho HS - tạo niềm tin và hứng thú cho HS trong khi học nâng cao b. hoạt động dạy học: I. Nhắc lại một số kiến thức bài học: 1. Đường trung bình của tam giác * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác gọi là đường trung bình của tam giác - E là trung điểm AB, F là trung điểm AC thi EF là đường trung bình của ABC - Nếu E là trung điểm AB và EF // BC thì F là trung điểm AC - EF là đường trung bình của ABC thì EF // BC và EF = BC 4. Đường trung bình của hình thang: * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang gọi là đường trung bình của hình thang + Hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung điểm AD, N là trung điểm BC thì MN là đường trung bình của hình thang ABCD + Nếu MA = MD, MN // CD // AB thì NB = NC + MN là đường trung bình của hình thang ABCD thì MN // AB // CD và MN = (AB + CD) A B C E F II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho ABC đều cạnh a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC a) Tứ giác BCMN là hình gì? vì sao? b) Tính chu vi của tứ giác BCNM theo a Cho HS tìm lời giải ít phút Dự đoán dạng của tứ giác BCNM? Để c/m tứ giác BCNM là hình thang cân ta cần c/m gì? Vì sao MN // BC Vì sao ? Từ đó ta có KL gì? Chu vi hình thang cân BCNM tính như thế nào? Hãy tính cạnh BM, NC theo a BC = ? vì sao? Vậy: chu vi hình thang cân BCNM tinh theo a là bao nhiêu? Bài 2: Cho ABC có ba góc đều nhọn; AB > AC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Vẽ đường cao AH a) C/m: MP = NH b) Giả sử: MH PN. C/m: MN + PH = AH Để C/m MP = NH ta cần C/m gì? Từ GT suy ra MP có tính chất gì? Ta cần C/m gì? Gọi I = MN AH thì ta có điều gì? Vì sao? Hoàn thành lời giải? Khi MH PN thì MH AB? Vì sao? AMH là tam giác gì? vì sao? ABH là tam giác gì? vì sao? Từ đó suy ra điều gì? Bài 3: Cho ABC. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác trong. kẻ IM AB; IN BC và IK AC. Qua A vẽ đường thẳng a // MN; đường thẳng b // NK. A cắt NK tại E, b cắt NM tại D, ED lần lượt cắt AC, AB tại P, Q. Cmr: PQ // BC Gọi giao điểm của BC và AD là L, của BC và AE là H Để c/m: AM = AK ta c/m gì?, Tương tự hãy c/m: BN = BM, CN = CK MNHA là hình gì? Vì sao Ta suy ra điều gì? KNLA là hình gì? Vì sao? Từ đó ta có điều gì? Ta có thể KL gì về Mqh giữa ND, NE trong ALH DE có tính chất gì? Bài 4: Cho ABC có AB = c, BC = a, AC = b Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt các tia phân giác của góc B và góc C tại D và E. Từ A vẽ AP BD; AQ CE. PQ lần lượt cắt BE, CD tại M và N Tính MN, PQ theo a, b, c Dự đoán xem MN có tính chất gì? Hãy C/m BCDE là hình thang Dự đoán và c/m dạng của BAD Từ đó ta có điều gì? PQ có tính chất gì? Suy ra tính chất của MN Hãy tính MN và PQ theo a, b, c HS ghi đề bài Viết GT, KL, vẽ hình HS suy nghĩ, tìm lời giải HS dự đoán c/m: MN // BC và Từ GT MN là đường trung bình của ABC MN // BC (1) và MN = BC (2) ABC đều nên (3) Từ (1) và (3) suy ra tứ giác BCNM là hình thang cân Chu vi hình thang cân BCNM là PBCNM = BC +BM + MN + NC (4) BM = NC = AB = BC = a BC = a, MN = BC = a Vậy : PBCNM = BC +BM + MN + NC = a + a + a + a = a Vẽ hình Tứ giác MPHN là hình thang cân hoặc C/m: MP và NH cùng bằng một đoạn nào đó MP là đường Tb của ABC nên MP // AC và MP = AC Ta cần C/m NH = AC M là trung điểm AB và MI // BH ( do MN là đường trung bình của ABC) nên I là trung điểm AH và AI MN (Do AH BC ) ANH cân tại N NH = NA = AC Vậy: MP = NH HS hoàn thành lời giải câu a Khi MH PN thì MH AB vì NP // AB AMH là tam giác vuông cân tại M vì có và có MI vừa là trung tuyến vừa là đường cao ABH có mà nên ABH vuông cân tại H. Suy ra BH = AH Mà BH = BP + PH = MN + PH Vậy: MN + PH = AH HS ghi đề, Vẽ hình, AMI = AKI (C. huyền – g. nhọn) AM = AK (1) BMI = BNI (C. huyền – g. nhọn) BM = BN (2) CNI = CKI (C. huyền – g. nhọn) CN = CK (3) MNHA là hình thang cân( vì có: MN//AH, ) NH = AM (4) KNLA là hình thang cân NL = AK (5) Từ (1), (4), (5) NL = NH (6) NE, ND là đường trung bình của ALH nên: EA = EH (7) và DA = DL (8) Từ (7) và (8) suy ra: DE là đường trung bình của ALH DE // LH PQ // BC HS vẽ hình Dự đoán: MN là đường trung bình của hình thang BCDE Từ gt BCDE là hình thang vì có DE // BC mà (so le trong – do BC // DE) BAD cân tại A. mà AP BD PB = PD; AB = AD = c Tương tự CAE cân tại A Và AQ CE QC = QE và AC = AE = b PQ là đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo hình thang BCDE nên PQ // AB MN là đường trung bình của hình thang BCDE nên: MN = = PQ = MN–(MQ + NP) = - BC = III. Bài tập về nhà: Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD, = 900); AB = CD = AB kẻ CH AB, Gọi giao điểm của AC và DH là E, giao điểm của BD và CH là F Tứ giác ADCH là hình gì? b) C/m : AC BC c) EF = DC = AB Bài 2: Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy Buổi 4 – phân tích đa thức thành nhân tử a. mục tiêu: * Củng cố, khắc sâu và nâng cao kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử * HS sử dụng thành thạo các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử * Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào các bài toán chứng minh, tìm giá trị của biểu thức, của biến b. hoạt động dạy học: I. Nhắc lại kiến thức bài học: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: * Phương pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D) * Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Sử dụng Hđt để viết đa thức thành tích * Phương pháp nhóm các hạng tử: Nhóm các hạng tử nào đó với nhau để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức * Phương pháp tách hạng tử : Với đa thức dạng: a x2 + bx + c ta làm như sau: Viết tích ac = b1b2 = b3b4 = sau đó chọn ra 2 thừa số có tổng bằng b. Tách bx = (b1x + b2x) nếu b = b1 + b2 Khi đó a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = * Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ để đưa biểu thức cần phân tích thành một biểu thức dễ phân tích hơn * Phương pháp Thêm bớt cùng một hạng tử : Thêm hoặc bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc một hằng đẳng thức * Phối hợp nhiều phương pháp: sử dụng đồng thời nhiều phương pháp để phân tích II. Bài tập vận dụng: Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của học sinh Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a) 25x4 – 10x2y + y2 áp dụng phương pháp nào để phân tích đa thức này b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 Bài 2: Phân tích thành nhân tử a) x4 + 2x3 – 4x - 4 Ta áp dụng phương pháp nào để phân tích b) x3 +2x2y – x – 2y c) ac2x – adx – bc2x + cdx +bdx – c3x 3. Bài 3: Phân tích thành nhân tử a) x2 – 6x + 8 áp dụng phương pháp nào để phân tích? Phân tích bằng cách tách hạng tử nào? tách như thế nào? Có thể tách như thế nào khác nữa để xuất hiện hằng đẳng thức rồi tiếp tục phân tích Tương tự, GV cùng HS tìm ra các cách phân tích khác trong phương pháp tách hạng tử b) a4 + a2 + 1 Hãy tách a2 thành 2 hạng tử để phân tích c) x3 – 19x – 30 Hãy tách hạng tử -19x để phân tích Bài 4: Phân tích thành nhân tử a) a4 + 64 Dạng a2 + b2 nên ta thêm và bớt hạng tử nào để xuất hiện một hằng đẳng thức b) x5 – x4 - 1 c) a3 + b3 + c3 - 3abc Ta đã có a3 + b3, vậy nên thêm bớt các hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức Hãy phân tích đa thức trên thành nhân tử Bài 5: Phân tích thành nhân tử a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 Ta sử dụng phương pháp nào để phân tích b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS làm tương tự như câu a Bài 6: a) Cho a + b + c = 0 c/m rằng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Từ a + b + c = 0 ? b) cho xy0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 C/m: HS: áp dụng PP dùng Hđt 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 2. 5x2.y + y2 = (5x2 – y)2 b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 = [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18) = 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3) áp dụng phương pháp nhóm hạng tử a) x4 + 2x3 – 4x – 4 = (x4 – 4 ) + (2x3 – 4x) = (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2) b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y) = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x) = dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2) HS ghi đề Cách 1: Vì 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) nên ta có: x2 – 6x + 8 = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) Cách 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = …? Cách 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? Cách 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 =..? HS về nhà tìm thêm cách khác b) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3) = (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2) thêm và bớt 2ab ta có; a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 – 1 = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghĩ, trả lời c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc) = (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c) = (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c) = (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc) a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*) Đặt (x2 + x ) = y ta có (*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2) = (x2 + x +6 )(x2 + x - 2) = (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) Đặt y = x2 + 8x + 7 thì x2 + 8x + 15 = y + 8 ta có: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – 1 = (y + 4)2 – 1 = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) a) Từ a + b + c = 0 (a + b + c )2 = 0 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2 a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2). Vì a + b + c = 0 a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) b) Từ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 = 0 a2y2 - 2abxy + b2x2 = 0 (ay – bx)2 = 0 ay – bx = 0 ay = bx (đpcm) III. Bài tập về nhà: Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) 25x2 – 20xy + 4y2 b) x3 – 4x2 – 9x + 36 c) x2 – 7xy + 10y2 d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Bài 2: Chứng minh rằng a) Hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8 b) A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với bài 5: hình bình hành – hình chữ nhật A. MUẽC TIEÂU: * Cuỷng coỏ vaứ naõng cao kieỏn thửực veà hỡnh bỡnh haứnh vaứ hỡnh chửừ nhaọt * Vaọn duùng thaứnh thaùo kieỏn thửực vaứo caực baứi taọp veà Hbh vaứ hcn * HS coự hửựng thuự vaứ nghieõm tuực trong hoùc taọp B. HOAẽT ẹOÄNG DAẽY HOẽC: I. Nhaộc laùi kieỏn thửực baứi hoùc: Kieỏn thửực Hỡnh bỡnh haứnh Hỡnh chửừ nhaọt 1. ẹũnh nghúa ABCD laứ Hbh ABCD laứ Hcn 2. Tớnh chaỏt ABCD laứ Hbh , AC BD = O ABCD laứ Hcn , AC BD = O 3. Daỏu hieọu nhaọn bieỏt ABCD laứ Hbh + + ABCD coự AB // CD Vaứ + ABCD laứ Hbh coự: - - AC = BD ABCD Laứ hcn II. Baứi taọp vaọn duùng: Hoaùt ủoọng cuỷa GV Hoaùt ủoọng cuỷa HS 1. Baứi 1: Cho Hbh ABCD coự . ẹửụứng phaõn giaực cuỷa goực D ủi qua trung ủieồm cuỷa AB a) C/m: AB = 2AD b) Goùi F laứ trung ủieồm cuỷa CD. C/m ADF ủeàu, AFC caõn c) C/m AC AD Giaỷi Goùi E laứ trung ủieồm cuỷa AB. Ta coự ADE laứ tam giaực gỡ? Vỡ sao? Haừy C/m ủieàu ủoự Haừy C/m ADF caõn taùi A coự moọt goực 600 Haừy C/m AFC caõn taùi F Tửứ AFC caõn taùi F ta suy ra ủieàu gỡ? Goực DFA baống hai laàn goực naứo cuỷaAFC =? 2. Baứi 2: Cho ABC vaứ O laứ ủieồm thuoọc mieàn trong cuỷa tam giaực ủoự. Goùi D, E, F laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AB, BC, CA vaứ L, M, N laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa OA, OB, OC Chửựng minh raống caực ủoaùn thaỳng EL, FM, DN ủoàng quy Giaỷi ẹeồ C/m ba ủoaùn thaỳng EL, FM, DN ủoàng quy ta C/m gỡ? Ta C/m caực ủoaùn thaỳng ủoự laứ ủửụứng cheựo cuỷa hai hbh coự chung moọt ủửụứng cheựo ẹeồ C/m tửự giaực EFLM laứ Hbh ta c/m nhử theỏ naứo? Tửụng tửù ta coự tửự giaực NLDE laứ hỡnh gỡ? Hai Hbh naứy coự chung ủửụứng cheựo naứo? Tửứ ủoự ta coự keỏt luaọn gỡ? Nhửừng Hbh naứo coự taõm truứng nhau? 3. Baứi 3: Cho hỡn chửừ nhaọt ABCD; keỷ BHAC. Goùi E, F laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AH, CD. Chửựng minh BE EF Giaỷi Goùi K laứ trung ủieồm cuỷa AB ta coự ủieàu gỡ? Vỡ sao? Tửự giaực BCFK laứ hỡnh gỡ? Vỡ sao? EI coự tớnh chaỏt gỡ? Vỡ sao? BFE laứ tam giaực gỡ? Vỡa sao? 4. Baứi 4: Cho ABC caõn taùi A. Tửứ ủieồm D treõn BC keỷ ủửụứng vuoõng goực vụựi BC caột AB, AC laàn lửụùt taùi E, F. Dửùng caực hỡnh chửừ nhaọt BDEH vaứ CDFK a) C/m: ba ủieồm A, H, K thaỳng haứng b) C/m: A laứ trung ủieồm cuỷa HK c) Goi I, J theo thửự tửù laứ taõm cuỷa caực hỡnh chửừ nhaọt BDEH vaứ CDFK. Tỡm taọp hụùp trung ủieồm M cuỷa ủoaùn thaỳng IJ khi D di ủoọng treõn BC ẹeồ C/m A, H, K thaỳng haứng ta c/m gỡ? Haừy C/m AH, AK cuứng song song vụựi moọt ủửụứng thaỳng naứo ? Haừy c/m tửự giaực AIDJ laứ Hbh? Nhử theỏ naứo? Tửứ I, J laứ taõm cuỷa caực hỡnh chửừ nhaọt BDEH vaứ CDFK vaứ M laứ trung ủieồm cuỷa IJ ta suy ra ủieàu gỡ? Tửứ MI // AH vaứ MJ // AK ta suy ra ủieàu gỡ Coự caựch C/m naứo khaực? Ta ủaừ coự A, H, K thaỳng haứng neõn ủeồ c/m A laứ trung ủieồm cuỷa HK ta C/m gỡ? Haừy C/m AB // DK vaứ keỏt hụùp vụựi I laứ trung ủieồm cuỷa DH ủeồ AH = AK Keỷ MN BC vaứ ủửụứng cao AG thỡ MN coự tớnh chaỏt gỡ? M caựch BC moọt khoaỷng khoõng ủoồi thỡ m naốm treõn ủửụứng naứo? HS ghi ủeà, veừ hỡnh a)ADE laứ tam giaực caõn Ta coự , maứ ABCD laứ Hbh neõn ADE caõn taùi A AD = AE maứ AB = 2 AE Neõn AB = 2AD b) AB = CD (do ABCD laứ Hbh) maứ DF = CD, AD = AB. Suy ra AD = DF ADF caõn traùi D coự vaọy: ADF laứ tam giaực ủeàu Ta coự AF = DF (do ADF ủeàu) Maứ DF = FC (F laứ trung ủieồm cuỷa BC) Suy ra AF = FC AFC caõn taùi F c) AFC caõn taùi F (Goực ngoaứi taùi ủổnh cuỷa tam giaực caõn) Maứ (do ADF ủeàu). Suy ra hay AC AD HS ghi ủeà, veừ hỡnh HS suy nghú , phaựt bieồu HS ghi nhụự phửụng phaựp c/m E, F laứ trung ủieồm cuỷa BC, CA EF laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa ABC suy ra EF // AB, EF = AB (1) Tửụng tửù LM laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa OAB suy ra LM // AB, LM =AB (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra tửự giaực EFLM laứ Hbh C/m tửụng tửù ta coự tửự giaực NLDE laứ Hbh (Vỡ coự NE //= LD) Hai Hbh EFLM vaứ NLDE coự chung ủửụứng cheựo LE hay ba ủoaùn thaỳng EL, FM, DN ủoàng quy taùi trung ủieồm cuỷa LE Hay ba Hbh EFLM , NFDM vaứ NLDE coự taõm truứng nhau HS ghi ủeà, veừ hỡnh Goùi K laứ trung ủieồm cuỷa AB ta coự EK // HB (Vỡ EK laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa AHB) maứ BHAC EK AC suy ra CEK vuoõng taùi E Tửự giaực BCFK coự BK //= CF vaứ coự neõn laứ hỡnh chửừ nhaọt neõn hai ủửụứng cheựo BF vaứ CK caột nhau taùi I vaứ BF = CK I laứ trung ủieồm cuỷa BF , CK EI laứ trung tuyeỏn thuoọc caùnh huyeàn CK cuỷa CEK EI = CK = BF BFE coự trung tuyeỏn EI = BF neõn laứ tam giaực vuoõng taùi E BE EF HS ghi ủeà , veừ hỡnh HS phaựt bieồu C/m AH, AK cuứng song song vụựi IJ HS neõu caựch c/m Tửứ I, J laứ taõm cuỷa caực hỡnh chửừ nhaọt BDEH vaứ CDFK vaứ M laứ trun