Giáo án Đại số 10 Tính tổng các dãy số

Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG phần số học, đại số Ngày soạn : 08/09/11 Ngày dạy : 13/09/11 Chủ đề 3 Tính tổng các dãy số Buổi 1 tổng với các số hạng là số nguyên, lũy thừa, số thập phân, phân số A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Học sinh biết cách tính tổng các dãy số với các số hạng là số nguyên; lũy thừa; số thập phân; phân số có thể cách đều hoặc không cách đều.  Kĩ năng - Rèn kĩ năng tính toán, biến đổi, t− duy khoa học  Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động trong học tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức – sĩ số II. Kiểm tra bài cũ III. Bài mới (165 phút) Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều I – Lí thuyết chung: - Số chẵn là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 - Số lẻ là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 - Hai số chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp thì hơn kém nhau 2 đơn vị - Cho dy số cách đều u1, u2, u3, ... , un (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dy là d, khi đó số các số hạng của dy (*) là: ( )1 : 1= − +nn u u d (1) Tổng các số hạng của dy (*) là : 1( ) 2 n n n u uS += (2) Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính đ−ợc số hạng thứ n của dy (*) là: un = u1 + (n - 1)d Suy ra: + Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b có b – a + 1 phần tử + Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có (b - a) :2 + 1 phần tử + Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số chẵn n có (n - m) : 2 + 1 phần tử II – Bài tập: Bài 1: Hãy tính tổng S các số tự nhiên từ 1 đến 100 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu H−ớng dẫn: Cách 1: Ta thấy tổng S có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101 nh− sau: S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = 101 + 101 + ... + 101 = 50.101 = 5050. Cách 2: S = 1 + 2 + ... + 99 + 100 S = 100 + 99 + ... + 2 + 1 2S = 101 + 101 + ... + 101 + 101 (có 100 số hạng 101) => S = 101.100 : 2 = 5050 Bài 2: Tính A = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 H−ớng dẫn: Cách 1: A = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó A = 1 + 4949 = 4950 Cách 2: A = 1 + 2 + ... + 98 + 99 A = 99 + 98 + ... + 2 + 1 2A = 100 + 100 + ... + 100 + 100 (có 99 số hạng 100) => A = 100.99 : 2 = 4950 Bài 3: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999 H−ớng dẫn: Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ, áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250000 (tổng trên có 250 cặp số) Cách 2: C = 1 + 3 + ... + 997 + 999 C = 999 + 997 + ... + 3 + 1 2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000 (có 500 số hạng 1000) => C = 1000.500 : 2 = 250000 Bài 4: Tính D = 1 + 2 + 3 + . . . + n H−ớng dẫn: Làm theo cách thứ hai của các bài tập trên đ−ợc kết quả: n(n 1) D 2 + = Bài 5: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ... + 98,99 + 99,10 H−ớng dẫn: Nhân cả hai vế với 100 ta có: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG phần số học, đại số 100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899) + 9910 (1011 9899).89 9910 2 + = + = 485495 + 9910 = 495405 ⇒ E = 4954,05 (ghi chú: Vì số các số hạng của dy là (9899 1011) 1 89 101 − + = ) Bài 6: Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp. H−ớng dẫn: Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = ( 4006) .2004 ( 2003).2004 2 a a a + +  = +   . Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028⇔ a = 2004. Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010 Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách đều Bài 1: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) H−ớng dẫn: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + . . . + n(n + 1)[(n + 2) - (n - 1)] = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ A = ( 1)( 2) 3 n n n+ + Bài 2: Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1) H−ớng dẫn: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.(4 - 0) + 2.3.4 (5 - 1) + . . . + (n - 1)n(n + 1). ( ) ( )n 2 n 2 + − −  = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - (n - 2)(n - 1)n(n + 1) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) ⇒ B = ( 1) ( 1)( 2) 4 n n n n− + + Bài 3: Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + . . . + n(n + 3) H−ớng dẫn: Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) = 1.(1 + 1 + 2) = 1.(1 + 1)+ 2.1 2.5 = 2.(2 + 3) = 2.(2 + 1 + 2) = 2.(2 + 1)+ 2.2 3.6 = 3.(3 + 3) = 3.(3 + 1 + 2) = 3.(3 + 1)+ 2.3 4.7 = 4.(4 + 3) = 4.(4 + 1 + 2) = 4.(4 + 1)+ 2.4 . . . . . . . . . . . n(n + 3) = n(n + 1) + 2n Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + . . . + n(n + 1) + 2n = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + . . . + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + . . . + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + . . . + 2n) mà 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) = ( 1)( 2) 3 n n n+ + (kết quả bài tập 1) Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu và 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = (2n 2)n 2 + ⇒C = ( 1)( 2) (2 2) 3 2 + + + + n n n n n = ( 1)( 5) 3 n n n+ + Bài 4: Tính D = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 H−ớng dẫn: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + . . . + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + . . . + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + . . . + n2 ) + (1 + 2 + 3 + . . . + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có: A = ( 1)( 2) 3 n n n+ + và 1 + 2 + 3 + . . . + n = ( 1) 2 n n + ⇒ D = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = ( 1)( 2) 3 n n n+ + - ( 1) 2 n n + = ( 1)(2 1) 6 n n n+ + Bài 5: Tính A = 13 + 23 + 33 + . . . + n3 H−ớng dẫn: Cách 1: B = 1.2.3 + 2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + . . . + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + . . . + (n3 - n) = (23 + 33 + . . . + n3) - (2 + 3 + . . . + n) = (13 + 23 + 33 + . . . + n3) - (1 + 2 + 3 + . . . + n) = (13 + 23 + 33 + . . . + n3) - ( 1) 2 n n + ⇒ 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = B + ( 1) 2 n n + Mà ta đ biết B = ( 1) ( 1)( 2) 4 n n n n− + + ⇒ A = 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = ( 1) ( 1)( 2) 4 n n n n− + + + ( 1) 2 n n + = 2( 1) 2 n n +     Cách 2: Ph−ơng pháp quy nạp toán học *) Kiến thức : Để chứng minh một đẳng thức hoặc một bất đẳng thức đúng với n ≥ n0 bằng ph−ơng pháp quy nạp toán học, ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0 + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k ≥ n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 + Kết luận bất đẳng thức đúng với n ≥ n0 Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = (1 + 2 + 3 + + n)2 = 2( 1) 2 n n +     (Với *n N∈ ) Ta có: A1 = 1 3 = 12 A2 = 1 3 + 23 = 9 = (1 + 2)2 A3 = 1 3 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3)2 Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là ta luôn có: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG phần số học, đại số Ak = 1 3 + 23 + 33 + . . . + k3 = (1 + 2 + 3 + . . . + k)2 (1) Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là: Ak+1 = 1 3 + 23 + 33 + . . . + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 + . . . + (k + 1)]2 (2) Thật vậy, ta đ biết: 1 + 2 + 3 + . . . + k = ( 1) 2 k k + ⇒ Ak = [ ( 1) 2 k k + ]2 (1') Cộng vào hai vế của (1') với (k + 1)3 ta có: Ak + (k + 1) 3 = [ ( 1) 2 k k + ]2 + (k + 1)3 ⇔ Ak+1 = [ ( 1) 2 k k + ]2 + (k + 1)3 = 2( 1)( 2) 2 k k+ +     Do đó: Ak+1 = 1 3 + 23 + 33 + . . . + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 + . . . + (k + 1)]2 = = 2( 1)( 2) 2 k k+ +     => đẳng thức đúng với n = k + 1. Vậy khi đó ta có: A = 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = (1 + 2 + 3 + . . . + n)2 = 2( 1) 2 n n +     Bài 6: Bài 6 (trang 23/SGK toán 7- tập 1) Biết rằng 12 + 22 + 32 + . . . + 102 = 385, đố em tính nhanh đ−ợc tổng S = 22 + 42 + 62 + . . . + 202 H−ớng dẫn: Ta có: S = 22 + 42 + 62 + . . . + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + . . . + (2.10)2 = 12.22 + 22.22 + 22.32 + . . .+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + .. . + 102) = 4. (12 + 22 + 32 + . . . + 102) = 4.385 = 1540. Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + . . . + 102 thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu cho S thì ta sẽ tính đ−ợc P và ng−ợc lại. Tổng quát hóa ta có: P = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = ( 1)(2 1) 6 n n n+ + (theo kết quả bài tập 4 ở trên) Khi đó S = 22 + 42 + 62 + . . . + (2n)2 đ−ợc tính t−ơng tự nh− bài trên, ta có: S = (2.1)2 + (2.2)2 + . . . + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + . . . + n2) = = 4 ( 1)(2 1) 6 n n n+ + = 2 ( 1)(2 1) 3 n n n+ + Còn: P = 13 + 23 + 33 + .. . + n3 = 2( 1) 2 n n +     . (theo kết quả bài tập 5 ở trên) Ta tính S = 23 + 43 + 63 + . . .+ (2n)3 nh− sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + . . . + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + .. . + n3) => S = 8P. Vậy ta có: S = 23 + 43 + 63 + . . .+ (2n)3 = 2 2 2 2 2( 1) 8. ( 1)8 2 ( 1) 2 4 n n n n n n + +  ⋅ = = +   Bài 7: a) Tính A = 12 + 32 + 52 + . . . + (2n -1)2 b) Tính B = 13 + 33 + 53 + . . . + (2n-1)3 H−ớng dẫn: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu a) Theo kết quả bài 4 ở trên, ta có: 12 + 22 + 32 + . . . + (2n)2 = 2 (2 1)(4 1) (2 1)(4 1) 6 3 n n n n n n+ + + + = Mà ta thấy: 12 + 32 + 52 + ... + (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 + . . . + (2n - 1)2 + (2n)2 - [22 + 42 + 62 + . . . + (2n)2] = (2 1)(4 1) 3 n n n+ + - 2 ( 1)(2 1) 3 n n n+ + = 2(4 1) 3 −n n b) Ta có: 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + . . . + (2n)3- [23 + 43 + 63 + . . . + (2n)3] áp dụng kết quả bài tập 5 ở trên ta có: 13 + 23 + 33 + . . . + (2n)3 = n2(2n + 1)2. Vậy: B = 13 + 33 + 53 + . . . + (2n-1)3 = n 2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = 2n4 - n2 Bài 8: Tính S1 = 1 + 2 + 2 2 + 23 + . . . + 263 H−ớng dẫn: Cách 1: Ta thấy: S1 = 1 + 2 + 2 2 + 23 + . . . + 263 (1) ⇒ 2S1 = 2 + 2 2 + 23 + . . . + 263 + 264 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 2S1 - S1 = 2 + 2 2 + 23 + . . . + 263 + 264 - (1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 263) = 264 - 1. Hay S1 = 2 64 - 1 Cách 2: Ta có: S1 = 1 + 2 + 2 2 + 23 + . . . + 263 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 262) = 1 + 2(S1 - 2 63) = 1 + 2S1 - 2 64 ⇒ S1 = 2 64 - 1 Bài 9: Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 32 + 33 + . . . + 32000 (1) H−ớng dẫn: Cách 1: áp dụng cách làm của bài tập trên Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 + .. . + 32001 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta đ−ợc: 3S - S = (3 + 32 + 33 + . . . + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + . . . + 32000) Hay: 2S = 32001 - 1 ⇒ S = 20013 1 2 − Cách 2: T−ơng tự nh− cách 2 của bài trên: Ta có: S = 1 + 3(1 +3 + 32 + 33 + . . . + 31999) = 1 + 3(S - 32000) = 1 + 3S - 32001 ⇒ 2S = 32001 - 1 ⇒ S = 20013 1 2 − *) Tổng quát hoá ta có: Sn = 1 + q + q 2 + q3 + . . . + qn (1) Khi đó ta có: Cách 1: qSn = q + q 2 + q3 + . . . + qn+1 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: (q - 1)S = qn+1 - 1 ⇒ S = 1 1 1 nq q + − − Cách 2: Sn = 1 + q(1 + q + q 2 + q3 + . . . + qn-1) = 1 + q(Sn - q n) = 1 + qSn - q n+1 ⇒ qSn - Sn = q n+1 - 1 hay: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG phần số học, đại số Sn(q - 1) = q n+1 – 1 ⇒ S = 1 1 1 nq q + − − Bài 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 29; B = 5.28. Hy so sánh A và B H−ớng dẫn: Ta có: A = 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 29 (1) 2A = 2 + 22 + 23 + . . . + 29 + 210 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 29 + 210) - (1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 29) = 210 - 1 hay A = 210 - 1 Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vậy B > A Bài 11: Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.62 + 4.63 + . . . + 100.699 (1) H−ớng dẫn: Ta có: 6S = 6 + 2.62 + 3.63 + + 99.699 + 100.6100 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta đ−ợc: 5S = 6 - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + . . . + (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 + . . . + 699) (*) Đặt S' = 6 + 62 + 63 + . . . + 699 ⇒ 6S' = 62 + 63 + . . . + 699 + 6100 ⇒ ⇒ S' = 1006 6 5 − thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - 1 - 1006 6 5 − = 100499.6 1 5 + ⇒ S = 100499.6 1 25 + tổng với các số hạng là phân số 1. Lí thuyết chung: Nếu số hạng có dạng ( )+ m b b m thì ta phân tích thành hiệu nh− sau: 1 1 ( ) m b b m b b m = − + + (hiệu hai thừa số ở mẫu luôn bằng giá trị ở tử thì phân số đó luôn viết đ−ợc d−ới dạng hiệu của hai phân số khác với các mẫu t−ơng ứng). Nên ta có một tổng với các đặc điểm: Các số hạng liên tiếp luôn đối nhau (số trừ của nhóm tr−ớc bằng số bị trừ của nhóm sau liên tiếp), cứ nh− vậy các số hạng trong tổng đều đ−ợc khử liên tiếp, đến khi trong tổng chỉ còn số hạng đầu và số hạng cuối, lúc đó ta thực hiện phép tính sẽ đơn giản hơn. 2. Bài tập: Bài 1. Tính giá trị của biểu thức A = 1 1 1 1... 1.2 2.3 3.4 ( 1).n n+ + + + − Lời giải Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Ta có: A = 1 1 1 1 1 1... 1 2 2 3 1n n       − + − + + −      −      A = 1 11 n n n − − = Bài 2. Tính giá trị của biểu thức B = 4 4 4 4... 3.7 7.11 11.15 95.99 + + + + H−ớng dẫn: Ta có: 7 - 3 = 4 (đúng bằng tử) nên ta có: B = 1 1 1 1 1 1 1 1... 3 7 7 11 11 15 95 99   − + − + − + + −    = 1 1 32 3 99 99 − = Bài 3. Tính giá trị của biểu thức C = 2 2 2 27 7 7 7 ... 2.9 9.16 16.23 65.72 + + + + H−ớng dẫn: Ta thấy: 9 - 2 = 7 ≠ 72 ở tử nên ta không thể áp dụng cách làm của các bài trên (ở tử đều chứa 72), nếu giữ nguyên các phân số đó thì ta không thể tách đ−ợc thành hiệu các phân số khác để rút gọn tổng trên đ−ợc. Mặt khác ta thấy: 7 1 1 2.9 2 9 = − , vì vậy để giải quyết đ−ợc vấn đề ta phải đặt 7 làm thừa số chung ra ngoài dấu ngoặc, khi đó thực hiện bên trong ngoặc sẽ đơn giản. Vậy ta có thể biến đổi: C = 7 7 7 77. ... 2.9 9.16 16.23 65.72   + + + +    = 1 1 1 1 1 1 1 17. ... 2 9 9 16 16 23 65 72   − + − + − + + −    = 1 1 35 297. 7. 3 2 72 72 72   − = =    Bài 4. Tính giá trị của biểu thức D = 3 3 3 3... 1.3 3.5 5.7 49.51 + + + + H−ớng dẫn: Ta lại thấy: 3 - 1 = 2 ≠ 3 ở tử của mỗi phân số trong tổng nên bằng cách nào đó ta đ−a 3 ra ngoài và đ−a 2 vào trong thay thế. Ta có: D = 2 3 3 3 3... 2 1.3 3.5 5.7 49.51   + + + +    = 3 2 2 2 2... 2 1.3 3.5 5.7 49.51   + + + +    = 3 1 1 1 1 1 1 1 1... 2 1 3 3 5 5 7 49 51   − + − + − + + −    = 3 1 1 3 50 25 2 1 51 2 51 17   − = ⋅ =    Bài 5. Tính giá trị của biểu thức E = 1 1 1 1 1 1 7 91 247 475 775 1147 + + + + + H−ớng dẫn: Ta thấy: 7 = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25; 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37 T−ơng tự bài tập trên ta có: E = 1 6 6 6 6 6 6 6 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37   + + + + +    = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 7 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37   − + − + − + − + − + −    = 1 1 1 36 61 6 37 6 37 37   ⋅ − = ⋅ =    Bài 6. So sánh: A = 2 2 2 2... 60.63 63.66 117.120 2003 + + + + và B = 5 5 5 5... 40.44 44.48 76.80 2003 + + + + Lời giải Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG phần số học, đại số A = 2 3 3 3 2... 3 60.63 63.66 117.120 2003   + + + +    = 2 1 1 1 1 1 1 2... 3 60 63 63 66 117 200 2003   − + − + + − +    = 2 1 1 2 2 1 2 3 60 120 2003 3 120 2003   − + = ⋅ +    = 1 2 180 2003 + T−ơng tự cách làm trên ta có: B = 5 1 1 5 5 1 5 1 5 4 40 80 2003 4 80 2003 64 2003   − + = ⋅ + = +    Ta lại có: 2A = 1 2 2 4 1 42 180 2003 180 2003 90 2003   + = + = +    Từ đây ta thấy ngay B > 2A thì hiển nhiên B > A IV. H−ớng dẫn về nhà (5 phút) - Xem lại các bài tập đã chữa - Giải tiếp các bài tập sau: Bài 1. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998 Kết quả: D = 249480 Bài 2. Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + . . + (n - 2)(n - 1)n(n + 1) Kết quả: A = 2 2n(n 1)(n 4) 5 − − Bài 3. Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + .. . + n(n + 1)(n + 3) H−ớng dẫn: Phân tích B 1.2(3 1) 2.3(4 1) ... n(n 1)(n 2 1) 1.2.3 2.3.4 ... n(n 1)(n 2) 1.2 2.3 3.4 ... n(n 1) = + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + Kết quả: B = n(n 1)(n 2)(3n 13) 12 + + + Bài 4. E = 7 + 74 + 77 + 710 + . . . + 73001 Kết quả: E = 30037 342 Bài 5. F = 8 + 83 + 85 + . . . + 8801 Kết quả: F = 8028 63 Bài 6. Tính: A = 1 1 1 1... 5.6 6.7 7.8 24.25 + + + + Kết quả: A = 4 25 Bài 7. Tính: B = 2 2 2 25 5 5 5 ... 1.6 6.11 11.16 26.31 + + + + Kết quả: B = 150 31 D/Bổ sung Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu ******************************* Ngày soạn : 19/09/11 Ngày dạy : 23/09/11 Chủ đề 3 Tính tổng các dãy số Buổi 2 luyện tập A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Tiếp tục áp dụng cách tính tổng để giải các bài toán chứng minh, tính giá trị biểu thức, so sánh hai biểu thức, . . . , giải đề thi  Kĩ năng - Rèn kĩ năng tính toán, biến đổi, t− duy khoa học  Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động trong học tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức – sĩ số II. Kiểm tra bài cũ (15 phút) - HS1: Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học tr−ớc - HS2: Giải bài tập 3 đã cho ở buổi học tr−ớc - HS3: Giải bài tập 7 đã cho ở buổi học tr−ớc III. Bài mới (164 phút) Bài 1. So sánh hai biểu thức A và B: A = 1 1 1 1124 ... 1.1985 2.1986 3.1987 16.2000   + + + +    B = 1 1 1 1... 1.17 2.18 3.19 1984.2000 + + + + Lời giải Ta có: A = 124 1 1 1 1 1 1 1. 1 ... 1984 1985 2 1986 3 1987 16 2000   − + − + − + + −    Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG phần số học, đại số = 1 1 1 1 1 1. 1 ... ... 16 2 16 1985 1986 2000      + + + − + + +          Còn B = 1 1 1 1 1 1. 1 ... 16 17 2 18 1984 2000    − + − + + −      = 1 1 1 1 1 1. 1 ... ... 16 2 1984 17 18 2000      + + + − + + +          = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 ... ... ... ... 16 2 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000        + + + + + + + − − − − − + +              = 1 1 1 1 1 11 ... ... 16 2 16 1985 1986 2000      + + + − + + +          Vậy A = B Bài 2. Chứng tỏ rằng: ( )22 1 1 1 1 1 ... 5 13 25 21n n + + + + < + + với mọi n ∈ N Lời giải Ta có: 1 2 1 2 1 2; ; ... 5 2.4 13 4.6 25 6.8 < < < ta phải so sánh: 2 2 1 ( 1)n n+ + với: 2 2 (2 2)+n n Thật vậy: 2 2 1 ( 1)n n+ + = 2 2 2 1 1 ( 1) 2 2 1n n n n=+ + + + còn 2 2 1 1 2 (2 2) (2 2) 2 2n n n n n n= =+ + + nên hiển nhiên 2 2 1 ( 1)n n+ + < 2 2 (2 2)+n n , n N∀ ∈ . Vậy ta có: ( )22 1 1 1 1 2 2 2 2 ... ... 5 13 25 2.4 4.6 6.8 2 (2 2)1 n nn n + + + + < + + + + ++ + Mà: 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1; ; ... 2.4 2 4 4.6 4 6 6.8 6 8 2 (2 2) 2 2 2n n n n= − = − = − = −+ + nên: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1... ... 2.4 4.6 6.8 2 (2 2) 2 4 4 6 6 8 2 2 2n n n n+ + + + = − + − + − + −+ + = 1 1 1 2 2 2 2n − < + là hiển nhiên với mọi số tự nhiên n Vậy: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 5 13 25 ( 1) 2 4 4 6 6 8 2 2 2n n n n+ + + + < − + − + − + −+ + + = 1 1 1 2 2 2 2n − < + hay: 2 2 1 1 1 1 1 ... 5 13 25 ( 1) 2n n+ + + + <+ + Bài 3. Tính giá trị của biểu thức M = [ ]22 2 3 5 2 1 ...(1.2) (2.3) ( 1) n n n + + + + + Lời giải: Ta có ngay: M = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 ( 1) ( 1)n n n n− + − + + − + −− + Vậy M = 2 2 2 1 ( 1) 11 ( 1) ( 1) n n n + − − = + + = 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) 1 2 1 1 2 ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n n n + + − + + − + + = = = + + + + Bài 4. Tính giá trị của biểu thức N = 1 1 1 1... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)n n n+ + + + + + Lời giải Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Ta có: N = 1 2 2 2 2... 2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 .( 1)( 2)n n n   + + + + + +  = 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 .( 1) ( 1)( 2)n n n n   − + − + − + + − + + +  = 1 1 1 2 2 ( 1)( 2)   − + + n n Bài 5. Tính giá trị của biểu thức: H = 1 1 1... 1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1). ( 1)( 2)n n n n+ + + − + + Lời giải: Ta có: H = 1 3 3 3... 3 1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1). .( 1).( 2)   ⋅ + + +  − + + n n n n = 1 1 1 1 1 1 1. ... 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( 1). .( 1) .( 1).( 2)   − + − + + −  − + + + n n n n n n = 1 1 1. 3 6 ( 1)( 2)   − + + n n n Bài 6. Chứng minh rằng P = 12 12 12 12 1... 1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 2 + + + + < Lời giải: Ta có: P = 6 6 6 62. ... 1.4.7 4.7.10 7.10.13 54.57.60   + + + +    = 1 1 1 1 1 1 1 12. ... 1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 54.57 57.60   − + − + − + + −    = 1 1 854 427 427 12 2 4 57.60 3420 855 854 2   − = ⋅ = < =    . Vậy P < 1 2 Bài 7. Chứng minh rằng S = 2 2 2 2 1 1 1 11 ... 2 2 3 4 100 + + + + + < Lời giải Ta thấy: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ... 2 1.2 3 2.3 4 3.4 100 99.100 < < < < => S < 1 1 1 1 11 ... 1 1 2 1.2 2.3 3.4 99.100 100 + + + + + < + − < hay S < 2 Bài 8. Đặt 1 1 1... 1.2 3.4 2005.2006 + + +A = và 1 1 1... 1004.2006 1005.2006 2006.2006 + + +B = . Chứng minh rằng A B ∈Z Lời giải 1 1 1... 1.2 3.4 2005.2006 + + +A = = 1 1 1 1 11 ... 2 3 4 2005 2006 − + − + + − = 1 1 1 1 1 1 11 ... ... 3 5 2005 2 4 6 2006     + + + + − + + + +        = 1 1 1 11 ... 2 3 4 2006   + + + + +    - 1 1 12 ... 2 4 2006   ⋅ + + +    = 1 1 1 11 ... 2 3 4 2006   + + + + +    - 1 1 1 11 ... 2 3 4 1003   + + + + +    Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG phần số học, đại số = 1 1 1... 1004 1005 2006 + + + Còn B = 1 1 1 1... 2006 1004 1005 2006   + + +    2006⇒ = ∈A Z B Bài 9. Đề thi khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009 - 2010 a) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn ( ) ( ) 3 n 41 1 1... 1.2 2.3 n 1 n 2 3 n 5 − ++ + + = + + − + b) Rút gọn: P = 2 2 1 1 1... 1 2 2 3 2009 2 2009 1 + + + + + − + − H−ớng dẫn: a) Rút gọn vế phải bằng 11 n 2 − + , vế phải bằng 11 3 n 5 − − + do đó ta có: n 2 3 n 5 3 n (1 3 n ) 0+ = − + − + − = Đáp số: n = 3 b) Có: k 1 kk 1 k k 1 k + −+ − = + + . Do đó 2P 2009 1 1= − − Bài 10. Đề thi khảo sát chọn HSG đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009 - 2010 a) Chứng minh rằng ( )2 2 40161 1 1 1... 20091 2 2 3 3 4 2009 1 2009 + + + + > − b) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : y 25;2x y 12;z 3y 2009≤ + ≥ + ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + 2y + 3z H−ớng dẫn: ( )k 1 1 1a) k 1k(k 1) k k 1 k 11 1 1 11 2 k 1;2;3;... k k 1 k k k 1 + = + − + +      + = − + > − =           + +      ( ) 22 2 20081 1 1 1 1 1... 2 2. 1 20091 2 2 3 3 4 20092009 1 2009   + + + + > − =    − b) Từ giả thiết có: 12 yx ;z 2009 3y 2 −≥ ≥ − Do đó: 12 y 15y 15.25 11691M 2y 3(2009 3y) 6033 6033 2 2 2 2 −≥ + + − = − ≥ − = M nhỏ nhất bằng 11691 2  13y 25;x ;z 1934 2 − = = = Bài 11. Đề thi khảo sát chọn HSG đợt II năm học 2010 - 2011 1. Cho y = 2 2x 4x 4 x 4x 4+ + + − + a) Rút gọn y Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu b) Tính giá trị nhỏ nhất của y 2. So sánh 1 1 1 1 1 1A 1 ... 2 3 4 5 99 100 = + + + + + + + với 20 3. Cho a, b, c , x, y là các số thực thỏa mãn các đẳng thức sau: 3 3 3 5 5 5x y a;x y b ;x y c+ = + = + = Tìm đẳng thức liên hệ giữa a, b, c không phụ thuộc vào x, y H−ớng dẫn: 1. a) y = x 2 x 2+ + − Nếu x < - 2 thì y = - 2x Nếu 2 x 2− ≤ ≤ thì y = 4 Nếu x > 2 thì y = 2x b) Nếu x 4 Nếu 2 x 2− ≤ ≤ thì y = 4 Nếu x > 2 thì y = 2x > 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 4 khi 2 x 2− ≤ ≤ *) Cách khác : áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối, ta có: y = x 2 x 2+ + − = x 2 2 x x 2 2 x 4+ + − ≤ + + − = Dấu "=" xảy ra  (x + 2)(2 - x) 0≥ . Giải bất ph−ơng trình này ta đ−ợc : 2 x 2− ≤ ≤ 2. So sánh 1 1 1 1 1 1A 1 ... 2 3 4 5 99 100 = + + + + + + + với 20 Tr−ớc hết chứng minh bất đẳng thức: Với n là số tự nhiên thì 1 2( n 1 n ) n 1 < + − + Có: 1 1n n 1 n n 1 2 n 1 n n 1 2 n 1 + + > + + +  1n 1 n 2 n 1 + − > +  1 2( n 1 n ) n 1 < + − + A < 2(1 2 1 3 2 4 3 ... 99 98 100 99 ) 2. 100+ − + − + − + + − + − = Vậy A < 2.10 = 20 *) Cách khác: Ph−ơng pháp làm tăng 1 1 1 1 1 1A 1 ... 2 3 4 5 99 100 2 2 2 21 ... 2 2 3 3 4 4 100 100 = + + + + + + + = + + + + + + + + + 1 1 1 11 2 ... 1 2 2 3 3 4 99 100   < + + + + +  + + + +  ( ) ( )1 2 2 1 3 2 ... 100 99 1 2 10 1 19 20= + − + − + + − = + − = < Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG phần số học, đại số 3. ( )23 3 3 3 3 3 2 2x y b b x y (x y)(x xy y ) (x y) x y 3xy + = = + = + − + = + + −    b3 = 3a 3axy− Nếu x + y = 0 thì a = b = c = 0 Nếu x + y = a ≠ 0 => xy = 3 3a b 3a