Giáo án Đại số 10 nâng cao - Tiết 53- 54 - Bài 5: Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Tiết 53- 54 §5 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A . Mục tiêu Kiến thức: Khái niệm bất phương trình và hệ bpt hai ẩn Kỹ năng : Biết cách giải bất phương trình và hệ bpt hai ẩn Thái độ : Tích cực xây dựng bài học , tiếp thu và vận dụng kiến thức sáng tạo Tư duy : Phát triển tư duy logic toán học , suy luận và sáng tạo B . Chuẩn bị : Sách giáo khoa , bài tập C. Tiến trình bài dạy: Oån định lớp : Kiểm tra bài cũ: Học sinh nhắc lại phương trình đường thẳng , gợi ý về dấu biểu thức ax + by + c Dạy bài mới : T Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Lưu bảng Cho vài vd về bpt bậc nhất hai ẩn Như vậy, mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn có thể được biểu diễn bởi một điểm, và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình. Từ định lý ta suy ra : Nếu (x0 ; y0) là 1 nghiệm của bpt ax + by + c > 0 (hay ax + by + c < 0) thì một nửa mặt phẳng chứa điểm M(x0 , y0) chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của bpt 3x + y 0. HD : _Trên mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng 3x + y = 0 _ Chọn một điểm bất kỳ không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M (0 ;1), ta thấy (0 ;1) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. _Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ) không chứa điểm M (0 ; 1). H1 : Xác định miền nghiệm của x+ y > 0. ví dụ về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (I) Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Ví dụ 2 : Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I). HD : Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: (d1) : 3x – y + 3 = 0 (d2) : -2x + 3y - 6 = 0 (d3) : 2x + y + 4 = 0 Thử trực tiếp ta thấy (0 ;0) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa là gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình của hệ (I). Sau khi dùng phương pháp gạch bỏ các miền không thích hợp, miền nghiệm của hệ (I) được biểu diễn bởi miền không bị gạch H2 Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình Vấn đề miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ đến Quy hoạch tuyến tính. Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế. Bài toán: (sgk ) Phân tích bài toán. Nếu sử dụng x tấn nguyên liệu loại I và y tấn nguyên liệu loại II thì theo giả thiết , có thể chiết xuất được (20x + 10y) kg chất A và(0,6x+1,5y) kg chất B .Theo giả thiết , x và y phải thỏa các đk : 0 £ x £ 10 và 0 £ y £ 9 ; 20x +10 y ³ 140 hay 2x + y ³ 14 ; 0,6x +1,5y9 hay 2x+5y50 Tổng số tiền mua nguyên liệu là T(x ; y) = 4x + 3y Bài toán đã cho trở thành : Tìm các số x và y thỏa hệ bpt (II) sao cho T (x ; y) = 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất. Để giải bài toán này, chúng ta lần lượt giải hai bài toán nhỏ sau: Bài toán 1: Xác định tập hợp (S) các điểm có tọa độ (x ; y) thỏa mãn hệ (II). Bài toán 2: Trong tất cả các điểm thuộc (S), tìm điểm (x ; y) sao cho T(x; y) có giá trị nhỏ nhất _Giải bài toán 1 chính là việc xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) mà ta đã lập được H3 Kiểm tra lại miền nghiệm (S) của hệ (II). Miền tứ giác ABCD trên hình vẽ _Để giải bài toán 2 ,ta thừa nhận rằng biểu thức T(x ; y) có giá trị nhỏ nhất và giá trị ấy đạt được tại 1 trong các đỉnh của tứ giác ABCD . Bằng cách tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D rồi so sánh các giá trị tương ứng của T(x ; y), ta được T(5 ; 4) = 32 là giá trị nhỏ nhất Vậy để chi phí nguyên liệu ít nhất , cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II (khi đó chi phí tổng cộng là 32 triệu đồng) Giải : Miền nghiệm được biểu diễn bởi phần không bị gạch Giải : Vẽ đường thẳng x + y = 0 . Đường thẳng này chia mp thành 2 miền như hình vẽ. Xét điểm A(0;1) ta thấy (0;1) là nghiệm của bpt x + y > 0 Vậy nửa mp chứa điểm A là miền nghiệm của bpt x + y > 0 Giải : Làm tương tự ta có kết quả miền không bị gạch có chứa M(0; 3) 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn : a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó Định nghĩa : • Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có một trong các dạng: ax + by + c o , ax + by + c 0, ax + by + c Trong đó a, b và c là các số cho trước sao cho a2 + b2 0; x và y là các ẩn • Mỗi cặp số (x0 ; y0) sao cho ax0+ by0 +c < 0 là một bất đẳng thức đúng gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0. Nghiệm của các bpt còn lại được định nghĩa tương tự b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Định lý : Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi đường thẳng (d) : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy ( không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất bpt ax + by + c > 0, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by + c <0, Để xác định miền nghiệm của bpt ax + by + c < 0 ta làm như sau: _ Vẽ đường thẳng (d) : ax + by + c =0 _ Xét 1 điểm M(x0 ; y0) không nằm trên (d) _ Nếu ax0 + by0 + c < 0 thì nửa mp không kể bờ (d) chứa điểm M là miền nghiệm của bpt ax + by + c < 0 _ Nếu ax0 + by0 + c > 0 thì nửa mp không kể bờ (d) không chứa điểm M là miền nghiệm của bpt ax + by + c < 0 Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax + by + c 0 hoặc ax + by + c 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ. 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn : Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau: - Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại. - Làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Sau khi kết thúc, miền không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 3. Một ví dụ áp dụng vào bài toán kinh tế Bài toán: (sgk ) D . Luyện tập và củng cố : Tìm miền nghiệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn E . Bài tập về nhà: Bài 42,43 /tr132 và luyện tập 45,46,47,48