Bài tập Toán khối 11 – Học kỳ I - Phần Đại số

Phaàn 1 ñaïi soá Chöông 1: HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC 1. GOÙC VAØ CUNG LÖÔÏNG GIAÙC 1. Ñoåi soá ño caùc goùc (cung) sau ra radian: 1) a) 7650 b) 3900 c) 4650 d) 8550 e) 8700 f) 90 2) a) 22030’ b) 33045’ c) 71052’ d) 67030’ 2. Ñoåi soá ño caùc goùc (cung) sau ra ñoä, phuùt, giaây: 1) a) b) 3p c) d) 2) a) b) c) 3. Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc, bieåu dieãn vaø tìm toïa ñoä ñieåm ngoïn caùc cung coù soá ño sau: 1) a) 1500 b) – 9900 c) 18000 d) – 4050 2) a) 7650 b) 15750 c) – 11250 d) – 8550 3) a) b) c) –2005p 4. Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc, xaùc ñònh caùc ñieåm M laø ngoïn cung cuûa caùc cung coù soá ño: 1) a) + k2p b) – + k2p c) p + k2p d) k2p (k Î Z) 2) a) + kp b) kp c) k d) – p + k 5. Tìm soá ño cuûa cung a bieát: (k Î Z) a) a = k900 (00 < a < 3600) b) a = k600 ( – 1800 < a < 00) c) a = 300 + k1800 ( – 1200 < a < 900) 2. GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT SOÁ CUNG, GOÙC ÑAËC BIEÄT 1. Tính sina vaø cosa, bieát: a. a = –675o b. a = 390o c. a = – d. a = ÑS: a. ; b. ; c. ; d. 1 vaø 0 2. Tính tang vaø cotang cuûa caùc goùc (cung) coù soá ño sau: 1) a) b) c) 2) a) 9450 b) –5700 c) 13200 3. Bieåu dieãn caùc cung sau treân ñöôøng troøn löôïng giaùc: 1) a) 600 b) 300 c) 450 d) 900 2) a) b) c) d) 3. HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC CÔ BAÛN Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau: a. (sinx cosx)2 = 1 2sinxcosx b. sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x vaø sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x c. sin4x – cos4x = 1 – 2cos2x d. cotg2x – cos2x = cos2x.cotg2x vaø tg2x – sin2x = tg2x.sin2x e. 1 + sinx + cosx + tgx = (1 + cosx)(1 + tgx) f. sin2xtgx + cos2xcotgx + 2sinxcosx = tgx + cotgx g. sin4x + cos4x + sin6x + cos6x = 2 – 5sin2xcos2x h. i. tgx.tgy = j. k. l. m. = 1 + 2tg2x n. o. p. q. tg2x + cotg2x = – 2 r. = tg3x + tg2x + tgx + 1 s. t. u. = sinx + cosx + 1 v. w. = 1 + tg2x x. Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau: a. A = b. B = c. C = d. D = e. E = f. F = F' = g. G = h. H = (1 – sin2x)cotg2x + 1 – cotg2x i. j. J = tgx + k. K = – cotgxcosx l. L = (p < x < 2p) m. M = ÑS: a. cosx – sinx; b. ; c. |cosx + sinx|; d. sinxcosx ; e. sinxcosx; f. tg6x; cotg6x ; g. sinx + cosx ; h. sin2x ; i. ; j. ; k. sinx ; l. sinx ; m. Chöùng minh caùc bieåu thöùc sau ñoäc laäp x: a. A = b. B = (tgx + cotgx)2 – (tgx – cotgx)2 c. C = – sinxcosx d. D = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) e. E = cos2x.cotg2x + 2sin2x – cotg2x + 3cos2x f. F = g. G = 2cos4x – sin4x + sin2x.cos2x + 3sin2x h. H = i. I = j. J = k. K = l. L = 2(sin4x + cos4x + 2sin2xcos2x)2 – (sin8x + cos8x) m. M = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x ÑS: a. 1; b. 4; c. 1 ; d. 1; e. 2; f. –1; g. 2; h. –1; i. 3; j. 1; k. –4; l. 1; m. 1 4. Cho tgx = –2. Tính: A = B = cos2x – sin2x C = 2sinx cosx ÑS: A = ; B = – ; C = – 5. Cho cotgx = –3. Tính: A = ÑS: A = – 6. Cho sin4x + 3cos4x = . Tính A = 3sin4x + cos4x ÑS: 7. Cho sinx + cosx = . Tính A = tgx + cotgx ÑS: 8. Cho sinx + cosx = m vôùi |m| £ . Tính: A = sinxcosx B = sinx – cosx C = sin3x + cos3x D = sin4x + cos4x E = sin5x + cos5x F = sinx G = cosx ÑS: A = , B = ; C = ; D = E = (5 – m4) ; F = ; G = 9. Cho tgx + sinx = 1. Tính A = cotgx – cosx ÑS: 1 10. Cho sinx + cosx = . Tính tgx ÑS: 1 11. Cho sinx + cosx = . Tính A = 3sinx + 2cosx ÑS: 4.GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA CAÙC CUNG COÙ LIEÂN QUAN ÑAËC BIEÄT 1. Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau: A = cos( + x) + cos(2p – x) + cos(3p + x) B = 2cosx – 3cos(p – x) + 5sin( – x) + cotg( – x) C = 2sin( + x) + sin(5p – x) + sin( + x) + cos( + x) D = cos(5p – x) – sin( + x) + tg( – x) + cotg(3p – x) E = cos(p – x) + sin( –x) + cos(p + x) + sin( + x) F = tg( –x) + tg( + x) + tg( +x) – tg( + x) G = sin(p + x) – cos( – x) + cotg(2p – x) + tg( – x) H = cos(p – x) + sin(x – ) – tg( + x)cotg( – x) I = cos(270o – x) – 2sin(x – 450o) + cos(x + 900o) + 2sin(720o – x) + cos(540o – x) J = .[1 + cotg2(x – 3p) ]. cos( + x).sin(11p – x). .cos(x – sin(x – 7p) K = sin6(p + x) + cos6(p – x) – 2sin4(2p + x) – sin4( + x) + cos2( – x) ÑS: A = –sinx; B = tgx; C = cosx; D = 0; E = –2cosx; F = 0; G = –2sinx; H = 1; I = –3sinx; J = –1; K = 0 2. Tính: A = tg1o.tg2o.tg3o ... tg88o.tg89o B = cos20o + cos40o + cos60o + ... + cos160o + cos180o C = sin210o + sin220o + sin230o + ... + sin2180o D = sin825o.cos(–15o) + cos75osin(–555o) + tg155o.tg245o E = F* = ÑS: A = 1; B = –1; C = 9; D = 0; E = –1; F = 1.(–1) = –1 3. a. Tính: A = sin(a + 15o) + sin(a + 75o) +sin(a + 135o) +sin(a + 195o) +sin(a + 255o) +sin(a + 315o) b. Cho sin(180o – a) = 0,8 vaø 90o < a < 180o. Tính cos(270o + a) vaø sin(270o – a) c. Cho tg(270o + a) = –3 vaø 180o < a < 270o. Tính sin(90o + a) vaø cos(90o – a) ÑS: a. A = 0; b. 0,8 vaø 0,6 ; c. – vaø – 4. Chöùng minh raèng trong D ABC ta coù . a/ sin (B + C) = sin A b/ cos (B + C) = - cosA c/ sin () = cos d/ tg () = cotg e/ sin (2A + B +C) = - sinA f/ cos(B+C) = cos(2A + B + C) g/ sin = cos A h/ cos () = - sinC i/ tgB. tgC = 1 (DABCvuoâng taïi A) j/ sinB. sinC = (DABC vuoâng taïi A) 5. TÍNH CHAÁT CUÛA HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC 1. Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá. a/ y = b/ y = c/ y= d/ y = e/ y = tg(x - ) f/ y = cotg(2x - ) g/ y = tg ( - ) h/ y = cotg (- ) i/ y = k/ y = 2. Khaûo saùt tính chaün leû cuûa haøm soá: a) y = 3cosx + sinx b) y = sin2x.cosx c) y = tg2x + sin3x d) y = sin(x) + cos2x e) y = sinx + cosx f) y = cotgx + cosx g) y = h) y = 3. Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá: a) y = 3sin2x b) y = 2cosx + 3 c) y = 5cos2x – 1 d) y = 4 – sin3x e) y = f) y = 6. COÂNG THÖÙC COÄNG: Tính caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung coù soá ño: a. 15o b. ÑS: a. sin15o = ; cos15o = ; tg15o = 2 – b. sin = ; cos = ; t = 2 + a. Bieát sina = vaø < a < p. Tính tg(a + ) b. Bieát sina = (0o < a < 90o), sinb = (90o < b < 180o). Tính cos(a + b) vaø sin(a – b) c. Cho 2 goùc nhoïn a vaø b vôùi tga = , tgb = . Tính a + b d. Bieát tg(a + = m vôùi m –1. Tính tga ÑS: a. ; b. – vaø – ; c. ; d. Chöùng minh: a. sin(a + b)sin(a – b) = sin2a – sin2b = cos2b – cos2a b. cos(a + b) cos(a – b) = cos2a – sin2b = cos2b – sin2a. AÙp duïng: CM : c. tg2a – tg2b = d. e. tg(a + b) – tga – tgb = tga.tgb.tg(a + b) f. cotg(a – b) = AÙp duïng: Chöùng minh: g. = tg(a + b) h. = – cos2asin2b Chöùng minh a. sina + cosa = sin(a + ) b. sina – cosa = sin(a – ) c. a. Cho < x < p vaø sinx + cosx = . Tính A = sinx – cosx b*. Cho tgx + sinx = 1. Tính B = tgx + cosx ÑS: a. A = ; b. B = (tgx + sinx) + (cosx – sinx) = a. Cho a – b = . Tính A = (cosa + cosb)2 + (sina + sinb)2 B = (cosa + sinb)2 + (cosb – sina)2 b. Cho cosa = vaø cosb = . Tính cos(a + b). cos(a – b) c. Cho 0 < a, b < vaø a + b = , tga.tgb = 3 – . Tính tga, tgb ÑS: A = 3, B = 2 – ; b. – ; c. – 1, – 1 Cho . Tính tg2a, tg2b HD: tg2a = tg[(a + b) + (a – b)]; tg2b = tg[(a + b) – (a – b)] ÑS: – , Tính A = HD: A = (tg10o – tg40o) + tg40o.tg10o ÑS: A = –1 Cho . Tính tga.tgc ÑS: Cho 3sinb = sin(2a + b). Chöùng minh: tg(a + b) = 2tga HD: b = [(a + b) – a], 2a + b = [(a + b) + a] Cho DABC. CMR: a. b. tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC c. = 1 d. e. cotgA . cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA = 1 f. sinA.cosB.cosC + cosA.sinB.cosC + cosA.cosB.sinC = sinA.sinB.sinC HD: a. ; b. tg(A + B) = – tgC; c. tg d. Chia 2 veá cho ; e. thay cotgx = vaø duøng b. f. VT = cosC.sin(A + B) + sinC.cosA.cosB = sinC[cosAcosB – cos(A + B)] = ... = VP a. Neáu = 2cosA thì DABC caân b. Neáu sin2(A + B) = cos2A + cos2B thì DABC vuoâng 7. COÂNG THÖÙC NHAÂN Tính cos2a, sin2a, tg2a bieát: a. cosa = – vaø p < a < b. tga = 2 ÑS: a. – Cho sin2a = – vaø < a < p. Tính sina vaø cosa ÑS: Tính sin2a bieát a. sina = ( < a < p) b. cosa = (0 < a < c. tga = ÑS: a. – ; b. ; c. Cho . Tính sin(a – 2b) vaø cos(2a + b) ÑS: Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau: a. cotgx + tgx = b. cotgx – tgx = 2cotg2x vaø cotgx – tgx – 2tg2x – 4tg4x = 8cotg8x c. = tgx d. = tg2x e. cos4x = 8cos4x – 8cos2x + 1 = cos4x + sin4x – 6sin2xcos2x f. sin4x + cos4x = cos4x + g. sin6x + cos6x = h. sinxcos3x – sin3xcosx = i. k. l. 3 – 4cos2x + cos4x = 8sin4x m. = 8cos2x HD: duøng haèng ñaúng thöùc a2 – b2 cho VT Ruùt goïn a. A = – cotg2x b. B = c. C = ÑS: a. tg2x; b. tg4x; c. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau (coâng thöùc nhaân ba) a. sin3a = 3sina – 4sin3a b. cos3a = 4cos3a – 3cosa c. tg3a = Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau a. sin3a cos3a + sin3a cos3a = sin4a b. tga . tg( – a) . tg( + a) = tg3a c. tga + tg(a – ) + tg(a + ) = 3tg3a d. 4sina.sin(60o + a).sin(60o – a) = sin3a e. 4cosa.cos(60o + a).cos(60o – a) = cos3a CMR: sin18o = ; cos18o = HD: sin(3.18o) = cos(2.18o) Tính A = sin + cos + 2(sin – cos) cos HD: H A = sin + cos + 2sincos – 2coscos H Ñaët a = Þ A = sina + cosa + 2sina(1 – 2sin2a) – 2cosa(2cos2a – 1) roài ruùt goïn vaø duøng coâng thöùc nhaân ba ÑS: A = Tính: A = cos120o.cos40o.cos80o B = sin10o.sin50o.sin70o C = sin6o.sin42o.sin66o.sin78o D = E = F = ÑS: A = ; B = ; C = ; D = – , E = ; F = Tính: A = 3sin15o.sin75o + B = C = ÑS: A = – , B = 4, C = 4 a. Cho DABC. CMR: cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1 b. Tính A = HD: cotg2x = Þ cotg2x = 1 + 2cotgx.cotg2x ÑS: 5 Cho DABC. CMR neáu cos2A.cotgB = cotgA.cos2B thì DABC vuoâng hoaëc caân HD: GT Þ (cotgB – cotgA)(cotgAcotgB – 1) = 0 8. COÂNG THÖÙC BIEÁN ÑOÅI TÍCH THAØNH TOÅNG Bieán ñoåi thaønh toång A = 2sin(a + b)cos(a – b) B = 2cos(a + b)cos(a – b) C = 4sin3x.sin2x.sinx D = 4sin3x.sin2x.cosx ÑS: A = sin2a + sin2b; B = cos2a + cos2b C = sinx + sin4x – sin6x; D = 1 + cos2x – cos4x – cos6x Tính giaù trò caùc bieåu thöùc: A = cos75o.cos15o B = C = sin20o.sin40o.sin80o D = tg10o.tg70o.tg130o E = tg20o.tg40o.tg60o.tg80o ÑS: A = ; E = 3 Chöùng minh caùc ñaúng thöùc: a. sin5x – 2sinx(cos2x + cos4x) = sinx b. c. d. e. f. sina.sin(b – c) + sinb.sin(c – a) + sinc.sin(a – b) = 0 g. cosa.sin(b – c) + cosb.sin(c – a) + cosc.sin(a – b) = 0 h. cos(a + b).sin(a – b) + cos(b + c).sin(b – c) + cos(c + a)sin(c – a) = 0 i. sin(a + b)sin(a – b) + sin(b + c)sin(b – c) + sin(c + a)sin(c – a) = 0 Tính giaù trò caùc bieåu thöùc A = – 2sin70o B = sin54o – sin18o ÑS: A = 1, B = (HD: Nhaân 2 veá cho cos18o) Tính giaù trò caùc bieåu thöùc: A = B = C = ÑS: A = (HD: Nhaân 2 veá cho cos ) ; B = (HD: Nhaân 2 veá cho cos ) C = – (HD: Nhaân 2 veá cho sin ) Tính caùc goùc cuûa DABC, bieát: a. B – C = 60o vaø sinB.sinC = b. B + C = 120o vaø sinB.cosC = ÑS: 1. A = 60o; B = 90o, C = 30o; b. A = 60o, B = 75o, C = 45o Cho DABC. CMR neáu = cotg thì DABC caân. HD: GT Þ cos(A – B) = 1 9.COÂNG THÖÙC BIEÁN ÑOÅI TOÅNG THAØNH TÍCH Bieán ñoåi thaønh tích A = sina + sinb + sin(a + b) B = cosa + cosb + cos(a + b) + 1 C = 1 + sina + cosa D = sinx + sin3x + sin5x + sin7x ÑS: A = ; B = C = ; D = 4sin4xcos2xcosx Tính giaù trò caùc bieåu thöùc: A = cos85o + cos35o – cos25o B = C = tg9o – tg27o – tg63o + tg81o D = tg9o + tg15o – tg27o – cotg27o + cotg15o + cotg9o E = F = bieát a = 20o G = bieát sinx = vaø < x < p ÑS: A = 0, B = 0, C = 4, D = 8, E = ; F = , G = –2 Chöùng minh caùc ñaúng thöùc a. cos5x.cos3x + sin7x.sinx = cos2x.cos4x b. sin2x + = c. d. tgx + tg3x + cotgx + cotg3x = e. f. = 8cos2xcos2x g. = 8sin23x cos6x HD: b. Ñaët sin( – x) laøm nhaân töû chung c. sinx cosx = sin(x ); d. e. tga + cotga = f.g. = sin2a ; = cos2a Ruùt goïn caùc bieåu thöùc: A = B = C = D = E = 8cos4a + 4cos3a – 8cos2a – 3cosa + 1 ÑS: A = tg4x, B = , C = cotg ; D = 2cosa; E = (HD:: cos3a = 4cos3a – 3cosa) Cho DABC. CMR a. sinA + sinB + sinC = b. cosA + cosB + cosC = 1 + c. sinA + sinB – sinC = d. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC e. cos2A + cos2B + cos2C = – (1 + 4cosAcosBcosC) f. sin2A + sin2B + sin2C = 2(1 + cosAcosBcosC) g. cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC Cho DABC. CMR a. DABC vuoâng Û sin2A + sin2B + sin2C = 2 b. DABC vuoâng Û cos2A + cos2B + cos2C = –1 c. Neáu sinA = thì DABC vuoâng d. Neáu sinA + sinB + sinC = 1 – cosA + cosB + cosC thì DABC vuoâng e. Neáu sin2A + sin2B = 4sinAsinB thì DABC vuoâng Cho DABC coù 3 caïnh a, b, c. CMR: a. Neáu thì DABC ñeàu b. Neáu cosAcosBcosC = thì DABC ñeàu c. Neáu CosA + cosB + cosC = thì DABC d. Neáu a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) + c(1 – 2cosC) = 0 thì DABC ñeàu HD: a. Duøng ñl haøm soá cosin b. [cos(a + b) + cos(a – b)]cosC = ñöa veà phöông trình baäc 2 ñoái vôùi cosC c. Þ ñöa veà phöông trình baäc hai ñoái vôùi d. sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC Þ sinAsinBsinC = Þ 4 = Chöùng minh raèng trong DABC, ta coù: a. bcosB + ccosC = acos(B – C) b. S = 2R2sinA.sinB.sinC c. 2S = R(acosA + bcosB + ccosC) d. r = HD: b. S = ab sinC c. 2S = 4R2sinAsinBsinC = R2(sin2A + sin2B + sin2C) d. söû duïng keát quaû: sinA + sinB + sinC = oân taäp chöông I Chöùng minh raèng: a. b. HD: c. (tg2x – tgx)(sin2x – tgx) = tg2x d. tg2x + cotg2x = Chöùng minh caùc bieåu thöùc sau ñoäc laäp x A = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x C = D* = HD: Duøng coâng thöùc haï baäc ñoái vôùi 2 soá haïng cuoái E = sin8x + 2cos2(45o + 4x) F = G = 4cos4x – 2cos2x – cos4x ÑS: A = 1; B = 1, Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau: A = B = C = D = ÑS: A = |sina + cosa|, B = cosb – cosa, C = tga, D = tg3a a. Bieát = m. Tính A = HD: C1: sina = tga.cosa; C2: Tính tga, sina theo ÑS: m2 b. Bieát tga + cotga = m (0 < a < ). Tham soá m phaûi thoûa maõn ñieàu kieän gì? Tính sin2a, sin4a ÑS: m ³ 2; sin2a = vaø sin4a = Chöùng minh raèng a. Neáu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina b. Neáu sin(2a + b) = 3sinb thì tg(a + b) = 2tga c. Neáu sin(2a + b) = 5sinb thì 2tg(a + b) = 3tga d. Neáu tga = vaø tgb = thì cos2a = sin4b e. Neáu cos2a + cos2b = m thì cos(a + b) cos(a – b) = m – 1 f. Neáu (1 + tga)(1 + tgb) = 2 vaø 0 < a, b < thì a + b = Cho a, b laø 2 goùc tuø thoûa: Chöùng minh raèng: a + 2b = Cho sina + sinb = 2sin(a + b) (a, b kp). CMR: Cho a, b, c laø 3 goùc nhoïn coù tga = ; tgb = ; tgc = . Tính a + b + c ÑS: 45o hay 225o Tính giaù trò caùc bieåu thöùc: A = B = C = (0 < a < p) ÑS: A = , B = , C = Cho DABC. CMR a. b. sinAcosBcosC + sinBcosAcosC + sinCcosAcosB = sinAsinBsinC c. = sinA + sinB + sinC Cho DABC. CMR: a. Neáu thì DABC caân b. Neáu sin4A + sin4B + sin4C = 0 thì DABC vuoâng Chöông 2 PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 1. Giaûi caùc phöông trình: a. b. c. tg(x + 15o) = d. ÑS: a. x = ; b. x = 55o + k180o x = –80o + k180o c. x = 15o + k180o; d. x = – Giaûi caùc phöông trình: a. sin(2x – 15o) = vôùi –120o < x < 90o b. cos(2x + 1) = vôùi – p < x < p c. tg(3x + 2) = vôùi – ÑS: a. x = 30o; 75o; –105o b. x = – ; – ; – – p; – + p c. x = – ; ; Giaûi caùc phöông trình: a. sin(2x – 1) = sin(x + 3) b. sin3x = cos2x c. tg(3x + 2) + cotg2x = 0 d. sin4x + cos5x = 0 ÑS: a. x = 4 + k2p x = – b. x = c. x = –2 + d. x = Giaûi caùc phöông trình: a. 2sinx + sin2x = 0 b. sin22x + cos23x = 1 c. tg5x . tgx = 1 d. e. tg(x – 5) + cotgx = 0 f. 4sinxcosxcos2x = 1 g. = 0 h. cos2(x – 30o) – sin2(x – 30o) = sin(x + 60o) i. cos3x.cos2x = cos4x.cosx j. cos(2x + 10o) + sin(80o – 2x)+1 = 0 k. cos4x – sin4x = l. 2sinxcosx = 2cosx + sinx – m. 2tgx.cosx + 1 = 2cosx + tgx n. sinxsin2xsin3x = sin4x o. sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 ÑS: a. x = kp x = + k2p; b. c. x = ; d. x = – x = e. VN; f. x = ; g. x = kp; h. x = 30o + k120o; i. x = j. x = 55o + k180o x = –65o + k180o; k. x = + kp l. n. x = 2. Giaûi caùc phöông trình sau: a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 b. 4cos2x – = 0 c. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 d. tgx + cotgx = 2 ÑS: a. x = k2p x = + k2p; b. x = + k2p x = + k2p c. x = kp x = – + k2p; d. x = + kp Giaûi caùc phöông trình sau: a. cos2x + 9cosx + 5 = 0 b. 2sin22x + cos2x + 1 = 0 c. cos2x + sinx + 1 = 0 d. tgx – e. cos2x – 3cosx = f. cos2x + 9cosx + 5 = 0 g. 2tg2x + 3 = h. 2sin22x + cos2x + 1 = 0 i. j. sin3x + 5sinx – 6 = 0 k. 4sin5xcosx – 4cos5xsinx = sin24x l*. =7 ÑS: a. x = + k2p b. x = + kp ; c. x = – + k2p d. x = – + kp x = + kp; e. x = + k2p; f. x = + k2p g. x = + kp; h. x = + kp i. x = + k2p x = + k2p x = + k2p x = + k2p j. x = + k2p ; k. x = k x = l. x = + k2p x = + k2p 3. Giaûi caùc phöông trình sau: a. 2sinx – 2cosx = b. cosx – sinx = 1 c. d. cosx – sinx = –1 e. cosx + sinx = f. g. h. ÑS: a. x = + k2p x = + k2p b. x = k2p x = – + k2p ; c. d. x = + k4p x = – p + k2p; e. f. ; g. h. Giaûi caùc phöông trình sau: a. sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x b. sin(sin(p – 2x) = 1 c. 2sin2x + sin2x = 3 d. (cos4x – sin4x) = sinx + cosx e. sin8x – cos6x = (sin6x + cos8x) f. = cosx g. cotgx – tgx = ÑS: a. x = + k2p; b. x = + kp x = kp c. x = + kp ; d. x = – + kp x = + k2p x = – + kp e. x = + kp x = ; f. x = + kp; g. x = + kp Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm: (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 ÑS: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá: a. y = b. y = ÑS: a. – 2 £ y £ 1; b. – 4. Gæai caùc phöông trình sau: a. 3sin2x + 8sinxcosx + (8 – 9)cos2x = 0 b. 4sin2x + 3sin2x – 2cos2x = 4 c. 2sin2x + cos2x = –1 ÑS: a. x = – + kp x = a + kp vôùi tga = b. x = + kp ; c. ; a. Chöùng minh b. Giaûi caùc phöông trình sau: a. b. ÑS: a. x = – + kp x = + kp ; b. x = + kp x = – + kp Cho phöông trình sin2x + 2sinxcosx – 2cos2x = m a. Giaûi phöông trình vôùi m = b. Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm ÑS: a. x = + kp x = a + kp vôùi tga = –5; b. – Giaûi caùc phöông trình sau: a. 3sin2x + 5cos2x – 2cos2x – 4sin2x = 0 b. sin2x + cos2x + sin2x + 1 = 0 c. d. 3cos24x + 5sin24x = 2(1 – sin4xcos4x) ÑS: a. x = + kp x = a + kp vôùi tga = ; b. VN c. x = + k2p x = p + k2p; d. x = – Giaûi vaø bieän luaän phöông trình theo tham soá m msin2x – 2sinxcosx + cos2x = 0 ÑS: 5. Gæai caùc phöông trình sau: a. 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 3 = 0 b. sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 c. sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 d. sinx + cosx – sin2x = 0 e. sinxcosx = sinx – cosx ÑS: a. x = – + k2p x = p + k2p x = – + a +k2p x = – a + k2p vôùi sina = – ; b. x = k2p x = + k2p c. x = + k2p x = p + k2p; d. x = + k2p x = – + k2p x = + k2p e. x = + k2p x = – + k2p x = + a + k2p x = – a + k2p vôùi sina = Giaûi caùc phöông trình sau: a. sin3x + cos3x = 1 b. sinx + cosx = c. tgx + cotgx = (sinx + cosx) ÑS: a. x = k2p x = + k2p ; b. x = – + kp x = – + k2p x = k2p c. x = + k2p Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm: m (sinx + cosx) = 2sinxcosx + 1 – 6m2 ÑS: –1 £ m £ 1 HD: Ñaët t = sinx + cosx (|t| £ ). Ta ñöôïc |m 2|m|| £ 1 6. Gæai caùc phöông trình sau: a. cos5x . sin4x = cos3x.sin2x b. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x c. sin3x + sin5x + sin7x = 0 d. tgx + tg2x = tg3x ÑS: a. x = k x = (2k + 1) ; b. x = + k2p x = + k c. x = k x = + kp; d. x = k Giaûi caùc phöông trình sau: a. sinx = sin5x – cosx b. 3 + 2sinxsin3x = 3cos2x c. 2sinxcos2x – 1 + 2cos2x – sinx = 0 ÑS: a. x = ; b. x = kp; c. – + k2p x = + kp Giaûi caùc phöông trình sau: a. sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 b. sin4x + cos4x = c. 2cos24x + sin10x = 1 ÑS: a. x = b. x = ; c. x = – Giaûi caùc phöông trình sau: a. (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx b. tgx + tg2x = sin3xcosx c. tgx + cotg2x = 2cotg4x ÑS: a. x = – + kp; b. x = k ; c. x = + kp Giaûi caùc phöông trình sau: a. x2 – 2xsinx – 2cosx + 2 = 0 b. 2sin2 = x2 – 2x + 3 c. 4cos2x – 2cotgx + 3cotg2x – 4cosx + 2 = 0 d. (cos4x – cos2x)2 = 5 + sin3x e. sinx.cos2x = 1 f. cos9x + sin6x = 1 ÑS: a. (x – sinx)2 + (cosx – 1)2 = 0 Û Û x = 0 b. Û x F c. (2cosx – 1)2 + (cotgx – 1)2 = 0 Û x = + k2p d. Û Û x = – e. + k2p f. Þ Û x = + kp x = 2kp 7. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 1 AÅn 1. Giaûi caùc heä phöông trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8, 9. 2. Giaûi caùc phöông trình: 1. cos + cos2x = 2 2. sinx + sin5x = 2 3. sinx + sin3x = –2 4. cos4x + sin3x = 2 5. 2cos x = 3sin 5x + 2 6. 2sin x + 3cos x = 5 7. (cos4x – cos2x) = 4 + cos 3x 3. Giaûi caùc heä phöông trình: 1. 2. 8. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 2 AÅn DAÏNG 1.Giaûi caùc heä phöông trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2. Giaûi caùc heä phöông trình sau: 1. 2. 3. 4. DAÏNG 3. Giaûi caùc heä phöông trình: 1. 2. 3. 4. 5. 6. DAÏNG 4. Giaûi caùc heä phöông trình : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 9. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG KHAÙC 1. Giaûi caùc heä phöông trình: 1. 2. 3. 4. 5. 6. oân taäp chöông II Giaûi caùc phöông trình sau: a. cos2x – 3sinx = 2 b. c. 3tgx + 2cotg3x = tg2x ÑS: a. x = – + k2p b. c. Giaûi caùc phöông trình sau: a. (2sinx – cosx)(1 + cosx) = sin2x b. 2sin2x + 3sinx = –3cosx c. tg2x – 2sin2x = sin2x ÑS: a. x = p + 2kp x = b. x = a + k2p ; c. x = x = kp HD: a. sin2x = (1 – cosx)(1 + cosx) ; b. Ñaët t = sinx + cosx (|t| £ ) c. tg2x – sin2x + cos2x – 1 = 0 Û tg2x(1 – cos2x) + (cos2x – 1) = 0 Giaûi caùc heä phöông trình sau: a. b. ÑS: a. x = k ; b. x = + kp Giaûi caùc heä phöông trình: a. b. ÑS: a. ; b. Õ¶Ö Chöông III DAÕY SOÁ - CAÁP SOÁ COÄNG - CAÁP SOÁ NHAÂN A. PHÖÔNG PHAÙP QUY NAÏP TOAÙN HOÏC Chöùng minh vôùi moïi n nguyeân döông, ta coù: a. / 1 + 2 + ... + n = b.12 + 22 + ... + n2 = c. 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2 d. e. 13 + 23 + ... + n3 = f. 2 + 22 + ... + 2n = 2n + 1 – 2 g. h. 1 – 2 + 3 – 4 + ... – 2n + (2n + 1) = n + 1 Chöùng minh vôùi moïi n nguyeân döông, ta coù: a. n3 + 2n 3 b. n3 + 11n 6 c. 32n – 1 8 d. 13n – 1 6 e. 7n + 3n – 1 9 Chöùng minh vôùi moïi soá töï nhieân n ³ 3, ta coù: 2n > 2n + 1 B. DAÕY SOÁ 1. Vieát 5 soá haïng ñaàu tieân cuûa daõy soá (an) a/ an = b/ an = c/ an = d/ an = sin e/ an = cos f/ an = 2. Vieát soá haïng toång quaùt an cuûa daõy soá a/ a1 = 3 ; an+1 = 2an (n / 1) b/ a1 = 2 ; an + 1 =an (n / 1) c/ a1 = 2 ; a2 = 3 ; an+1 =3an - 2an- 1 (n / 2) d/ Caùc soá haïng ñeàu chia heát cho 5 3. Xeùt tính taêng giaûm cuûa caùc daõy soá (an): a/ an = 3n2 + 1 b/ an = 6n - n2 c/ an = - 2 d/ an = e/ an = f/ an = (-)n 4. Xeùt tính bò chaën cuûa caùc daõy soá (an) a/ an = 2n - 1 b/ an = c/ an = d/ an = 3. 2n-1 e/ an = (-)n f/ an = n C. CAÁP SOÁ COÄNG 1. Tính soá haïng un a/ ¸1, 3, 5, ... Tính u17 b/ ¸5, 10, 15, ... Tính u10 c/ ¸- 1 , -1 , - 1 - , ... Tính u9 d/ ¸, 1, , ... Tính u15 2. Xaùc ñònh soá haïng ñaàu & coâng sai a/ b/ c/ d/ e/ f/ 3. Tính toång Sn cuûa n soá haïng ñaàu treân a/ u1 = 11, d = 4 Tính S20 b/ u1 = 11, u10 =39 Tính S10 c/ u4 + u11 = 20 Tính S14 d/ u3 + u13 = 80 Tính S15 e/ S = 1 + 2 + 3 + . . . + 99 + 100 + 99 +. . . + 3 + 2 + 1 f/ S = 1002 - 992 + 982 - 972 + . . . + 22 + 12 g/ S= 1 + 11 + 111 + … + 111…111 n chöõ soá 1 4. Cho ¸ a, b, c, CMR: a/ a2 + 2ac = c2 + 2ab b/ a2 + 8bc = (2b + c)2 c/ 2(a + b + c)2 = a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) D. CAÁP SOÁ NHAÂN 1. Tính soá haïng un cuûa caáp soá nhaân, bieát : a/ u1 = 4, q = 2 , Tính u8 b/ u1 = , q = - 3 , Tính u5 c/ u1 = 1 , q = - , Tính u6 d/ u1 = 1, q = Tính u4 2. Tính soá haïng ñaàu vaø coäng boäi q , bieát: a/ b/ c/ d/ e/ 3. Tính toång Sn cuûa n soá haïng ñaàu tieân a/ u1 = 3 , q = Tính S6 b/ u1 = 1, q = Tính S5 c/ ÷÷ , , ,, ... Tính S10 d/ ÷÷ 2, 3, , , ... Tính S8 4. Cho a, b, c laäp thaønh caáp soá nhaân. CMR a/ (a + b + c) (a - b + c) = a2 + b2 + c2 b/ (a2 + b2 ) (b2 + c2 ) = (ab + bc)2 c/ (bc + ca + ab)3 = abc(a + b + a)3 5. Bieåu dieãn döôùi daïng phaân soá caùc giaù trò sau: a/ A= 3,214214214… b/ B= 21,5436436436… Phaàn 2 HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN Chöông I ÑAÏI CÖÔNG VEÀ ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG 1.vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng Cho tam giaùc ABC, ñieåm S (ABC). Tìm taát caû caùc caëp caïnh cheùo nhau. Cho töù giaùc ABCD, ñieåm S (ABCD). Tìm taát caû caùc caëp caïnh cheùo nhau Cho 2 ñöôøng thaúng a vaø b cheùo nhau. Treân a laáy 2 ñieåm A vaø B. Treân b laáy 2 ñieåm C vaø D. Chöùng minh raèng AC vaø BD cheùo nhau Cho 2 ñöôøng thaúng a, b naèm trong mp (a). Moät ñöôøng thaúng d caét a vaø b. Chöùng minh raèng d naèm trong mp (a) 2. giao tuyeán cuûa 2 maët phaúng Cho töù giaùc ABCD khoâng coù söï song song, ñieåm S (ABCD). Laáy ñieåm M treân ñoaïn SD. Tìm giao tuyeán cuûa: a. (SAD) vaø (SBC); (SAB) vaø (SCD); (SAC) (SBD) b. (MBC) vaø caùc maët phaúng (SAD), (SCD), (SBD), (SAC) Cho töù dieän ABCD coù I, J, K laàn löôït treân AB, BC, CD sao cho khoâng coù söï song song. Tìm giao tuyeán cuûa (IJK) vôùi (DAC) vaø (ABD) Cho AB vaø CD cheùo nhau. M AB, N D. Tìm giao tuyeán cuûa (MCD) vaø (NAB) Cho hình choùp S.ABCD. Laáy I SA vaø J SB sao cho IJ khoâng song song AB. Laáy ñieåm K trong töù giaùc ABCD. Tìm giao tuyeán cuûa (IJK) vôùi caùc mp sa