Giáo án bồi dưỡng Toán 9 - Trưòng THBC Trần Quốc Tuấn

Bài 6: A a. E ẻ đường tròn (C) ú cm OE = OA = OH (t.c trung tuyến của D vuông AEH) O b. cm: DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) ú cm OE ^ DE H E ú cm góc OEH + HED = 900 ú cm góc OEA = góc BED ú cm góc OEA = OAE (D OEA cân) B D C góc BED = DBE (D EDB cân) góc DBE = OAE (góc có cạnh tương ứng vuông góc) Bài 7: M a. cm M; C; N ẻ tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) Cần cm: M; C; N thẳng hàng và OC ^ MN * Ta có M đối xứng H qua AC => góc ACM = góc ACH (t.c ) (1) C Tương tự góc BCN = góc BCH (2) Từ (1) và (2) => góc MCH + NCH = 2ACB (3) N Mà OC = OA = OB => góc ACB = 1 vuông (4) A Từ (3) và (4) => góc MCH + NCH = 1800 O H B => 3 điểm M; C; N thẳng hàng. * cm OC ^ MN ú cm OC // AM // BN (và AM ^ MN; BN ^ MN) cm AM ^ MN ú cm D AMC = D AHC (c.g.c) BN ^ MN ú cm D CHB = D CBN (c.g.c) cm OC // MA // BN ú cm OC là đường trung bình hình thang AMNB. Bài 8: b. cm : BC là tiếp tuyến của (O; 5) Ta có D OCB = D OAB (c. g. c) => góc OCB = góc OAB = 900 => OC ^ BC hay BC là tiếp tuyến. c. Ta có BA = OA = BC = OC C 1 O => AOCB là hình thoi ; góc  = 900 2 => AOCB là hình vuông. * Củng cố: B A - Chứng minh 1 đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. - Chứng minh 3 điểm thẳng hàng. - Tính chất của tiếp tuyến. Bài 17: Tính chất của tiếp tuyến Bài 1: Cho (O; 5cm). M nằm ngoài đường tròn, các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A; B) là 2 tiếp điểm. Biết AMB = 600 a. Chứng minh D AMB là D đều. b. Tính chu vi của D AMB. c. Tia AO cắt đường tròn ở C. Tứ giác BMOC là hình gì? Vì sao? Bài 2: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, N, S a. Chứng minh: AB + AC – BC = 2AM b. Cho AB = 4cm; BC = 7cm; AC = 5cm. Tính độ dài các đoạn AM, BM, CS. Bài 3: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ 2 tiếp tuyến MA; MB sao cho góc AMB = 900. Từ 1 điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MA; MB lần lượt ở P và Q. Biết bán kính của đường tròn bằng 5 cm. a. Tứ giác MAOB là hình gì? Vì sao? b. Tính chu vi của tam giác MPQ. c. Tính góc POQ Bài 4: Cho 1/2 đường tròn (O; R), đường kính AB; 2 tiếp tuyến Ax; By trên cùng 1/2 mặt phẳng bờ là AB. Trên Ax lấy C, qua O kẻ đường thẳng ^ OC cắt By tại D. a. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao? b. Chứng minh đg tròn ngoại tiếp D COD tiếp xúc với đường thẳng AB tại O. c. Chứng minh: CA.CB = R2 Bài 5: Cho D ABC có AB = c; BC = a; CA = b. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp D. S là diện tích tam giác. Chứng minh rằng S = r(a + b + c) : 2 Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 5cm; AC = 7cm; BC = 6cm. Đường tròn O1 . tiếp góc A, tiếp xúc 3 cạnh BC; AB; AC ở D; E; F. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. a. Chứng minh A; O; O1 thẳng hàng. b. Tính độ dài các đoạn AE; AF; BE; CF Bài 7: Cho đường tròn tâm O; đường kính AB. Gọi M là một điểm tuỳ ý trên đường tròn; x, y là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Qua M kẻ MP ^ AB; MQ ^ xy. a. Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao? b. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh OI ^ AM c. Khi M di chuyển trên (O) thì I chuyển động trên đường nào? Vì sao? Bài 8: (61/ SBT): Cho 1/2 đường tròn O có bán kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax; By và nửa đường tròn cùng ẻ 1/2 mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kỳ thuộc 1/2 đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax; By theo thứ tự ở C và D. a. Cm rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB. b. Tìm vị trí của M để hình thang ABCD có chu vi nhỏ nhất. c. Tìm vị trí của C; D để hình thang ABCD có chu vi bằng 14 cm. Biết AB = 4cm. Bài 9: Cho nửa đường tròn O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax; By (Ax; By và nửa đường tròn cùng thuộc 1/2 mặt phẳng bờ là AB. Qua 1 điểm M ẻ 1/2 đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC. H là giao điểm của MN và BC. Chứng minh: a. MN ^ AB b. MN = NH Bài 10: Cho D ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp D ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng SABC = BD. DC Phương pháp: Bài 1: Tứ giỏc BMOC là hỡnh thang Bài 2: AB+ AC –BC = AM+MB+AN+NC –BS-SC Mà SC = CN; BS = BM nờn AB+ AC –BC = AM + AN = 2AM Bài 3: Góc POQ = 900/2 = 450 Bài 4: b. chứng minh đường tròn ngoại tiếp D COD tiếp xúc đường thẳng AB tại O. ú chứng minh OI = ID = IC = 1/2 CD (t.c D vuông) và cm OI ^ AB => cm OI // với Ax và By ú cm OI là đường trung bình của hình thang ABCD 1 c. Chứng minh: CA .CB = R2 = CH. HD (kẻ OH ^ CD) cần cm H ẻ (O) ú cm D CAO = D COH ú cm góc C1 = C2 (cùng bằng góc COI) Bài 5: SABC bằng tổng S các D nhỏ => đpcm Bài 6: 1. O1; O đều là giao của đường phân giác của góc A với các đường phân giác góc B; góc C => O1; O; A thẳng hàng. 2. Tính AE và AF Ta có AE và AF là 2 tiếp tuyến của (C1) => AE = AF; đường tròn tâm O1 tiếp xúc BC; AB; AC => OE = OD = OF và EB = BD CD = CF AE = AB + EB = AB + BD => 2AE = AB + AC + BD => AE = ? AF = AC + FC = AC + DC Từ đó tính BE và CF Bài 7: b. Chứng minh OI ^ AM (đ.l đường kính ^ dây cung tại trung điểm) c. Gọi E là trung điểm của AO. Cm I ẻ (E; OA/2) (t.c D vuông) Bài 8: (Lấy hình bài 4 thay H bằng M) b. Tìm vị trí của M để hình thang ABCD có chu vi là nhỏ nhất. PABCD = AB + AC + CD + DB = CM + MD + CD => PABCD = 2CO + AB mà AB không đổi => P nhỏ nhất ú CD nhỏ nhất mà CD ³ AB => CD nhỏ nhất ú CD = AB ú CD // AB ú OM ^ AB Vậy khi OM ^ AB thì PABCD nhỏ nhất. c. Đặt AC = x; BD = y; => PABCD = AB + 2CD = AB + 2(x + y) = 14 14 = 4 + 2(x + y) => x + y = 5 xy = MC. MD = OM2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông). => x y = 22 = 4 => x = ? x + y = 5 y = ? Vậy C cách A là 1 cm hoặc 4 cm thì PABCD = 14 Bài 9: a. cm MN ^ AB ú cm MN // AC // BD ú cm CM/MD = CN/NB ú cm CA/BD = CN/NB ú cm CA // DB b. Chứng minh MN = NH ú MN/BD = CN/CB = AN/AD = NH/BD ú MN = N Bài 18: Vị trí tương đối của hai đường tròn. B. Bài tập: Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AB. Kẻ các đường kính BOC và BO’D a. Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng. b. Cho OO’ = 5cm; OB = 4cm; O’B = 3 cm. Tính diện tích tam giác BCD. Bài 2: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O1) ở B; cắt đường tròn (O2) ở C. Qua B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn (O1), qua C kẻ tiếp tuyến Cy với đường tròn (O2) Chứng minh: a. O1B // O2C b. Bx // Cy Bài 3: Cho 2 đường tròn (O1); (O2) tiếp xúc ngoài ở M. Qua M vẽ 2 đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt (O1) tại A1; cắt (O2) tại B1, đường thẳng thứ 2 cắt (O1) ở A2; cắt (O2) ở B2 a. D O1A1M đồng dạng D O2B1M b. D MA1A2 đồng dạng D MB1B2 c. A1A2 // B1B2 Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường nối tâm OO’ cắt (O) ở B ; cắt đường tròn (O’) ở C. DE là một tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn D ẻ (O); E ẻ (O’). Gọi M là giao điểm của 2 đường thẳng BD và CE. Chứng minh: a. Góc DME = 900 b. MA là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O) và (O’) c. MD. MB = ME. MC Bài 5: Cho D vuông ABC vuông tại A a. Trình bày cách vẽ đường tròn (O1) đi qua A tiếp xúc BC tại B; đường tròn (O2) đi qua A tiếp xúc BC tại C. b. Chứng minh đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại A. c. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O1); (O2) tại A. Bài 6: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB; AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn D ẻ (O); E ẻ (O’). Gọi M là giao điểm của BD và CE a. Tính góc DAE b. Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? c. Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của 2 đường chéo. => IO/OO’ = 2 => IO = 2OO’ = 12 cm * Củng cố: - Kỹ năng xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn - Kỹ năng chứng minh 1 đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Bài 19: Ôn tập chương đường tròn I. Học sinh: Làm hết bài tập trong SGK và SBT phần ôn tập chương II. II. Bài tập thêm: A. Bài tập trắc nghiệm: Bài 1: Điền vào chỗ () để được phát biểu đúng. a. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông .. b. Nếu 1 tam giác có 1 cạnh . thì tam giác đó là tam giác vuông. c. Trong 1 đường tròn: - Đường kính .. với 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. - Đường kính đi qua . thì vuông góc với dây ấy. d. Nếu một đường thẳng là .. thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. e. Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và . là tiếp tuyến của đường tròn. f. Tâm của đường tròn ngoại tiếp D là g. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là Bài 2: Hãy nối 2 cột để được câu trả lời đúng: a. Tiếp tuyến của đường tròn b. Trong các dây của đường tròn c. Trong một đường tròn 2 dây bằng nhau d. Đường kính vuông góc với 1 dây e. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác f. Tâm đối xứng của đường tròn g. Đường tròn ngoại tiếp của tam giác 1. Đường kính là dây lớn nhất. 2. Thì cách đều tâm 3. là đường thẳng chỉ có 1 điểm chung với đường tròn. 4. thì chia dây ấy bằng 2 phần bằng nhau 5. là tâm của đường tròn 6. là giao của 3 đường phân giác trong D 7. là giao của 3 đường trung trực của D 8. là đg tròn tiếp xúc với 3 cạnh của D 9. là đường tròn đi qua 3 đỉnh của D Bài 3: Chọn câu trả lời đúng: Cho đường tròn tâm (O; 15 cm) và dây AB = 24cm. Khoảng cách từ AB đến O là: A: 12 cm B: 9cm C: 8cm D: 6cm Bài 4: Cho đoạn thẳng OI = 8cm; vẽ các đường tròn (O; 10cm) và (I; 2cm). Hai đường tròn (O) và (I) có vị trí như thế nào với nhau: A: (O) và (I) cắt nhau B: (O) và (I) tiếp xúc C: (O) và (I) tiếp xúc trong D: (O) và (I) đựng nhau Bài 5: Cho (O; 6cm) và đường thẳng a có khoảng cách đến O là d, điều kiện để a là tiếp tuyến của đường tròn (O) là: A: d < 6cm B: d = 6cm C: d ≤ 6 cm D: d ≥ 6cm Bài 6: Bán kính đường tròn ngoại tiếp D đều cạnh 6 cm là: A: cm B: cm C: cm D: cm Bài 7: Hãy nối mỗi ô ở cột trái với 1 ô cột phải để được khẳng định đúng. a. Đường tròn nội tiếp tam giác b. Đường tròn báng tiếp tam giác c. Đường tròn ngoại tiếp tam giác d. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác e. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác f. Tâm đường tròn báng tiếp tam giác trong góc A g. Tâm đường tròn báng tiếp tam giác trong góc B 1. Là đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác. 2. là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác. 3. là đường tròn tiếp xúc 1 cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của 2 cạnh kia. 4. là giao điểm 3 đường trung tuyến trong tam giác. 5. là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác. 6. là giao của 3 đường trung trực trong tam giác. 7. là giao của 2 đường phân giác các góc ngoài tại B và C 8. là giao điểm của đường phân giác góc B và đường phân giác góc ngoài tại C Bài 8: Hình tròn tâm O, bán kính 3 cm là hình gồm toàn thể các điểm cách O cố định 1 khoảng d với: A: d = 3cm B: d < 3 cm C: d ³ 3 cm D: d ≤ 3cm Bài 9: Từ 1 điểm A ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến đến đường tròn (O) AC và AB (B; C là tiếp điểm). Câu nào sau đây sai: A: AB = AC B: góc BAO = CAO C: AO là trung trực BC D: D ABC đều Bài 10: Đường tròn (0; 4cm) nội tiếp tam giác đều. Độ dài cạnh tam giác đều là bao nhiêu? A: cm B: cm C: cm D: cm Bài 11: D ABC nội tiếp (O) biết góc  = 650; góc B = 500. Gọi I; K; L là trung điểm AB; AC; BC. Các cách sắp xếp nào sau đây là đúng? A: OI < OL < OK B: OL < OK < OI C: OK < OI < OL D: cả 3 đều sai B: Bài tập: Bài 1: Cho đường tròn (O; AB/2) và I là điểm nằm giữa A và O. Qua I kẻ dây cung CD rồi kẻ AH, OE; BK ^ CD. Đường thẳng OE cắt BH tại F. Chứng minh: a. F là trung điểm của HB và CH = KD b. c. AI. IK = IH. IB Bài 2: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’) thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ (AB). Một cát tuyến qua A cắt đường tròn (O) ở C, đường tròn (O’) ở D. Kẻ OM ^ CD và O’N ^ CD a. Chứng minh MN = 1/2CD b. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ qua I ^ DC đi qua 1 điểm cố định khi cát tuyến CD kẻ qua A thay đổi. c. Qua A kẻ cát tuyến // với đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) ở P; cắt đường tròn (O’) ở Q. So sánh độ dài các đoạn PQ và CD. Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, 2 tiếp tuyến By và Ax trên cùng 1/2 mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn tâm (O). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax ở C, cắt By ở D. a. D COD là D gì? Vì sao? b. Chứng minh CD = AC + BD c. AM và BM cắt OC và OD theo thứ tự ở E và F. Tứ giác DEMF là hình gì? Vì sao? d. Gọi I là giao điểm 2 đường chéo OM và EF của tứ giác OEMF khi M thay đổi trên nửa đường tròn (O) thì điểm I chuyển động trên đường nào? Vì sao? e. Xác định vị trí của M để tứ giác OEMF là hình vuông. Tính diện tích hình vuông này. Cho biết AB = 6cm Bài 4: Cho nửa đường tròn O; đường kính AB và 1 điểm I nằm giữa A và B. C là 1 điểm trên 1/2 đường tròn (O), đường thẳng kẻ qua C ^ IC cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B lần lượt ở M và N. a. Chứng minh D CAI đồng dạng D CBN b. So sánh D ABC và INC c. Chứng minh góc MIN = 900 Bài 5: Cho D MAB. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AB cắt MA ở C, cắt MB ở D. Kẻ AP ^ CD; BQ ^ CD. Gọi giao của AD với BC là H. Chứng minh: a. CP = DQ b.PD. DQ = PA.BQ và QC. CP = PD. QD c. MH ^ AB Bài 6: Cho đoạn thẳng AB, trên cùng 1/2 mặt phẳng bờ AB vẽ 2 tia Ax và By song song với nhau. Một đường tròn tâm M tiếp xúc AB tại C với Ax ở D; với By ở E a. Trình bày cách dựng đường tròn tâm M b. Chứng minh rằng tổng AD + BE không phụ thuộc vào vị trí Ax ; By c. Chứng minh rằng 3 điểm M, D, E thẳng hàng. d. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng DE với đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB. Bài 7: Cho 3 điểm J; I; J’ cùng nằm trên 1 đường thẳng theo thứ tự đó. Cho biết IJ = 10cm; IJ’ = 4cm. Vẽ đường tròn (O) đường kính IJ và đường tròn (O’) đường kính IJ’ a. Chứng minh đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở I b. Gọi A là một điểm trên đường tròn (O), tia AI cắt đường tròn (O’) ở A’. Chứng minh D AIJ đồng dạng D A’IJ’ c. Qua I kẻ 1 cát tuyến cắt đường tròn (O) ở B (B và A thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ là IJ) cắt đường tròn (O’) ở B’. Chứng minh D IAB đồng dạng D IA’B’ d. Chứng minh: D OAB đồng dạng D CA’B’ e. Tứ giác AA’BB’ là hình gì? Vì sao? Bài 8: Cho đường tròn (O; R), đường kính BC, dây cung AB biết R = 65 cm. AB = 126 cm. a. Tính AC và khoảng cách từ O đến các dây AB và AC b. Trên 1/2 mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C kẻ dây AD, trên nửa mặt phẳng còn lại kẻ dây BE. Cho biết góc BAD = ABE = 450 và DE ^ AB tại P. Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? c. Chứng minh PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = 4R2 Bài 9: Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’). Hai tiếp tuyến chung ngoài MN và PQ (M, P ẻ (O); N, Q ẻ (O’) a. Chứng minh các đường thẳng MN; PQ; OO’ đồng quy b. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang cân c. Xác định vị trí tương đối của (O) và (O’) sao cho đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc với đường thẳng MN. Phương pháp: Bài 1: K D a. Chứng minh FH = FB ú cm OF là đường trung bình D AHB E b. (Chứng minh ) A I O B a. cm CH = KD ú cm EC = ED và EK = EH H F cm EK = EH ú cm EF là đường trung bình D HKB (OE ^ CD => ED = EC => đpcm b. Chứng minh Ta có EF = 1/2BK (t.c đường trung bình) OE + OF = 1/2BK OE + 1/2AH = 1/2BK => đpcm c. Chứng minh: AI. IK = IH. IB ú cm D AHI đồng dạng D BKI (g.g) Bài 2: P H A N a. Chứng minh MN = 1/2CD D b. Chứng minh đường thẳng qua I ^ CD C M I K Q đi qua 1 điểm cố định E O Ta có OM // IE // NO’ E O’ mà IM = IN => EO = EO’ OO’ cố định => OO’ không đổi => E không đổi. B c. cm: So sánh PQ và CD Ta có MN CD < 2OO’ Kẻ OH ^ PQ; O’K ^ QP => HK = 1/2PQ và HK = OO’ => PQ > CD D Bài 3: a. D COD là D gì? (HS tự chứng minh) x y b. cm CD = AC + BD (t.c tiếp tuyến) M c. tứ giác EMFO là hình gì? Vì sao? C D MOA cân => OE là phân giác, là đường cao E I F => góc Ê = M = Ô = 900 => Tứ giác EMFO là hình chữ nhật A H O K B d. I chuyển động trên đường nào? Vì sao? Ta có OI = 1/2OM mà M chuyển động trên (O; OM) => I chuyển động trên đường tròn (O; OM/2) M chuyển động trên 1/2 (O; AB/2) => I chuyển động trên 1/2 (O; HK/2) e. Xác định vị trí của M để tứ giác OEMF là hình vuông, tính diện tích tứ giác này biết AB = 6cm. c1: Muốn hình chữ nhật OEMF là hình vuông => ME = MF => MA/2 = MB/2 => AM = MB hay M là trung điểm cung AB c2: Muốn hình chữ nhật OEMF là hình vuông ú MO là phân giác của EMB ú D AMB cân (vì OM là trung tuyến là phân giác). ú M là giao của (O) và đường trung trực AB Bài 4: a. Chứng minh D CAI đồng dạng D CBN Ta có góc ACB = 900; góc C1 = C3 (cùng phụ C2) Góc Â1 = B2 (cùng phụ B1) => đpcm b. So sánh 2 D ABC và INC Ta có góc ACB = ICN = 900 M D CAI đồng dạng D CBN => CA/CB = CI/CN C => đpcm 3 N c. cm góc MIN = 900 ú cm góc M1 + N1 = 900 1 2 ú cm góc N1 = B1 (D ACB đồng dạng D ICN) cm góc M1 = Â1 (cm D ICM đồng dạng D BCA) A I O B góc B1 + Â1 = 900 => M1 + N1 = 900 => đpcm Bài 5: a. cm CP = PQ Vẽ OI ^ CD , cm IC = ID và IP = IQ => đpcm M b. cm PD.DQ = PA.BQ và CQ.CP = PD. DQ cm: PD. DQ = PA. QB C I D Q ú cm PD/PA = QB/DQ => đpcm (1) P ú cm D vuông PQD đồng dạng D vuông QDB H (góc D = B góc có cạnh tương ứng vuông góc) cm CQ. CP = PD. DQ A O B ú cm CQ/PD = DQ/CP ú cm D QCB đồng dạng D PAC (g.g) => QC/PA = QB/PC => QC.PC = PA.AB (2) Từ (1) và (2) => đpcm c. H là trực tâm D MAB => MH ^ AB Bài 6: x a. Trình bày cách dựng đường tròn (M) Dựng tia phân giác góc yBA và tia phân giác góc xAB D Chúng giao nhau tại M b. cm AD + BE không phụ thuộc vào vị trí Ax và By M c. cm M; D; E thẳng hàng. Chứng minh MD = ME d. Xác định vị trí DE với đường tròn ngoại tiếp D MAB A y cm D AMB vuông tại M. O là trung điểm AB O E => OM là đường trung bình của hình thang ADEB => OM ^ DE => DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; OM) B Bài 7: A B’ a. OO’ = OJ + O’i => đpcm b. cm D AIJ đồng dạng D A’IJ (g.g) c. cm D AIB đồng dạng D A’IB’ J O I O’ J’ ú cm và góc AIB = B’IA’ B A’ ú cm ú cm D AIJ đồng dạng D A’IJ’ và ú cm D BIJ đồng dạng D B’IJ’ d. cm D OAB đồng dạng D O’A’B’ ú cm e. Tứ giác ABA’B’ là hình thang vì AB // A’B’ ú góc ABI = A’B’I’ (cm góc OBA = O’B’A’) (d) góc OBI = IO’B’ cùng bằng góc OIB) Bài 8: a. R = 65cm; AB = 126 cm Tính OK và OH b. Tứ giác ACED là hình gì; DE // CP (cùng ^ AB) (1) góc PAD = PDA = 450 (D APD vuông cân) (2) E góc PBE = PEB = 450 (D EPB vuông cân) (3) => ACED là hình thang cân. c. cm: PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = 4R2 C O B Ta có: PA2 + PD2 = DA2 = CE2 H PB2 + PE2 = EB2 A P K => PA2 + PD2 + PB2 + PE2 = EC2 + EB2 = BC2 = 4R2 Bài 9: M D a. cm: MN; OO’; PQ đồng quy I N MN ∩ PQ = O1 Ta có OO1 là phân giác góc MOP O’O1 là phân giác góc NO’Q O K O’ => O; O’; O1 thẳng hàng => đpcm b. cm tứ giác MNPQ là hình thang cân Ta có OO1 là phân giác, đồng thời là đường cao P Q => MP // NQ; góc NMP = QNO1 => đpcm c. Gọi K là trung điểm của OO’ kẻ OI ^ MN Điều kiện cần và đủ để MN tiếp xúc (K; KO) và hay OO’ = 2KO = MO + O’N = R + R’ ú đường tròn (O) tiếp xúc đường tròn (O’) Vậy điều kiện cần và đủ để đường tròn (K; KO) tiếp xúc MN là đường tròn (O) và đường tròn (O’) tiếp xúc ngoài. * Củng cố: Các kiến thức chính trong chương. \\\ Đề cương Ôn tập học kỳ I a. Đại số: Bài 1: Cho biểu thức: a. Rút gọn A b. Tìm a để A < 1 c. Tìm giá trị của a để A = 19 - 8 Bài 2: Cho biểu thức: B = a. Tìm điều kiện xác định của B b. Rút gọn B c. Tìm a để B < 0 d. Tìm các giá trị của a để B = 1 Bài 3: Cho biểu thức: C = a. Tìm điều kiện xác định của C b. Rút gọn C c. Tính giá trị của C biết x là nghiệm của phương trình d. Tìm x biết Bài 4: Cho biểu thức D = a. Rút gọn D b. Tính giá trị của D khi x = 4 - c. Tìm các giá trị của x để D < 1 d. Tìm x ẻ Z để F ẻ Z Bài 5: Cho biểu thức P = a. Rút gọn P b. Tính giá trị của P biết c. Tìm m để có x thoả mãn P = Bài 6: Cho biểu thức E = a. Tìm điều kiện xác định của E b. Rút gọn E c. Tính giá trị của P nếu d. Biết x + y = 5. Tìm x và y để P = 2/3 Bài 7: Cho P = a. Rút gọn P b. So sánh P với 5 c. Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa. Chứng minh biểu thức 8/P chỉ nhận đúng một giá trị nguyên. Bài 8: Cho biểu thức: P = a. Tìm điều kiện có nghĩa của P b. Rút gọn P c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = Bài 9: Cho biểu thức: D = a. Rút gọn D b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P c. Tìm x để biểu thức nhận giá trị là số nguyên. Bài 10: Cho biểu thức: M = a. Rút gọn M b. Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa c. Chứng minh M > Bài 11a( Đề thi tuyển sinh cấp III năm 2005-2006) Cho biểu thức: Rút gọn P Tìm a để Bài 11b.: Vẽ đồ thị các hàm số sau: y = 2x; y = 2x – 3; y = - 3x; y = -3x – 3 y = 1/2x; y = -1/2x + 1 Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = (a – 1)x + 3 Tìm a để: a. Hàm đồng biến trên R. Hàm nghịch biến trên R b. f(-3) = 5 c. Đồ thị hàm số đi qua M(1; -2) d. Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x e. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x + 10 f. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 2 Bài 13: Cho hàm số y = g(x) = 1/3x + b – 1 Tìm b để a. g(-2) = 1 b. Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 5) c. Đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ. d. Đồ thị cắt đường thẳng y = -3x + 2 tại điểm có hoành độ 3 Bài 14: Cho hàm số y = f(x) = ax + b. Xác định a; b để: a. f(0) = 2 f(1) = -2 b. f(2) = 3 và đồ thị hàm số song song với đường phân giác của góc phần t thứ nhất. c. Đi qua điểm N(0; 1) và cắt đường thẳng x = 2 taị điểm có tung độ là 7 Bài 15: Cho 2 đường thẳng y = - 4x + m – 1 (d1) và y = 4/3x + 15 – 3m (d2) a. Với điều kiện nào của m thì d1 và d2 cắt nhau tại 1 điểm C trên trục tung. Với m vừa tìm đuợc. b. Tìm toạ độ giao điểm A; B của d1; d2 với trục hoành. c. Tìm các góc của D ABC. d. Tìm chu vi và diện tích D ABC Bài 16: Cho hàm số y = (1- 2m)x + m + 1 (1) a. Tìm m để hàm (1) là hàm hằng. b. Tìm m để hàm (1) đồng biến. c. Tìm m để hàm (1) song song với đường thẳng y = 3x + 1 – m (2) d. Tìm m để đường thẳng (1) cắt trục tung tại điểm có tung độ e. Chứng minh đường thẳng (1) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m thuộc R Bài 17: Cho y = (2m + 1)x + n (2) a. Tìm m; n để đường thẳng (2) cắt trục tung tại điểm và cắt trục hoành tại điểm x = 1 b. Tìm m, n để (2) cắt đường thẳng c. Tìm m, n để (2) song song với đường thẳng d. Tìm m, n để (2) trùng với đường thẳng y = 3x + 2 – n Bài 18: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a. y = 2x ; b. y = 1/2 x+3 ; c. -3x+1. d. y =ụ x ụ + 3 e. y = ụx – 1ụ + ụx – 2ụ B. Hình học: Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E và F là chân dường vuông góc kẻ từ H đền AB, AC. Goi I và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE và HCF. xác định các vị trí tương đối của các đường tròn (O) và (I); (K) và (O); (I) và (K). Tứ giác AFEH là hình gì ? Vì sao? Chứng minh AE. AB = EF. AC. Chứng minh EF là tiếp tuyến của hai đường tròn (I) và (K) Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất. Bài 2: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O') Kẻ dây DE của (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AH. Tứ giác ADCE là hình gì vì sao? Gọi K là giao điểm của DB với đường tròn (O') .Chứng minh ba điểm E,C, K thẳng hàng. Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O') Bài 3: Cho hai đường tròn (O,R) và (O',R') tiếp xúc ngoài tại A, (R> R') . Vẽ các đường kinh AOB và AO'C . Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K cảu BC. Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi. Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O') . Chứng minh ba điểm D,A,I thẳng hàng Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O') Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là điểm bất ky thuộc nửa đường tròn. H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC và BD vuông góc với đường tròn (M) ( C và D là các tiếp điểm khác H. Chứng minh ba điểm C,M,D thẳng hàng Chứng minh khi M chuyển động trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC+ BD không đổi. Giả sử CD và AB cắt nhau tại I . Chứng minh tích OH. OI không đổi. Bài 5: Cho 1/2 đường tròn (O; đk AB). Trên tia đối của tia AB lấy P. Vẽ cát tuyến P MN (M nằm giữa P và N). Vẽ AD và BC vuông góc MN, BC cắt nửa đường tròn tại I. Chứng minh răng: a. Tứ giác AICD là hình chữ nhật. b. Chứng minh: DN = CM c. AD. BC = CN. DN d. BC2. CD2 + DA2 – AB2 = 2AD. BC Bài 6: Cho (O; R) và điểm A cố định nằm trên đường tròn đó. Qua A kẻ tiếp tuyến xy. Từ M trên xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O). Hai đường cao AD và BE của D MAB cắt nhau tại H a. Chứng minh 3 điểm: M; H; O thẳng hàng. b. Chứng minh tứ giác AOBH là hình thoi. c. Tìm tập hợp các điểm H khi M chạy trên xy Bài 7: Cho nửa đường tròn (O; đk AB). Từ 1 điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC ^ xy a. Chứng minh rằng: MC = MD b. Chứng minh rằng: AD + BC có giá trị không đổi khi M chuyển động trên 1/2 đường tròn. c. Chứng minh r