Giáo án Đại số 11 - Chương 3: Dãy số-Cấp số cộng-Cấp số nhân (phần 1)

TIẾT 37 -38 Tuần 13 Chương 3: Dãy số-Cấp số cộng-Cấp số nhân PHương pháp qui nạp toán học A.MỤC TIÊU 1/. Về kiến thức : Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước (bắt buộc) theo một trình tự qui định. 2/. Về kĩ năng : Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí. 3/. Về tư duy- thái độ : Tích cực tham gia vào bài học, có tinh thần hợp tác. Phát triển tư duy trừu tượng, khái quát hóa, tư duy lôgic, .. Có được cử chỉ say mê, nghiêm túc trong học tập, biết quan sát và phán đoán chính xác, biết quy lạ về quen B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ. 1/. Giáo viên : Phấn màu, bảng phụ, phiếu học tập Giáo án, hệ thống câu hỏi gợi mở Phiếu học tập số 2 Cho hai số 3n và 8n (nN*) a) Hãy tính và so sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5 rồi điền vào bảng sau: n 3n ? 8n 1 2 3 4 5 b). Dự đoán kết quả TQ và chứng minh bằng phương pháp qui nạp ? Phiếu học tập số 1 Xét hai mệnh đề chứa biến và a). Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? n 3n n + 100 n 2n 1 2 3 4 5 b). Với mọi số n N* thì ; đúng hay sai ? 2/. Học sinh : Giáy nháp, máy tính bỏ túi, SGK, . Đọc trước bài học ở nhà và ôn lại kiến thức về mệnh đề chứa biến đã học lớp 10, các dấu hiệu chi hết đã biết từ các lớp dưới và các phép biến đổi tương đương của bất đẳng thức C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Về cơ bản sử dụng PPDH gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm. D. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC. 1/. Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, ghi nhận HS nghỉ và tự ý bỏ tiết Nắm tình hình chuẩn bị bài trước ở nhà của HS 2/. Kiểm tra bài cũ: Hãy nhắc lại khái niệm "mệnh đề chứa biến" ? 3/. Tiến hành bài mới: HOẠT ĐỘNG GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG HỌC SINH TÓM TẮT GHI BẢNG 1. (Tiếp cận phương pháp qui nạp ) + GV phát phiếu học tập số 1 và thực hiện theo yêu cầu ghi trên phiếu + Nhận xét, hoàn thiện kết quả của HS ?1: Phép thử một vài trường hợp có chứng minh cho kết luận luôn đúng trong trường hợp tổng quát không ? ?2: Trở lại mệnh đề , ta hãy thử kiểm tra tiếp với một giá trị n 6 ? Có thể khẳng định đúng với mọi nN* chưa ? ?3: Muốn chứng tỏ một kết luận đúng ta phải làm thế nào ? Muốn chứng tỏ kết luận sai ta phải làm thế nào ? * Giới thiệu: Để chứng minh một mệnh đề liên quan đến số tự nhiên nN* luôn đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp hết được ta có thể dùng một phương pháp tổng quát đó là phương pháp qui nạp * Giải thích PP quy nạp: Ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n = 1 rồi nên theo kết quả ở bước 2 nó cũng đúng với n = 1 + 1 = 2. Vì nó đã đúng với n = 2 nên cũng theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n = 2 + 1 = 3, . Nhờ đó ta kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên nN* * Nhấn mạnh: + Bước 1 tuy đơn giản nhưng không thể bỏ qua + Bước 2 là quan trọng, thực chất là nêu ra bài toán mới và tìm cách giải quyết nên phải chỉ rõ đâu là giả thiết quy nạp, đâu là điều cần chứng minh + Làm việc theo nhóm và cử đại diện trình bày kết quả + Nêu nhận xét, sửa chữa, bổ sung (nếu có) ÆSuy nghĩ và trả lời lần lượt các câu hỏi theo hiểu biết cá nhân + Lắng nghe và ghi nhận phương pháp qui nạp I - PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: * Để chứng minh mệnh đề P(n) luôn đúng với mọi nN* ta tiến hành 2 bước: + Kiểm tra rằng khi n = 1 có P(1) đúng + Giả sử P(k) đúng (chỉ ra giả thiết qui nạp). Ta chứng minh P(k + 1) đúng 2. (Chứng minh các đẳng thức mà hai vế là các biểu thức của biến tự nhiên n) * Đưa ra VD1 và yêu cầu cả lớp thực hiện trên nháp và cho một HS trình bày bảng theo các bước của PP quy nạp + Nhận xét, hoàn thiện và chính xác hóa lời giải * Đưa ra VD2 và yêu cầu cả lớp thực hiện trên nháp và cho một HS trình bày bảng theo các bước của PP quy nạp + Nhận xét, hoàn thiện và chính xác hóa lời giải + Một HS trình bày bảng + Cả lớp cùng thực hiện, so sánh, đối chiếu các bước thực hiện + Nêu nhận xét, sửa chữa và bổ sung + Theo dõi, ghi chép lĩnh hội kiến thức + Một HS trình bày bảng + Cả lớp cùng thực hiện, so sánh, đối chiếu các bước thực hiện + Nêu nhận xét, sửa chữa và bổ sung + Theo dõi, ghi chép lĩnh hội kiến thức II- VÍ DỤ ÁP DỤNG * Ví dụ 1: CMR 1+2+3+.+(2n - 1) = n2 luôn đúng với mọi nN* (1) Giải + Khi n = 1, ta có VT = VP = 1 nên (1) đúng + Giả sử (1) đúng khi n = k , tức là ta đã có: 1+2+3++(2k - 1) = k2 . Ta phải chứng minh (1) đúng khi n = k + 1, tức cần chứng minh 1+2+3++(2k -1) + 2(k+1) - 1 = (k + 1)2 Thật vậy: Từ giả thiết qui nạp ta có: k2 + 2k + 1= (k + 1)2 . Hiển Hiển nhiên đúngHHiển nhiên đúng, Vậy (1) luôn đúng với mọi nN* * Ví dụ 2: CMR 1+2+3+.+n = luôn đúng với mọi nN* (2) Giải: + Khi n = 1, ta có VT = VP = 1 nên (2) đúng + Giả sử (2) đúng khi n = k , tức là ta đã có: 1+2+3++k = . Ta phải chứng minh (2) đúng khi n = k + 1, tức cần chứng minh 1+2+3++k + (k+1) = Thật vậy: Từ giả thiết qui nạp ta có: + (k + 1) = k(k+1)+2(k+1) =(k+1)(k+2) k2+3k +2 = (k+1)(k+2) Hiển Hiển nhiên đúngHHiển nhiên đúng, Vậy (2) luôn đúng với mọi nN* 3. (Chứng minh một biểu thức của n chia hết cho một số nguyên dương cho trước) * Đưa ra VD3 và yêu cầu cả lớp thực hiện trên nháp và cho một HS trình bày bảng theo các bước của PP quy nạp + Nhận xét, hoàn thiện và chính xác hóa lời giải * Đặt vấn đề: nếu đề bài chỉ yêu cầu mệnh đề đúng với n lớn hơn hoăac bằng một số p cho trước thì giải quyết thế nào ? * Đưa ra chú ý như SGK + Một HS trình bày bảng + Cả lớp cùng thực hiện, so sánh, đối chiếu các bước thực hiện + Nêu nhận xét, sửa chữa và bổ sung + Theo dõi, ghi chép lĩnh hội kiến thức + Suy nghĩ và đứng tại chỗ phát biểu điều mình hiểu + Ghi nhận kiến thức * Ví dụ 3: CMR n3 + 11n chia hết cho 6 với với mọi nN* (3) Giải: Kí hiệu A(n) = n3 + 11n + Khi n = 1 ta có A(1) = 126 nên (3) đúng + Giả sử A(k) = (k3 + 11k)6. Ta cần chứng minh: A(k +1)6 Thật vậy, ta có A(k + 1) = (k+1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11 = k3 + 11k + 3k2 + 3k +12 = A(k) + 3k(k + 1) + 12 Mà A(k)6 (theo giả thiết qui nạp); 3k(k + 1)6 (bội của 6) và 126. Do đó A(k + 1)6 Vậy (3) luôn đúng với mọi nN* * Chú ý: Nếu chứng minh mệnh đề đúng với n p ta thực hiện tương tự nhưng bước 1 ta kiểm tra mệnh đề đúng khi n = p 4. (Chứng minh bất đẳng thức bằng qui nạp toán học) + GV phát phiếu học tập số 2 và thực hiện theo yêu cầu ghi trên phiếu + Nhận xét, hoàn thiện kết quả của HS * Đưa ra VD4 và yêu cầu cả lớp thực hiện trên nháp và cho một HS trình bày bảng theo các bước của PP quy nạp + Nhận xét, hoàn thiện và chính xác hóa lời giải + Làm việc theo nhóm và cử đại diện trình bày kết quả + Nêu nhận xét, sửa chữa, bổ sung (nếu có) + Một HS trình bày bảng VD4 + Cả lớp cùng thực hiện, so sánh, đối chiếu các bước thực hiện + Nêu nhận xét, sửa chữa và bổ sung + Theo dõi, ghi chép lĩnh hội kiến thức * Ví dụ 4: CMR 2n > n2 với mọi n 5 (4) Giải: + Khi n = 5, ta có VT = 32, VP = 25 nên (4) đúng + Giả sử (4) đúng khi n = k, tức là ta đã có 2k > k2 . Ta cần chứng minh (4) khi n = k + 1, tức cần chứng minh 2k + 1 > (k + 1)2 Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có: 2k > k2 2k. 2 > 2k2 2k + 1 > 2k2 (4') Vì với k 5 nên k(k - 2) > 1 hay k2 - 2k > 1 k2 > 2k + 1 (4") Từ (4') và (4"), ta có 2k + 1 > 2k2 > k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 . Điều này chứng tỏ (4) đúng khi n = k + 1, nên (4) đúng với mọi n 5. 4/. Củng cố : + Nêu lại các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp + Chốt lại với HS : Trong chứng minh bằng quy nạp: * Bước 1 tuy đơn giản nhưng không thể bỏ qua * Bước 2 là quan trọng, thực chất là nêu ra bài toán mới và tìm cách giải quyết nên phải chỉ rõ đâu là giả thiết quy nạp, đâu là điều cần chứng minh 5/. Hướng dẫn về nhà: + Xem kỹ lại các ví dụ đã chữa trên lớp. + Học thuộc 2 bước bắt buộc trong cách chứng minh quy nạp + làm bài tập 1, 2, 3, 4, 5 trang 82, 83-SGK + Xem trước bài Dãy số E. RÚT KINH NGHIỆM SAU TIẾT DẠY : ..................