Giáo án Đại số 11 - Chương 3: Dãy số-Cấp số cộng-Cấp số nhân (phần 2)

TIẾT 42 CẤP SỐ CỘNG A.MỤC TIÊU 1/. Về kiến thức : Định nghĩa được cấp số cộng và hiểu được tính chất ba số hạng liên tiếp trong một CSC Biết được công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu của CSC 2/. Về kĩ năng : Áp dụng được định nghĩa để nhận biết dãy số là CSC Vận dụng công thức và tính chất của cấp số cộng để tìm u1, un, n, d, Sn khi biết 3 trong 5 yếu tố đó Giải được các bài tập cơ bản SGK 3/. Về tư duy- thái độ : Tích cực tham gia xây dựng bài, có tinh thần hợp tác. Phát triển tư duy trừu tượng, khái quát hóa, tư duy lôgic, .. Có được cử chỉ say mê, nghiêm túc trong học tập, biết quan sát và phán đoán chính xác B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ. 1/. Giáo viên : Phấn màu, bảng phụ, phiếu học tập, máy tính bỏ túi Giáo án, hệ thống câu hỏi gợi mở Phiếu học tập số 1 Theo định nghĩa của cấp số cộng, ta có u2 = u1 + d, u3 = u2+ d, u4 = u3 + d, u5 = u4 + d. Hãy biểu diễn u3 , u4, u5 theo u1 và d, từ đó viết ra đẳng thức un theo u1 và d Phiếu học tập số 2 Trở lại cấp số cộng ở 1 : -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, .. a) Hãy tính trung bình cộng u1 và u3 rồi so sánh kết quả với u2 b) Hãy tính trung bình cộng u2 và u4 rồi so sánh kết quả với u3 c) Hãy tính trung bình cộng u3 và u5rồi so sánh kết quả với u4 Phiếu học tập số 3 Một CSC có 8 số hạng được viết vào bảng sau a). Hãy tính tổng các số hạng của CSC đó b). Hãy viết 8 số hạng của CSC trên theo thứ tự ngược lại vào dòng thứ 2 của bảng. Nêu nhận xét tổng các số hạng ở mỗi cột, từ đó tìm ra cách tính tổng các số hạng nhanh nhất -1 3 7 11 15 19 23 27 2/. Học sinh : Giấy nháp, máy tính bỏ túi, SGK, . Ôn lại khái niệm và các tính chất liên quan đến dãy số C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Về cơ bản sử dụng PPDH gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm. D. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC. 1/. Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, ghi nhận HS nghỉ và tự ý bỏ tiết Nắm tình hình chuẩn bị bài trước ở nhà của HS 2/. Kiểm tra bài cũ: Lồng ghép quá trình xây dựng kiến thức mới 3/. Tiến hành bài mới: HOẠT ĐỘNG GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG HỌC SINH TÓM TẮT GHI BẢNG 1. (Tiếp cận khái niệm cấp số cộng) Quan sát năm số hạng đầu của dãy số (un) là: -2, 1, 4, 7, 10. Hãy tìm ra một quy luật từ số hạng thứ hai trở đi của dãy , từ đó viết tiếp 4 số hạng của dãy theo quy luật tìm được + Khẳng định: Một dãy số , kể từ số hạng thứ hai trở đi bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi được gọi là một cấp số cộng , số không đổi đó được gọi là công sai, kí hiệu bởi chữ d ?1: Hãy nêu VD về CSC bằng cách liệt kê 5 số hạng đầu và chỉ ra công sai của CSC đó ? ?2: Với định nghĩa cấp số cộng như thế un + 1 = ? ?3: Khi công sai d = 0 thì các em nghĩ gì về tất cả các số hạng của cấp số cộng ? * Giới thiệu công thức và dãy số không đổi ?4: Công thức (1), cho phép ta tìm được các yếu tố nào ? ?5: Hãy viết dạng khai triển của một CSC có 6 số hạng, biết số hạng đầu u1 = , d = -2 ?6: Từ công thức (1), em nào phát hiện ra được: Dấu hiệu nào giúp ta biết được một dãy số (un) là một CSC ? * Giới thiệu : Ta xét hiệu un + 1 - un + Nếu un + 1 - un = d (hằng số) thì (un) là một CSC + Nếu un + 1 - un = f(n) thì (un) không là một CSC * Đưa ra VD (Bài tập 1a và 1c), cho HS tự giải và ghi nhận kết quả. Nêu nhận xét và hoàn chỉnh lời giải ?7: Công thức (1) có cho phép ta tìm ngay được số hạng tùy ý khi chỉ biết chỉ số của nó không? Từ VD về CSC mà các em đưa ra, hãy tìm số hạng thứ 2008 ? * Chuyển ý: Bây giờ thầy trò chúng ta cùng nhau tìm hướng giải quyết yêu cầu đặt ra đó. Trước hết ta cần thực hiện 2. + Quy luật : Kể từ số hạng thức hai mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với 4. + Bốn số hạng tiếp của dãy số là: 13, 16, 19, 22 + Suy nghĩ 2 phút và đứng tại chỗ đưa ra VD + un + 1 = un + d + Tất cả các số hạng đều bằng nhau * Ghi nhận định nghĩa như SGK ÆTL: + Tìm được số hạng bất kỳ nếu biết công sai và số hạng đứng ngay trước nó hơặc ngay sau nó + Tìm được công sai khi biết 2 số hạng liên tiếp: d = un +1 - un + Cả lớp cùng thực hiện trên nháp và một HS lên bảng :,,,,, + Suy nghĩ và trả lời theo điều mình hiểu + Theo dõi, ghi chép và lĩnh hội kiến thức + Cả lớp cùng thực hiện + Công thức (1) không giúp ta tính được ngay số hạng tùy ý của CSC, và vì thế không tìm ngay được số hạng u2008 I - ĐỊNH NGHĨA: * Dãy (un) là một CSC ta có: un + 1 = un + d ( hay u n - 1 = un - d ) (1) , d là một hằng số và gọi là công sai * Khi d = 0, (un) là dãy không đổi Ví dụ: Trong các dãy số sau dãy nào là CSC? a). un = 5 - 2n b). un = 3n Giải: a). un + 1 - un = 5 - 2(n + 1) - (5 - 2n) = 5 - 2n - 2 - 5 + 2n = -2 nên dãy đã cho là CSC b). un + 1 - un = 3n + 1 - 3n = 3n(3 - 1) = 2.3n nên dãy đã cho không phải là CSC 2. (Hình thành công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng) Theo định nghĩa của cấp số cộng, ta có u2 = u1 + d, u3 = u2+ d, u4 = u3 + d, u5 = u4 + d. Hãy biểu diễn u3 , u4, u5 theo u1 và d, từ đó viết ra đẳng thức un theo u1 và d ?1: Bây giờ dựa vào (2), các em thử kiểm tra xem ta có thể tìm được u2008 của CSC mà các em đưa ra không ? ?2: Như vậy theo các em công thức (2) giúp các em tìm ra được yếu tố nào của một CSC ? * Giới thiệu: Công thức (2) là công thức tìm số hạng tổng quát của một CSC thông qua u1 và d * Đưa ra VD vận dụng (bài tập 2-SGK ) và phát vấn: ?1: Bài toán yêu cầu điều gì ? Điều đã biết của bài toán là gì ? ?2: Một hệ gồm 2 phương trình chứa 4 ẩn có thể giải được không ? Hãy suy nghĩ áp dụng kiến thức nào vừa học để làm cho hệ phương trình chỉ còn lại 2 ẩn ? * Nhận xét và chính xác hóa lời giải của HS + Nghe, hiểu và thực hiện nhiệm vụ: u2 = u1 + d u3 = u2+ d = u1 + 2d u4 = u3 + d = u1 + 3d u5 = u4 + d = u1 + 4d un = u 1 + (n - 1)d (2) + Thực hiện tại chỗ, HS thấy hứng thú và cho kết quả + Tìm ra được số hạng tổng quát un của CSC + Theo dõi và ghi nhận công thức ÆTH: Đọc, hiểu và suy nghĩ trả lời câu hỏi + Yêu cầu tìm d và u1. Điều đã biết là một hệ gồm 2phương trình có 4 ẩn số + Không thể giải được, ta có thể áp dụng công thức (2) + Các nhóm thảo luận tìm ra lời giải và cử đại diện trình bày + Các nhóm chỉnh sửa, bổ sung hoàn thiện bài giải + Theo dõi lĩnh hội kiến thức II- SỐ HẠNG TỔNG QUÁT : Định lí 1 (SGK): Nếu một CSC có số hạng đầu là u1 và công sai d thì số hạng TQ un là : un = u1 + (n -1)d với n 2 (2) VD: Tìm số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng, biết: Giải: Áp dụng công thức số hạng tổng quát, ta có: d = - 3 u1 = (17 + 15) : 2 = 16 3. (Tiếp cận tính chất ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng) Trở lại cấp số cộng ở 1 : -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, .. a) Hãy tính trung bình cộng u1 và u3 rồi so sánh kết quả với u2 b) Hãy tính trung bình cộng u2 và u4 rồi so sánh kết quả với u3 c) Hãy tính trung bình cộng u3 và u5rồi so sánh kết quả với u4 ?1: Từ các kết quả trên, các em có nhận xét gì về ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng ? * Chốt lại và đưa ra tính chất: Nếu gọi uk - 1 , uk , uk + 1 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Khi đó người ta dễ dàng chứng minh được rằng: * Yêu cầu HS về nhà xem chứng minh SGK * Đưa ra VD áp dụng + Yêu cầu thực hiện theo nhóm + Nhận xét và chính xác hóa lời giải của HS + Thực hiện yêu cầu: a). b). c). + Suy nghĩ trả lời theo điều mình hiểu + Cả lớp nhận xét, bổ sung, sửa chữa * Theo dõi và ghi nhận tính chất + Đọc, hiểu nội dung yêu cầu của ví dụ + Các nhóm thảo luận tìm ra lời giải và cử đại diện trình bày + Các nhóm chỉnh sửa, bổ sung hoàn thiện bài giải + Theo dõi lĩnh hội kiến thức III- TÍNH CHẤT BA SỐ HẠNG LIÊN TIẾP CỦA CẤP SỐ CỘNG Định lí 2 (SGK): Với k 2, (3) Ví dụ: Với giá trị nào của x thì ba số 2x , x2, 24 theo thứ tự đó lập thành ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng ? Giải: Các số 2x , x2, 24 theo thứ tự đó lập thành ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng khi: x2 =2x2-2x -24= 0 x2 - x - 12 = 0 x = 4 , x = - 3 + Với x = 4 thì 8, 16, 24 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng có công sai d = 8 + Với x = - 3 thì -6, 9, 24 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng có công sai d = 15 -1 3 7 11 15 19 23 27 4. (Hình thành công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng) Một CSC có 8 số hạng được viết vào bảng sau a). Hãy tính tổng các số hạng của CSC đó b). Hãy viết 8 số hạng của CSC trên theo thứ tự ngược lại vào dòng thứ 2 của bảng. Nêu nhận xét tổng các số hạng ở mỗi cột, từ đó tìm ra cách tính tổng các số hạng nhanh nhất * Phát phiếu học tập và cho HS thực hiện yêu cầu ghi trên phiếu * Gọi từ 4 đến 6 HS cho kết quả và ghi bảng các kết quả ấy * Nhận xét và chính xác hóa lời giải, đi đến công thức tính tổng n số hạng đầu của một CSC ?1: Bằng cách thay u n = u1 + (n - 1)d, hãy viết công thức (4) dưới dạng khác ? + Chính xác hóa và đi đến công thức (4') * Đưa ra VD áp dụng ?1: Theo đề bài những số hạng nào đã biết trong cấp số cộng đó ? ?2: Để tìm được 7 số xen giữa u1 và u9 ta cần phải biết yếu tố nào ? Dùng công thức nào để tìm được yếu tố đó ? ?3: Em nào lên bảng trình bày được điều đó? ?4: Dùng công thức nào để tính được tổng 9 số hạng đầu của cấp số cộng đó ? ?5: Để đơn giản trong việc tính toán, em nào lên bảng dùng công thức (4) để giải câu b) * Chính xác hóa việc sử dụng công thức phù hợp và hoàn thiện lời giải + Cả lớp tiếp nhận và cùng thực hiện + Bốn đến 6 HS đứng tại chỗ cho kết quả + Theo dõi, lĩnh hội và ghi nhớ công thức + Thực hiện trên nháp và cho kết quả + Theo dõi và ghi nhận kiến thức ÆTH: Cả lớp đọc hiểu nội dung của VD và trả lời câu hỏi: + Theo đề bài, các số hạng đã biết là u1 = 25 và u9 = -23 + Ta cần phải biết công sai d. Dùng công thức số hạng tổng quát (công thức số (2)): un = u1 + (n - 1)d + Ta có u9 = u1 + (n - 1)d -23 = 25 + 8d 8d = -25 - 23 = -48 d = -6 Vậy 7 số xen giữa đó là: 19, 13, 7, 1, -5, -11, -17 + Có thể dùng công thức (4) hoặc (4') + Một HS trình bày bảng câu b) + Theo dõi, lĩnh hội và ghi chép IV- TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG: Định lí 3 (SGK): Sn = (4) Hay Sn = nu1 + (4') Ví dụ: a). Hãy viết 7 số xen giữa hai số 25 và -23 để được 9 số hạng đầu của một cấp số cộng. b). Tính tổng 9 số hạng đầu của cấp số cộng đó. Giải: a). Ta có u9 = u1 + (n - 1)d -23 = 25 + 8d 8d = -25 - 23 = -48 d = -6 Vậy 7 số xen giữa đó là: 19, 13, 7, 1, -5, -11, -17 b) Ta có S9 = = 9 4/. Củng cố : + Nhắc lại khái niệm và công thức cấp số cộng + Viết công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu của một CSC + Nêu tính chất ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng 5/. Hướng dẫn về nhà: + Học kỹ lại lý thuyết và các công thức theo SGK kết hợp vở ghi + Xem lại các VD đã giải trên lớp + Làm các bài tập 2b, 3, 4, 5 trang 97, 98 SGK + Đọc trước và trả lời các hoạt động bài "Cấp số nhân" E. RÚT KINH NGHIỆM SAU TIẾT DẠY : ................ ........