Giáo án Đại số 10 nâng cao - Tiết 40 - Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Giáo án Đại số 10 Tiết 40 – Chương trình nâng cao Giáo viên : Mai Trọng Đạt – Trường THPT Hai Bà Trưng Chương 4 . BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài1 . BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A.Mục tiêu : Qua bài học học sinh cần nắm vững : 1. Về kiến thức và kỹ năng : - Định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức - Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức như : biến đổi tương đương , phản chứng , biến đổi hệ quả , sử dụng các bất đẳng thức cơ bản .... Đặc biệt , học sinh vận dụng được các tính chất của bất đẳng thức ( thực chất là các phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả ) , vận dụng được bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối để chứng minh được một số bất đẳng thức 2. Về tư duy : - So sánh , đối chứng , chọn lọc , thay đổi từ các tính chất của đẳng thức để có các tính chất của bất đẳng thức của bất đẳng thức . Phân biệt được đâu là phép biến đổi hệ quả , đâu là phép biến đổi tương đương 3. Về thái độ : Cẩn thận , chính xác , chặt chẻ , biến đổi có cơ sở . Tạo cơ sở cho thực hiện các biến đổi bất phương trình sau này B. Chuẩn bị : - HS cần ôn tập kiến thức về bất đẳng thức đã học ở THCS - GV chuẩn bị bảng phụ tóm tắt phân loại các nhóm tính chất của bất đẳng thức C. Phương pháp : Phương pháp gợi mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển tư duy , đan xen các hoạt động nhóm D. Tiến trình bài học và các hoạt động Hoạt động 1: Giới thiệu tổng quan nội dung chương 4 và tầm quan trọng của chương trong toàn bộ chương trình đại số 10 và chương trình Toán THPT Hoạt động 2 : Định nghĩa bất đẳng thức TG Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh Nội dung - So sánh 2 số thực a và b , có thể xảy ra những khả năng nào ? a > b ( a < b ; a ≥ b ; a ≤ b ) ó ? - Chứng minh một BĐT là khẳng định BĐT thức đó là một mệnh đề đúng - Có 3 khả năng ..... - a > b ó a- b > 0 a < b ó a - b < 0 a ≥ b ó a - b ≥ 0 a ≤ b ó a - b ≤ 0 1.Ôn tập và bổ sung các tính chất của bất đẳng thức - Cho 2 số thực a , b . Các mệnh đề a > b ; a < b ; a ≥ b ; a ≤ b được gọi là những bất đẵng thức Hoạt động 3: Ôn tập và bổ sung các tính chất của bất đẳng thức - Nêu các tính chất của bất đẳng thức đã học. - Gợi ý : + Cho a > b và b >c nhận xét gì về hai số a và c? + Biết a > b với một số c bất kì so sánh a + c với b + c? +Biến đổi tương đương bất đẳng thức a > b + c ? + Cho hai bất đẳng thức cùng chiều a > b và c > d , nhận xét gì về a + c và b + d? + Cho bất đẳng thức a > b và một số thực c 0. Nhận xét gì về ac và bc? Với a>b và b>c thì a > c. *a > ba + c > b + c. Thật vậy a > b a - b > 0 a + c - (b + c) > 0 a + c > b + c. Điều ngược lại cũng đúng. a > b + c a - c > b. a > b và c > d a + c > b + d a > b c > 0 ac > bc. Thật vậy a > b a - b > 0 c( a - b) > 0 ac - bc > 0 ac > bc. Tính chất 1. a > c Tính chất 2. a > b a + c > b + c. Hệ quả a > b + c a - c > b(chuyển vế và đổi dấu) Tính chất 3. a + c > b + d Chứng minh a - b + c - d > 0 a + c > b + d. Chú ý: Không có quy tắc trừ hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều. Tính chất 4. a > b . Chứng minh. * c > 0 : a > b a - b > 0 c( a - b) > 0 ac - bc > 0 ac > bc. Chứng minh tương tự khi c < 0. Giúp hs phát hiện ra t/chất 5: Cho hai bất đẳng thức a > b > 0 và c > d > 0, nhận xét gì về ac và bd? Từ bđt 5 giúp hs thấy được t/chất 6 và 7 Cho a > b > 0 Từ bất đẳng thức ở tính chất 5 ta có điều gì? So sánh và ? Chứng minh? + ac > bc + bc > bd ac > bd. áp dụng tchất 5 ta có: a2 > b2 giả sử , áp dụng t/c 6 ta có a b (vô lý). Vậy . Tính chất 5 ac > bd. Chứng minh. + ac > bc (1) + bc > bd (2) Từ (1) và (2) suy ra ac > bd. Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều. Tính chất 6 a > b ≥ 0 an > bn , n N* Tính chất 7 a > b ≥ 0 Tính chất 8 a > b Hệ quả *Nếu a > 0 và b > 0 thì a > b a2 > b2. *Nếu a 0 và b 0 thì a ba2 b2 Hoạt động 4 : áp dụng các tính chất của bất đẳng thức 1. Không dùng bảng số hoặc máy tính , hãy so sánh hai số : và 3 2. Chứng minh rằng : x2 > 2( x - 1) 3. Chứng minh nếu a, b , c là ba cạnh của một tam giác thì : ( b + c - a)( c + a - b)( a + b - c) ≤ abc 1. Gợi ý: Chứng minh phản chứng hoặc biến đổi tương đương - Vận dụng tính chất 6 1/ Giả sử ≤ 3 ó ......, ó 6 ≤ 4 . Vôlý Vậy > 3 2. Làm rõ phương pháp chứng minh bđt bằng cách biến đổi tương đương và gợi ý hs tiếp tục vận dụng phương pháp đó để giải bài tập 2 - Giải tại chổ và trình bày cách giải bằng lời 2/ x2 > 2( x - 1) ó x2 - 2x + 1 ≥ 0 ó ( x - 1)2 ≥ 0 ( Hiển nhiên ) 3. Gợi ý phương pháp : Hãy xuất phát từ những bất đẵng thức quen thuộc trong tam giác và biến đổi để suy ra đpcm 3/ Ta có các bất đẳng thức hiển nhiên sau a2 ≥ a2 - ( b - c )2 = ( a-b+c) (a+b-c) ≥ 0 b2 ≥ b2 - (c - a )2 = ( b-c+a) (b+c-a) ≥ 0 c2 ≥ c2 - ( a - b )2 = ( c-a+b) (c+a-b) ≥ 0 áp dụng tính chất 5 ta có : a2b2c2 ≥ (b+c-a)2 (c+a-b)2 (a+b-c) 2 Tiếp tục áp dụng tính chất 7 thu được đpcm Hoạt động 5 : Tìm kiếm các bất đẳng thức liên quan giá trị tuyệt đối - Từ định nghĩa GTTĐ , ta có được những bất đẳng thức nào ? - HS suy nghĩ , phát biểu và bổ sung cho nhau 2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối a/ Từ định nghĩa ta có : a IR . Với a > 0 > a ó x a . Với a > 0 -Hãy so sánh GTTĐ của tổng hai số với hiệu và tổng GTTĐ của hai số đó ? Liên hệ với kết quả tương tự ở vectơ ? - HS liên hệ với kết quả tương tự ở vectơ , từ các ví dụ cụ thể để dự đoán và chứng minh b/ Ta có . Thật vậy ó ó ó ab ( Hiển nhiên đúng ) áp dụng BĐT trên cho 2 số a+b và -b ta có : ó Tóm lại : Hoạt động 6: Cũng cố kiến thức - Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến đổi tương đương ? Nêu phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương ? Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến đổi không tương đương ? Cách sử dụng pbđ không tương đương để chứng minh BĐT ?