Giáo án Đại số 11 cơ bản tiết 37: Phương pháp quy nạp toán học

Ngày soạn: .. Tiết: 37 Chương III : dãy số . cấp số cộng và cấp số nhân Đ1: Phương pháp quy nạp toán học I- Mục tiêu: 1.Về kiến thức: - HS nắm được phương pháp quy nạp toán học. 2. Về kĩ năng: -Bước đầu vận dụng được phương pháp quy nạp toán học vào giải các bài toán trong SGK 3.Về tư duy thái độ: - Biết toán học có ứng dụng trong thực tiễn - Rèn luyện tư duy lôgíc. II- Chuẩn bị của GV và HS 1.GV: chuẩn bị 1 số ví dụ để làm tại lớp 2.HS: Đọc trước bài mới ở nhà. III-Phương pháp giảng dạy: Sử dụng phương pháp : Nêu vấn đề, vấn đáp - gợi mở . IV-Tiến trình bài dạy: 1.ổn định tổ chức lớp 2. Bài mới: Hoạt động của GV và HS Nội dung HĐ1: -GV: Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n): “3n n” với n ẻN* a,Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n) và Q(n) đúng hay sai? b, Với mọi n ẻN* thì P(n) và Q(n) đúng hay sai? -HS: suy nghĩ và trả lời -GV: Để chứng minh những mệnh để liên quan đến số tự nhiên n ẻN* là đúng với mọi n ta làm thế nào? -HS: kết hợp xem SKG trả lời. -GV: Nêu VD1 -HS: áp dụng làm -GV: với n = 1, VT = ?, VP = ? -GV: Nêu giả thiết quy nạp? -GV: Dùng giả thiết quy nạp -GV: Nêu HĐ2 -HS: áp dụng làm -GV: với n = 1, VT = ?, VP = ? -GV: Nêu giả thiết quy nạp? -GV: Dùng giả thiết quy nạp -GV: Nêu VD2 -HS: áp dụng làm -GV: với n = 1, VT = ?, VP = ? -GV: Nêu giả thiết quy nạp? -GV: Dùng giả thiết quy nạp -GV: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ³ p ta làm thế nào? -HS: Trả lời I, Phương pháp quy nạp toán học HĐ1: a, Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n) sai, Q(n) đúng. b, Với mọi n ẻN* thì P(n) sai, Q(n) đúng. *Để chứng minh những mệnh để liên quan đến số tự nhiên n ẻN* là đúng với mọi n ta có thể làm như sau: Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ³ 1(gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phương pháp quy nạp. II, Ví dụ áp dụng VD1: CMR: với n ẻN* thì 1 + 3 + 5 +...+ 2n - 1 = n2 (1) Giải: -Bước 1: với n = 1, VT = 1, VP = 1 =>(1) đúng. -Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k ³ 1, tức là: 1 + 3 + 5 +...+ 2k - 1 = k2 (giả thiết quy nạp). Ta phải CM (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là: 1 + 3 + 5 +...+ 2k +1 +[2(k+1)-1] = (k+1)2 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 1 + 3 + 5 +...+ 2k -1 +[2(k+1)-1] = k2 + [2(k+1)-1] = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 (đpcm) Vậy: (1) đúng với n ẻN*. HĐ2: CMR: với n ẻN* thì 1 + 2 + 3 +...+ n = (2) Giải: -Bước 1: với n = 1, VT = 1, VP = 1 =>(2) đúng. -Bước 2: Giả sử (2) đúng với n = k ³ 1, tức là: 1 + 2 + 3 +...+ k = (giả thiết quy nạp). Ta phải CM (2) cũng đúng với n = k + 1, tức là: 1 + 2 + 3 ++ k + (k + 1) = Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 1 + 2 + 3 +...+ k + (k + 1) = + (k + 1) = = (đpcm) Vậy: (2) đúng với n ẻN*. VD2: CMR: với n ẻN* thì n3 – n chia hết cho 3 (3) Giải: -Bước 1: Với n = 1=>03 – 0 = 0 3 (đúng) -Bước 2: Giả sử (3) đúng với n = k ³ 1, tức là: k3 - k 3. Ta phải CM (3) cũng đúng với n = k + 1, tức là: (k+1)3 - (k+1) 3 Thật vậy, ta có: (k+1)3 - (k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 - k -1 = k3 - k + 3k2 + 3k = (k3 - k) + 3(k2 + k) 3 Theo giả thiết quy nạp k3 - k 3; hơn nữa: 3(k2 + k) 3 Vậy n3 - n chia hết cho 3 với n ẻN* *Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ³ p (p là 1 số tự nhiên) thì: -ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p -ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với n = k ³ p và phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1. *Củng cố - dặn dò: -Nắm chắc phương pháp quy nạp toán học. -Xem lại các ví dụ. -BTVN 1 ->5T82-83.