Giáo án Đại số 10 Chương IV Bất đẳng thức và bất phương trình Trường THPT Bắc Yên Thành

chương IV: bất đẳng thức và bất phương trình Đ1. bất đẳng thức (2 tiết) 1. Mục tiêu. Sau bài này • Về kiến thức: Học sinh hiểu khái niệm bất đẳng thức và nắm được các tính chất của bất đẳng thức. Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số (AM-GM: Arithmetic means - Geometric means). Biết được một số bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối thông dụng. • Về kỹ năng: Vận dụng được tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản. Biết vận dụng bất đẳng thức AM - GM vào việc chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức đơn giản. Chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản có chứa giá trị tuyệt đối. 2. chuẩn bị của giáo viên và học sinh. Giáo viên: Chuẩn bị các ví dụ về bất đẳng thức mà học sinh đã học ở THCS giúp học sinh dễ nắm các kiến thức trọng tâm. Học sinh: Ôn tập lại các kiến thức về bất đẳng thức đã được học ở THCS. 3. dự kiến phương pháp dạy học. Sử dụng phương pháp vấn đáp gợi mở có phối hợp với phân bậc hoạt động theo các nội dung ghi bảng. 4. tiến trình bài học. Tiết PPCT: 27 - Ngày 14/12/2006 Hoạt động 1 Hướng đích. H1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng a) 3,25 < 4; b) ; c) H2: Chọn dấu thích hợp (=, ) điền vào ô vuông ð để được mệnh đề đúng. a) ; b) ; c) ; d) với số a đã cho. B) Bài mới. Hoạt động 2 I- ôn tập bất đẳng thức. 1. Khái niệm bất đẳng thức. Các mệnh đề dạng “ab” được gọi là bất đẳng thức. Ví dụ 1. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi giá trị của x? a) 2x > 5x; b) 4x > x; c) x-3< x + 1; d); Đáp số: c. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương. • Nếu mệnh đề “a<b ị c<d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a<b và viết: a<b ị c<d. Ví dụ 2. Ta có a < b và b<c ị a<c. Với c tùy ý, ta có a<b ị a+c < b+c. •Nếu bất đẳng thức a<b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết a< b Û c<d. Ví dụ 3. Chứng minh a<b Û a-b < 0. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Chứng minh a < b ị a-b<0? H2: Chứng minh a -b < 0 ị a<b? • Gợi ý trả lời H1: Cộng -b vào 2 vế của bất đẳng thức a<b ta được bất đẳng thức hệ quả a-b<0. • Gợi ý trả lời H2: Cộng b vào 2 vế của bất đẳng thức a-b<0 ta được bất đẳng thức hệ quả a<b. Vậy ta có a<b Û a-b<0. 3. Tính chất của bất đẳng thức. Để chứng minh bất đẳng thức chúng ta có thể vận dụng các tính chất sau: a<b Û a+c < b+c Với c>0 ta có: a<b Û ac<bc Với cbc Với a>0, c>0 ta có: Với n nguyên dương, ta có: Với a>0 ta có: Ví dụ 4. Trong các số sau số nào nhỏ nhất (với x>3) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Phương pháp xác định số nhỏ nhất? H2: So sánh A và D? H3: So sánh B và C? H4: So sánh A và C? • Gợi ý trả lời H1: So sánh theo từng cặp. • Gợi ý trả lời H2: Vì x>3 nên A1 ị A<D. • Gợi ý trả lời H3: C<B • Gợi ý trả lời H4: C<A. Vậy là số bé nhất trong các số đã cho. • Chú ý. Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là các bất đẳng thức. Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt còn các bất đẳng thức dạng ab gọi là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất trên cũng đúng với các bất đẳng thức không ngặt. Ví dụ 5. Chứng minh rằng: . Đẳng thức xảy ra khi nào? Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Phương pháp chứng minh? H2: Thực hiện phép chứng minh? • Gợi ý trả lời H1: Biến đổi về dạng • Gợi ý trả lời H2: Ta có: Bất đẳng thức trên luôn đúng, vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c. Ví dụ 6. Cho hàm số với . Xác định x sao cho f(x) đạt gí trị lớn nhất. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Khai triển f(x) thành đa thức? H2: Biến đổi f(x) thành tổng (hiệu) các bình phương? Từ đó tìm GTNN của f(x)? • Gợi ý trả lời H1: Ta có Ta có: • Gợi ý trả lời H2: f(x) Đẳng thức xảy ra Û x - 1 = 0 Û x = 1. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x = 1 và giá trị lớn nhất đó bằng 16. Hoạt động 3 Hướng dẫn học bài ở nhà: • Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức. • Em đã biết những cách chứng minh bất đẳng thức nào? Bài tập về nhà: 1, 2, 3 - SGK. Rút kinh nghiệm và bổ sung: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Tiết PPCT: 28 - Ngày 14/12/2006 A) Bài cũ. H1: Phát biểu các tính chất của bất đẳng thức? B) Bài mới. Hoạt động 4 II– bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM, Bất đẳng thức cô-si) 1. Bất đẳng thức Cô-si. Định lí. Với mọi a, b ≥0 ta có (1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Chứng minh: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: (1) tương đương với bất đẳng thức nào? H2: Vậy đẳng thức xảy ra khi nào? • Gợi ý trả lời H1: Ta có đúng "a, b ≥0. • Gợi ý trả lời H2: Khi . 2. Các hệ quả. Hệ quả 1. Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có điều gì? H2: Đẳng thức xảy ra khi nào? • Gợi ý trả lời H1: Ta có • Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (Vì a>0) Hệ quả 2. Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Theo bất đẳng thức Cô-si thì xy≤? H2: Đẳng thức xảy ra khi nào? • Gợi ý trả lời H1: Ta có , do đó • Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Hệ quả 3. Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y. ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh: . Khi nào đẳng thức xảy ra? Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si, chứng minh bất đẳng thức? H2: Khi nào đẳng thức xảy ra? • Gợi ý trả lời H1: Vì a>0 và b>0 nên . áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều trên ta có đpcm. • Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta có: Hoạt động 5 III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số thực? H2: Tính giá trị tuyệt đối của các số thực sau: 3,7; 0; • Gợi ý trả lời H1: • Gợi ý trả lời H2: Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất: 1) , "xẻ. 2) Với a>0 ta có: a) b) hoặc . 3) Ví dụ 2. Cho xẻ[-2; 0]. Chứng minh rằng Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: xẻ[-2; 0] ị x+1ẻ? H2: Kết luận về ? • Gợi ý trả lời H1: • Gợi ý trả lời H2: Suy ra Hoạt động 6 Hướng dẫn học bài ở nhà: • Bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức cô-si)? • Các tính chất bất đẳng thức của giá trị tuyệt đối? Bài tập về nhà: 4, 5, 6- SGK Rút kinh nghiệm và bổ sung: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Đ2. bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn (3 tiết) 1. Mục tiêu. Sau bài này • Về kiến thức: Học sinh biết khái niệm bất phương trình, nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình, nghiệm của hệ bất phương trình. Biết khái niệm hai bất phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương các bất phương trình. • Về kỹ năng: Nêu được điều kiện xác định của bất phương trình. Nhận biết được hai bất phương trình tương đương trong các trường hợp đơn giản. Vận dụng được các phép biến đổi tương đương để đưa một bất phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn.. 2. chuẩn bị của giáo viên và học sinh. Giáo viên: Chuẩn bị các ví dụ về bất phương trình mà học sinh đã học ở THCS giúp học sinh dễ nắm các kiến thức trọng tâm. Học sinh: Ôn tập lại các kiến thức về bất phương trình đã được học ở THCS. 3. dự kiến phương pháp dạy học. Sử dụng phương pháp vấn đáp gợi mở có phối hợp với phân bậc hoạt động theo các nội dung ghi bảng. 4. tiến trình bài học. Tiết PPCT: 31 - Ngày 08/01/2007 Hoạt động 1 A) Hướng đích. H1: Lấy một vài thí dụ về bất phương trình? Nghiệm? B) Bài mới. Hoạt động 2 I- khái niệm bất phương trình một ẩn. 1. Bất phương trình một ẩn. Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng: f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực x0 sao cho f(x0)<g(x0) (f(x0)≤g(x0)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. • Chú ý. Bất phương trình (1) cũng có thể được viết: g(x)>f(x) (hoặc g(x) ≥ f(x)). Ví dụ 1. Cho bất phương trình 2x +1 ≤ 5 Trong các số -2; 3; 3,5; p số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phương trình trên? Giải bất phương trình đó và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: -2 có là nghiệm của bất phương trình không? Vì sao? H2: Tương tự, kiểm tra các giá trị còn lại? • Gợi ý trả lời H1: Thay giá trị x =-2 vào bất phương trình ta có: 2.(-2)+1=-3<5. Vậy -2 là một nghiệm của bất phương trình đã cho • Gợi ý trả lời H2: Tương tự, ta có: 3; 3,5; p không phải là nghiệm của bất phương trình. 2. Điều kiện của một bất phương trình. Tương tự như đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1). Ví dụ 2. Tìm điều kiện của các phương trình sau: a) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Phương pháp xác định số nhỏ nhất? H2: So sánh A và D? H3: So sánh B và C? H4: So sánh A và C? • Gợi ý trả lời H1: So sánh theo từng cặp. • Gợi ý trả lời H2: Vì x>3 nên A1 ị A<D. • Gợi ý trả lời H3: C<B • Gợi ý trả lời H4: C<A. Vậy là số bé nhất trong các số đã cho. • Chú ý. Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là các bất đẳng thức. Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt còn các bất đẳng thức dạng ab gọi là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất trên cũng đúng với các bất đẳng thức không ngặt. Ví dụ 5. Chứng minh rằng: . Đẳng thức xảy ra khi nào? Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Phương pháp chứng minh? H2: Thực hiện phép chứng minh? • Gợi ý trả lời H1: Biến đổi về dạng • Gợi ý trả lời H2: Ta có: Bất đẳng thức trên luôn đúng, vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c. Ví dụ 6. Cho hàm số với . Xác định x sao cho f(x) đạt gí trị lớn nhất. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Khai triển f(x) thành đa thức? H2: Biến đổi f(x) thành tổng (hiệu) các bình phương? Từ đó tìm GTNN của f(x)? • Gợi ý trả lời H1: Ta có Ta có: • Gợi ý trả lời H2: f(x) Đẳng thức xảy ra Û x - 1 = 0 Û x = 1. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x = 1 và giá trị lớn nhất đó bằng 16. Hoạt động 3 Hướng dẫn học bài ở nhà: • Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức. • Em đã biết những cách chứng minh bất đẳng thức nào? Bài tập về nhà: 1, 2, 3 - SGK. Rút kinh nghiệm và bổ sung: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Tiết PPCT: 32 - Ngày 08/01/2007 A) Bài cũ. H1: Phát biểu các tính chất của bất đẳng thức? B) Bài mới. Hoạt động 4 II– bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM, Bất đẳng thức cô-si) 1. Bất đẳng thức Cô-si. Định lí. Với mọi a, b ≥0 ta có (1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Chứng minh: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: (1) tương đương với bất đẳng thức nào? H2: Vậy đẳng thức xảy ra khi nào? • Gợi ý trả lời H1: Ta có đúng "a, b ≥0. • Gợi ý trả lời H2: Khi . 2. Các hệ quả. Hệ quả 1. Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có điều gì? H2: Đẳng thức xảy ra khi nào? • Gợi ý trả lời H1: Ta có • Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (Vì a>0) Hệ quả 2. Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Theo bất đẳng thức Cô-si thì xy≤? H2: Đẳng thức xảy ra khi nào? • Gợi ý trả lời H1: Ta có , do đó • Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Hệ quả 3. Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y. ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh: . Khi nào đẳng thức xảy ra? Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si, chứng minh bất đẳng thức? H2: Khi nào đẳng thức xảy ra? • Gợi ý trả lời H1: Vì a>0 và b>0 nên . áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều trên ta có đpcm. • Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta có: Hoạt động 5 III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số thực? H2: Tính giá trị tuyệt đối của các số thực sau: 3,7; 0; • Gợi ý trả lời H1: • Gợi ý trả lời H2: Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất: 1) , "xẻ. 2) Với a>0 ta có: a) b) hoặc . 3) Ví dụ 2. Cho xẻ[-2; 0]. Chứng minh rằng Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: xẻ[-2; 0] ị x+1ẻ? H2: Kết luận về ? • Gợi ý trả lời H1: • Gợi ý trả lời H2: Suy ra Hoạt động 6 Hướng dẫn học bài ở nhà: • Bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức cô-si)? • Các tính chất bất đẳng thức của giá trị tuyệt đối? Bài tập về nhà: 4, 5, 6- SGK Rút kinh nghiệm và bổ sung: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................