Giáo án Đại số 10 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN C¸c c«ng thøc c¬ b¶n cÇn nhí 1. Quy t¨c ba ®iÓm: Cho 3 ®iÓm A, B, C bÊt k× ta cã: 2. Quy t¾c h×nh b×nh hµnh: Cho hbh ABCD ta cã: 3. TÝnh chÊt trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng: Cho ®o¹n th¼ng AB trung ®iÓm I, M tuú ý: 4. TÝnh chÊt träng t©m cña tam gi¸c: Cho tam gi¸c ABC träng t©m G ta cã: 5. To¹ ®é cña ®iÓm to¹ ®é cña vect¬: a. To¹ ®é cña ®iÓm: Cho 2 diÓm A(x1; y1) vµ B(x2; y2). Ta cã: Vect¬: §é dµi: §iÓm M lµ trung ®iÓm cña AB : b) cùng phương với a1b2 - a2b1 = 0 b. To¹ ®é cña vect¬: Cho hai vect¬ ta cã: Tæng vµ hiÖu: §é dµi vect¬: TÝch v« h­íng: 1) .= 0 a1b1 + a2b2 = 0 Gãc gi÷a hai vect¬: Do Nªn 6. §Þnh lÝ sin vµ cosin trong tam gi¸c: Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, CA = b, AB = c. §lÝ cosin: §lÝ sin: 7. C«ng thøc trung tuyÕn: 8. C¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c: Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I. PHƯƠNGTRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. PT tổng quát của đường thẳng a) Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng Ax + By + C = 0 (A2+B20) Vectơ pháp tuyến =(A;B),vectơ chỉ phương =(-B;A) b) Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến =(A;B) là: A(x-x0) + B(y-y0)=0 2. PT tham số của đường thẳng: Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương = (a1;a2) có phương trình tham số là: (t ) II.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG: Cho 2 đường thẳng: (D1): A1x + B1y + C1 = 0 (1) (D2): A2x + B2y + C2 = 0 (2) Toạ độ giao điểm của (D1) và (D2), nếu có là nghiệm của hệ (1) và (2) Ta có kết quả sau: - Nếu ¹ thì (D1) cắt (D2) - Nếu = ¹ thì (D1) // (D2) - Nếu = = thì (D1) º (D2) Ghi chú: (D1) (D2) A1A2 + B1B2 = 0 III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG- KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG: 1. Góc giữa hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (D1) và (D2) cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là và Gọi j là góc hợp bởi (D1) và (D2), ta có: Cosj = Ghi chú: j900 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: a) Định lý: Khoảng cách từ 1 điểm M0(x0;y0) đến đường thẳng (D): Ax + By + C = 0 được cho bởi: d(M0,D) = b) Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau (D1): A1x + B1y + C1 = 0 (D2): A2x + B2y + C2 = 0 Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (D1) và (D2) là: = ± Chú ý: a) Đường thẳng song song với : Ax+ By+ C = 0 có phương trình dạng Ax + By + C’ = 0 (C’ ¹ C) b) Đường thẳng vuông góc với : Ax+ By+ C = 0 có phương trình dạng –Bx + Ay + C’ = 0 Vấn đề 3: ĐƯỜNG TRÒN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Phương trình đường tròn 1. Định lý 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính R trong hệ toạ độ Oxy là: (x-a)2 + (y-b)2 = R2 2. Định lý 2: Phương trình x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 với A2+B2-C>0 là phương trình đường tròn tâm I(-A;-B), bán kính R = II. Vị Trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn Cho đường thẳng (D) và đường tròn (C) có tâm I và bán kính R Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng (D) Nếu d > R thì (D) và (C) không có điểm chung Nếu d = R thì (D) và (C) có một điểm chung duy nhất. Khi đó (D) gọi là tiếp tuyến của đường tròn (C) và điểm chung gọi là tiếp điểm. Nếu d < R thì (D) và (C) có hai điểm chung III/TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn: chó ý:§­êng th¼ng tiÕp xóc víi ®­êng trßn khi vµ chØ khi kho¶ng c¸ch tõ t©m ®­êng trßn ®Õn ®­êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh cña ®­êng trßn . a/ §­êng th¼ng ®i qua ®iÓm ,vµ VTPT th× cã PT : ; b/§­êng th¼ng ®i song song víi ® t th× cã PT: ; (M ch­a biÕt) c//§­êng th¼ng ®i vu«ng gãc víi ® t th× cã PT: ; (D ch­a biÕt) *Trong c¸c tr­êng hîp a,b,c. §­êng th¼ng ®i lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t©m I(a,b) b¸n kÝnh R tõ ®iÒu kiÖn nµy gi¶i PT 2 Èn A,B vµ chän A,BhoÆc t×m ®­îc M hay D . ta ®­îc PT tiÕp tuyÕn. d/§­êng th¼ng ®i qua ®iÓm , n»m trªn ® trßn th× vÐc t¬ lµ VTPT cña tiÕp tuyÕn Vấn đề 4: ELIP VÀ HYPEBOL A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: ELIP HYPEBOL 1) Định nghĩa: (E) = F1F2 = 2c, a > c 2) Phương trình chính tắc: = 1 với b2 = a2 – c2 3) Hình dạng và các yếu tố: Cho elip (E): = 1 a) Hình dạng: b) Các yếu tố: A1A2 = 2a: trục lớn B1B2 = 2b : trục nhỏ Cácđỉnh:A1(-a;0),A2(a;0), B1(0;-b),B2(0;b) Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0) Tiêu cự: F1F2 = 2c Bán kính qua tiêu của điểm M : Tâm sai: e = Phương trình đường chuẩn: (D1): x = - ; (D2): x = III. Hình dạng và các yếu tố: Cho Parabol (P): y2 = 2px 1) Hình dạng: 2) Các yếu tố: O(0;0) là đỉnh của parabol Ox là trục đối xứng của parabol Bán kính qua tiêu của điểm M Î (P): MF = + xM 1) Định nghĩa: (H) = F1F2 = 2c, c > a 2) Phương trình chính tắc: = 1 với b2 = c2 – a2 3) Hình dạng và các yếu tố Cho Hypebol (H): = 1 a) Hình dạng: b) Các yếu tố A1A2 = 2a: trục thực B1B2 = 2b : trục ảo Các đỉnh:A1(-a;0), A2(a;0) Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0) Tiêu cự: F1F2 = 2c Bán kính qua tiêu của điểm M + Tâm sai: e = Phương trình đường chuẩn: (D1): x = - ; (D2): x = Phương trình tiệm cận: (d1): y = -; (d2): y = BµI TËP Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 3 điểm: A(-2;1), B(-1;-2), C(3;-1) a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của ABC c) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Chứng tỏ rằng 3 điểm B, G, D thẳng hàng Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0) a) Tính chu vi và diện tích ABC b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với trục hoành và của đường thẳng AC với trục tung. c) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp ABC . Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với m 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. (TS 2004-K.D) §S:m= Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;1), B(4;-3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x -2y -1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. (TS 2004-K.B) Bài 5 Cho đường tròn (C) có phương trình x2 +y2 – 4x –2y – 4 = 0 a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C) b) Với giá trị nào của b thì đường thẳng (D): y = x + b có điểm chung với(C). c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 3x – 4y +1 =0 Bài 6 Cho 3 điểm A(-1;0), B(5;0), C(2;1) a) Tìm phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B, C. b) Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A c) Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm D(3;-11) Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. (TS 2007- K.A). §S:H(1;1) ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương trình đường thẳng Bài 1. Cho và hai đường thẳng (d1): , (d2): . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, cắt (d1) ở A, cắt (d2) ở B sao cho MA = MB. HD:tương tụ bài 12 sbt h×nh tr101 Bài 2. Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng (d): và có khoảng cách đến (d) bằng 1. Bài 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và cách đều hai điểm và . HD:tương tụ bài 34a sbt h×nh Bài 4. Cho ba điểm , , . Viết phương trình đường thẳng (d) chứa đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC. Tìm điểm P trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác ABPC là hình thang. HD:PT AB:3x-y+15=0;AC:x-3y-3=0 ;BC: x+13y-35=0 :P(2;5) Bài 5. Tam giác ABC có , phương trình các đường phân giác trong kẻ từ B và C lần lượt là (d1): , (d2): . Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. HD:tương tụ bài 39 sbt h×nh Bài 6. Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là: , đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là (d1): , (d2): . Lập phương trình các cạnh của tam giác. HD:A(5;4) ,B(2;7) tõ ®ã viÕt pt c¸c c¹nh Bài 7. Phương trình hai cạnh của một tam giác là ,. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm trùng với .HD A(0;3) Bài 8. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu và hai đường cao có phương trình , .Bài 9. Tìm tọa độ trực tâm của tam giác biết tọa độ các đỉnh là , , .HD :dïnh tÝch v« h­íng hoÆc giao cña 2 ®­êng cao Bài 10. Tam giác ABC có diện tích , hai đỉnh là , , trọng tâm G nằm trên đường thẳng (1). Tìm tọa độ đỉnh C .§S: Bài 11. Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết và hai đường trung tuyến là và . (§Ò A,B2005) Bài 12. Tam giác ABC có trọng tâm , cạnh AB nằm trên đường thẳng , cạnh AC nằm trên đường thẳng . Tìm tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC. Tìm tọa độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC. Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, . Biết là trung điểm cạnh BC và là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. §S:A(0;2);B(4;0) ;C(-2;-2) Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm , , là trung điểm các cạnh của một tam giác. Lập phương trình của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó. Bài 16 Tam giác có đỉnh , đường trung trực của cạnh AB là và trọng tâm . Tìm tọa độ các đỉnh B, C. Bài 17Lập phương trình các cạnh của tam giác MNP biết , đường cao hạ từ M là , đường phân giác trong từ đỉnh P là . Bài 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): và (d2): . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc (d1), đỉnh C thuộc (d2) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.(K A-2005) §S:A(1;1), B(2;0) ,C(1;-1) ,D(0;0) ĐƯỜNG TRÒN Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn(C): và đường thẳng (d): . Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua (d). 2.Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’). HD:§iÓm H(2;1) lµ trung ®iÓm cña ®o¹n II’, I’(3;0) lµ t©m ®tr (c’). Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ cho và . Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và có khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5.Bµi 3:HD IB=5;d(I;ox)=IA. §sè to¹ ®é t©m cña 2 ®.tr lµ:(2;1)vµ (2;-7) Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): , và hai điểm ; . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d) và đi qua hai điểm A,B.Bµi 4:HD.T©m I(a;b)thuéc ®t d vµ IA=IB Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d): và đường tròn (C): . Tìm M trên đường thẳng (d) sao cho qua M vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho . Bµi 4.HD:To¹ ®é M thuéc d vµ IM=2R.§s«:M(3;4) vµ M(-3;-2) Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn (C): và đường thẳng (d): . Tìm tọa độ điểm M nằm trên (d) sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), và tiếp xúc ngoài với (C).HD:Mthuéc d vµ IM=3. Bài 6 Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm và cắt đường tròn (C): tại E và F sao cho A là trung điểm đoạn EF. HD:IA vu«ng gãc víi EF Bài 7. Lập phương trình đường thẳng D đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn (C): thành một dây cung có độ dài bằng 8. Bµi 7:H.Dd(I;AB)=3 tõ ®ã suy ra to¹ ®é vÐc t¬ PT (a,b) . Bài 8. Tìm m để đường thẳng (d): cắt đường tròn (C): (có tâm I) tại . Tìm m để diện tích tam giác IAB lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. BÀI TẬP E LIP, HY PE BOL ,PA RABOL: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy: Bài 1: Cho elip (E): 16x2 + 25y2 = 100 a) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai và tìm phương trình các đường chuẩn của (E). b) Tìm tung độ các điểm thuộc (E) có hoành độ x = 2 và tính khoảng cách từ điểm đó tới 2 tiêu điểm. Bài 2: a) Viết phương trình chính tắc của elip (E) nhận một tiêu điểm là F2 (5;0) và có độ dài trục nhỏ 2b = Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm thứ hai F1 và tính tâm sai của (E) b) Tìm toạ độ điểm M Î (E) sao cho MF2 = 2MF1 Bài 3: a) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10, phương trình một đường chuẩn là b) Một đường thẳng đi qua một tiêu điểm của (E), vuông góc với trục Ox, cắt (E) tại M và N. Tính độ dài đoạn thẳng MN. Bài 4: Cho hypebol (H): 24x2 - 25y2 = 600 a) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai và tìm phương trình các đường chuẩn của (H) b) Tìm tung độ của điểm thuộc (H) có hoành độ x = 10 và tính khoảng cách từ điểm đó tới 2 tiêu điểm. Bài 5: a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai e = và (H) đi qua điểm A (; 6) b) Tìm phương trình các đường tiệm cận của (H). Vẽ (H) c) Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ một điểm M tuỳ ý thuộc (H) đến 2 đường tiệm cận của (H) là một số không đổi. Bài 6: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm F2(;0) và phương trình một đường tiệm cận là y = 2x. Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E): có hai tiêu điểm F , F. Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF + BF = 8. Hãy tính AF + BF. (TN THPT 2004) Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hypebol (H) có phương trình Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và viết phương trình các đường tiệm cận của (H). . (TN THPT 2006) Bài 9: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc là y2 = 12x a) Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P) b) Một điểm nằm trên (P) có hoành độ x = 2. Hãy tính khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm. c) Qua điểm I (2;0) vẽ một đường thẳng thay đổi cắt (P) tại 2 điểm A và B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B tới trục Ox là một hằng số. Bài 10: Cho parabol (P): y2 = 8x a) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P) b) Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x1, x2 Chứng minh: AB = x1 + x2 + 4 (TN THPT 2005)