Giáo án Đại số 12 - Chuyên đề 2: Hàm số đơn điệu

CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU A/CƠ SỞ LÝ THUYẾT : 1Định nghĩa: Cho hàm số f:(a;b)àR. +f là hs tăng (đồng biến) trên khoảng (a;b) nếu x1f(x1)<f(x2) với mọi x1,x2(a;b). +f là hs giảm (nghịch biến) trên khoảng (a;b) nếu x1f(x1)>f(x2) với mọi x1,x2(a;b). +Hsố tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm đơn điệu. 2.Định lí: +Nếu f’(x)=0,thì f(x) là hàm số hằng trên khoảng (a;b) +Nếu f’(x>0,thì f(x) là hàm tăng trên khoảng (a;b) +Nếu f’(x)<0,thì f(x) là hàm giảm trên khoảng (a;b) B/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: VẤN ĐỀ 1:XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ : +Tìm miền xác định D của hàm số +Tính đạo hàm f’(x) (hay y’). +Xét dấu y’ và lập bảng biến thiên . BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1:Tìm khoảng đồng biến nghịch bíên và lập bảng biến thiểntên các khoảng xác định. 1/y=x3-3x2+4,2/y=4x3-3x4 ,3/y=x4-5x2+4, 4/y=x4-x2+1, 5/y=x3-x2+x, 6/, 7/, 8/ , 9/, 10/, 11/ ,12/ 13/, 14/, 15/, 16/, 17/, 18/, 19/(a>0), 20/, 21/, 22/ 23/, 24/. Bài 2:Chứng minh rằng : 1/Hàm số đồng biến trên đoạn [0;2] và nghịch biến trên đoạn [2;4] 2/Hàm số đồng biến trên nửa khoảng . 3/Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó . 4/Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 5/Hàm số nghịch biến trên R. 6/Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó . VẤN ĐỀ 2:ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG CHO TRƯỚC : (Xác định m để hàm số y=f(x,m) tăng (giảm)trên khoảng I) +Tìm tập xác định D của hàm số (I thuộc D) +Định m để y’≥0(≤0) với mọi x I Lưu ý : +Cần nắm vững các định lí về dấu của tam thức bậc hai và việc so sánh các số với các nghiệm của tam thức bậc hai . +Đây là bài toán áp dụng tam thức bậc hai không đổi dấu trên một khoảng . Chẳng hạn : f(x)=ax2+bx+c(a#0) * * *Với a<0 * *Nếu miền xác định của hàm số y=f(x) là D=R\{x0 } thì : +Hàm số đồng biến trên (α;+∞)ó +Hàm số nghịch biến trên (α;+∞)ó BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1:Xác đinh m để hàm số tăng trên khoảng (0;3) Bài 2: Cho hàm số . a) Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định . b) Tìm m để hàm số tăng trên (2;+∞) .c) Tìm m để hàm số giảm trên (-∞;1) Bài 3: Cho hàm số .Xác định m để hàm số nghịch biến trong khoảng (0;+∞) (ĐHQG.TPHCM1998) Bài 4: Xác định m để hàm số y=x3-(m-1)x2-(m+3)x+2m tăng trên khoảng (0;+∞) Bài 5: cho hàm số Định m để hàm số : a)Giảm trên khoảng xác định . b)Giảm trên (-1;0) c)Tăng trên (-2;2). VẤN ĐỀ 3:ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC ,BẤT ĐĂNG THỨC: I/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : 1.Chứng minh đẳng thức : Áp dụng định lí : Nếu f’(x)=0 , thì f(x)=C(hằng số ),.Để tìm C chọn x0(a;b)thì C=f(x0). 2.Chứng minh bất đẳng thức : Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức f(x)>g(x),,xét hàm số h(x)=f(x)-g(x), +Nếu h(x) tăng trên (a;b) thì h(x)>h(a), +Nếu h(x) gỉam trên (a;b) thì h(x)>h(b), BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài 1:Chứng minh rằng cosx +xsinx>1,với (ĐHHH1999) Bài 2:Chứng minh rằng : a/ b) với x>0. c/ d/ CHUYÊN ĐỀ II: ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ : A/CƠ SỎ LÍ THUYẾT: 1/Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D và +/x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho ,và f(x)<f(x0) ,.khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f +/x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho ,và f(x)>f(x0) ,.khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. Chú ý :Điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị . Điểm M(x0;f(x0)) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số . Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị . Một hàm số có thể có nhiều điểm cực trị hoặc không có điểm cực trị nào. 2/ Điều kiện cần để hàm số có cực trị : */ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 . khi đó f(x) đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0 . */ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại điểm M[x0 ; f(x0)] phải cùng phương với trục hoành x’Ox . 3/ Điều kiện đủ để hàm số có cực trị : a/ Điều kiện đủ thứ I ( Dấu hiệu I ) : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 ( có thể trừ x0) */ Nếu qua x0 đạo hàm y’đổi dấu từ dương sang âm (tức là f’(x) >0 khi x x0) thì hàm số đạt cực đại tại x0 . x - x0 + y’ + 0 – y CĐ */ Nếu qua x0 đạo hàm y’đổi dấu từ âm sang dương (tức là f’(x) 0 khi x > x0) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . x - x0 + y’ – 0 + y CT b/ Điều kiện đủ thứ II (Dấu hiệu II ) . Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f’’(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và f’(x0) = 0 với x0(a ; b) */ Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại điểm x0 . */ Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0 4/ CHÚ Ý : Gía trị cực trị của h/số f(x) = tại điểm x0 được tính theo CT: f(x0) = . VẤN ĐỀ 1 : TÌM CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ . I./ Phương pháp : Cách 1 (Dùng dấu hiệu I ) . */ Tìm miền xác định D . */ Tính đạo hàm y’ , giải phương trình y’ = 0 để tìm nghiệm . Tìm các điểm tới hạn của hàm số(gồm các n0 của PT y’= 0 và các giá trị xi mà f’(x) k0 xác định) */ Lập bảng xét dấu y’ và dựa vào sự đổi dấu của y’ khi x qua điểm tới hạn để kết luận . Cách 2 (Dùng dấu hiệu II ) . */ Tìm miền xác định D . */ Tính đạo hàm f’(x) , giải phương trình f’(x) = 0 để tìm các nghiệm xi ( i = 1 , 2 , 3 , .....) . */ Tính đạo hàm f”(x) . khi đó : +/ Nếu f”(x) > 0 xi là điểm cực tiểu . +/ Nếu f”(x) < 0 xi là điểm cực đại . II/ Bài tập áp dụng : Câu 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau : a/ y = 3x2 – 2x3 b/ y = x3 – 3x2 + 3x – 5 c/ y = x4 – x2 + 3 d’/ y = e/ y = f/ y = . g/ y=x3+3x2-9x+2 h/ y=-x4+2x2-1 i/ y= j/ y= -x3+3x+4. k/ y=x + l/ y=x- sin 2x +1 .m/ y= . n/ y= .p/ y= Câu 2 : Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau : a/ y = x4 – 4x3 + 1 b/ y = x + c/ y = x/2 – sinx d/ y = x e/ y = sin2x - x f/ y = x + . g/,h/y=2sinx+cos2x,x VẤN ĐỀ 2 : TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ . I./ Phương pháp : Để thực hiện các yêu cầu về ĐK có cực trị của h/s y = f(x) ta thực hiện theo các bước : */ Bước 1: Tìm miền xác định . */ Bước 2: Tìm đạo hàm y’ = f’(x) . */ Bước 3: Tùy theo yêu cầu của bài toán mà ta lựa chọn theo một trong hai hướng sau : +/ Hướng 1: Nếu xét được dấu của y’ thì sử dụng dấu hiệu I , với lập luận : f(x) có k cực trị p/trình f’(x) = 0 có k nghiệm phân biệt và đổi dấu qua k nghiệm đó . +/ Hướng 2: Nếu không xét được dấu của y’ hoặc bài toán yêu cầu cụ thể về điểm cực đại hay điểm cực tiểu thì sữ dụng dấu hiệu II bằng việc tìm thêm y” . Khi dó : */ Hàm số f(x) đạt cực đại tại x0D . */ Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0D . */ Hàm số f(x) có cực trị Hệ PT sau có nghiệm thuộc D : • CHÚ Ý : f(x) đạt cực trị tại x0 f’(x0) = 0 . II/ Bài tập áp dụng : Câu 1 : Tìm m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + m đạt cực đại tại x = 2 . ĐSỐ : m = - 17/12 . Câu 2 : Định m để h/số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu với hoành độ các điểm cực trị đều nhỏ hơn 2 . ĐSỐ : 0 < m < 1 . Câu 3 : Định a , b để hàm số y =x4 – ax2 + b đạt cực trị bằng - 2 tại x = 1 .ĐSỐ :a = 1,b = - . Câu 4 : Cho hàm số y = . a/ Xác định m để h/số có cực trị b/ Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt g/trị nhỏ nhất . ĐSỐ : a/ 1 < m < 2 b/ (yCĐ.yCT)Min = - 4/5 khi m = 7/5 . Câu 5 : Cho hàm số y = . Xác định m để hàm số : a/ Có cực tiểu trong khoảng (0 ; m) , với m > 0 b/ Đạt cực đại tại x = 2 . ĐSỐ : a/ 1/2 < m < 1 b/ m = - 3 . VẤN ĐỀ 3 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH (C) ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA H/S . I./ Phương pháp : */ Hướng 1 : Nếu tọa độ các điểm cực trị là những số nguyên hoặc số hữu tỉ thì phương trình đường (C)được xác định bằng phương pháp thông thường VI DỤ : Đ/thẳng (d)qua A(xA ; yA) , B(xB ; yB) (d) : . */ Hướng 2 : Nếu tọa độ các điểm cực trị có dạng vô tỉ hoặc chứa tham số thì phương trình đường (C) được xác định bằng cách lập luận : Tọa độ các điểm cực trị ( nếu có ) của đồ thị h/s y = f(x) thỏa mản hệ sau : y = q(x) . Vậy tọa độ các điểm cực trị của đồ thị h/s thuộc đường (C) : y = q(x) . */ Chú ý : Ngay cả trong những trường hợp tọa độ các điểm cực trị là những số nguyên hoặc số hữu tỉ chúng ta cũng thường chọn hướng 2 . II/ Bài tập áp dụng : Câu 1 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9 . Hãy lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị ham số . ĐSỐ (d) : 8x + y + 3 = 0 . Câu 2 : Cho hàm số y = . Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số . ĐSỐ (d) : y = - 2x + m . B./BÀI TẬP TỰ LUẬN ( ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ 2 ) . Câu 1 : Tìm các điểm cực trị của hàm số sau y = . ĐSỐ : ( -1 ; 2 ) . Câu 1 : Cho hàm số y = .Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị . ĐSỐ : -1 < m <1 Câu 2 : Cho hàm số y = (x + a)3 + (x + b)3 – x3 . Các số a , b phải thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu ? ĐSỐ : a và b cùng dấu . Câu 3 : Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 – 2 đạt cực tiểu tại x = 1 . ( ĐỀ ĐH DỰ BỊ KHỐI B ’04 ) Câu 4 : Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 4 không có cực trị . ĐSỐ : 0 ≤ m ≤ 1/4 . Câu 5 : Cho hàm số y = 2x3 – 3( 2a + 1)x2 + 6a(a + 1)x + 1 . Chứng minh rằng với mọi a thì đồ thị hàm số luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 với không phụ thuộc vào a . Câu 6 : Cho hàm số y = 2x3 + ax2 – 12x – 13 . Tìm a để hàm số có cực đại , cực tiểu và hai điểm này cách đều trục tung . HD : trục tung Oy có PT : x = 0 , ĐSỐ : a = 0 . Câu 7 : Tìm m để hàm số y = có điểm cực đại , điểm cực tiểu và hai điểm này cách đều đường thẳng (d) : x + y + 2 = 0 . ĐSỐ : m = 1 . Câu 8 : ( ĐỀ THI ĐH –CĐ , KHỐI B ’02 ) . Cho hàm số y = mx4 +(m2 -9)x2 + 10 .Tìm m để hàm số có ba cực trị .ĐSỐ :m < -3 hay 0 < m < 3. Câu 9 : (ĐỀ THI ĐH , CĐ , KHỐI B ’05 ) . Cho hàm số y = (Cm) . Chứng minh rằng với mọi m bất kì (Cm) luôn có điểm cực đại , điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng . Câu 10 : Cho hàm số y = . Xác định các giá trị của m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị h/số ở về hai phía đối với đ/thẳng (D): 9x – 7y – 1 = 0 . ĐSỐ : - 3 < m < 9/7 . Câu 11 : ( ĐỀ THI ĐH – CĐ , KHỐI A ’02 ) . Cho h/số y = - x3 + 3mx2 + 3(1 – m2 )x + m3 – m2 .Hãy viết phương trình ĐT đi qua 2 điểm cực trị. Câu 12 : Tìm cực trị của hàm số y = . ĐSỐ : yCT = 0 ; yCĐ = 49/8 . Câu 13 :Tìm a,b để các cực trị của hàm số đều là những số dương và là điểm cực đại. Câu 14: Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó . Câu 15: Chứng minh rằng với mọi giá trị tham số m , hàm số y=x3-mx2-2x+1 luôn có một điểm cự đại và một điểm cực tiểu. Cho hàm số y = x4 – x3 – 3x2 + 8x . C/minh rằng các điểm cực trị của đồ thị h/s luôn nằm trên một parabol cố định . ĐSỐ : (P) : y = -x2 + x + 2 . VẤN ĐỀ 4:GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ: A/CƠ SỞ LÝ THUYẾT : I.Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên D. *Hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất M tại x0D,nếu KH:. *Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất m tại x0D, KH: II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : 1.TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT: a/Dùng định nghĩa : Ví dụ : a/Cho hàm số y=f(x)=x2-2x+3 tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số . b/Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=-2x2+8x+1. b/Tìm miền giá trị f(D): Vì f(D)={yR/xD:y=f(x)}.Do đó yf(D)ó phương trình f(x) =y có nghiệm x. Ví dụ :Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : c/Phương pháp dùng đạo hàm : +/Tìm giá trị Maxf,Minf trên một khoảng (a;b) ta làm theo các bước sau : */Bước 1:Tìm miền xác định ,tính đạo hàm f’(x). */Bước 2:Tìm nghiệm xi (nếu có) của f’(x)=0 và tính yi=f(xi)(i N*). */Bước 3:Lập bảng biến thiên .Dựa vào bảng biến thiên kết luận . *Chú ý :Nếu trên khoảng (a;b) hàm số có một cực trị duy nhất cực đại (hoặc cực tiểu ) ,thì giá tri cực đại là giá trị Max ,(giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên khoảng (a;b). +/Tìm giá trị Maxf,Minf trên một đoạn [a;b] ta làm theo các bước sau : */Bước 1:Tìm miền xác định ,tính đạo hàm f’(x). */Bước 2:Tìm nghiệm xi (nếu có) của f’(x)=0 và tính yi=f(xi)(i N*)f(a),f(b). */Bước 3:Lập bảng biến thiên . */Bước 4: So sánh Max f(x)=Max{f(a),f(b),f(xi)},Mịn f(x)=Min{f(a),f(b),f(xi)}. .BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1/Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số . a/y=x4-2x2+5 trên [0;2],b/y=x2-8x+7,c/y=x4-3x3-2x2+9x trên [-2;2],d/y=1+8x-2x2,e/y=4x3-3x4,f/|x2-3x+2|, trên [-10;10] ,g/,h/,với x>0,i/,k/,l/trên đoạn [1;e3],m/,n/,p/,q/(ĐHCĐ-KB2003) ,r/ Bài 2:Cho a,b khác 0 tìm gí trị nhỏ nhất của: Bài 3(ĐH-CĐ-KB2006): Cho x,y là các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức *********HD:Đặt M(x-1;-y),N(x+1;y),OM+ON≥MN************* 2ÁP DỤNG GIÁ TRỊ MAX,MIN CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: */Để Chứng minh bất đẳng thức f(x)g(x),xD ta chứng minh Max[f(x)-g(x)]0,xD hoặc Max f(x)Min g(x). Bài 1/Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .Sử dungt kết quả đã tìm được để giải phương trình: Bài 2: Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn điều kiện :a2+b2+c2=1. Chứng minh rằng : (HD:a2+b2=1-c2 thay vào mẫu số tương tự các trường hợp khác) Bài 3(ĐH-CĐ KA2003):Cho x,y,z là 3 số dương và x+y+z≤1 .Chứng minh rằng : P= ****HD:Với mọi , ta có ,Đặt ,,,Áp dụng bất đẳng thức , P== ,với 0≤t≤1/9)************* VẤN ĐỀ 5:ÁP DỤNG GIÁ TRỊ MAX, MIN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH : I/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Giả sử hàm số y=f(x) có giá trị nhỏ nhất ,lớn mhất trên D ,f liên tục trên D. */Phưong trình f(x)=m có nghiệm ó */Bất phương trình f(x)≥m có nghiệm ó */Bất phương trình f(x)≤m có nghiệm “Tổng quát ta lập bảng biến thiên rồi kết luận ” II/BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: a/Xác định m để phương trình có nghiệm. b/Xác định m để bất phương trình có nghiệm Bài 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1) Bài 3: Xác định m để phương trình có nghiệm III/BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1:Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: a/. b/ Bài 2: Tìm điều kiện để phương trình bất sau có nghiệm: a/ b/ BÀI TẬP CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: I/Tính đơn điệu của hàm số: Bài 1:Tìm khoảng đồng biến nghịch bíên và lập bảng biến thiển trên các khoảng xác định. 1/y=x3-3x2+4,2/y=4x3-3x4 ,3/y=x4-5x2+4, 4/y=x4-x2+1, 5/y=x3-x2+x, 6/, 7/, 8/ , 9/, 10/, 11/ ,12/ 13/, 14/, 15/, 16/, 17/, 18/, 19/(a>0), 20/, 21/, 22/ 23/, 24/. Bài 2:Chứng minh rằng : 1/Hàm số đồng biến trên đoạn [0;2] và nghịch biến trên đoạn [2;4] 2/Hàm số đồng biến trên nửa khoảng . 3/Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó . 4/Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 5/Hàm số nghịch biến trên R. 6/Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó . Bài 1:Xác đinh m để hàm số tăng trên khoảng (0;3) Bài 2: Cho hàm số . a) Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định . b) Tìm m để hàm số tăng trên (2;+∞) .c) Tìm m để hàm số giảm trên (-∞;1) Bài 3: Cho hàm số .Xác định m để hàm số nghịch biến trong khoảng (2;+∞) (ĐHQG.TPHCM1998) Bài 4: Xác định m để hàm số y=x3-mx2-(2m2-7m+7)x+2(m-1)(2m-3) tăng trên nửa khoảng [2;+∞)(ĐHKT 1997) Bài 5: cho hàm số Định m để hàm số : a)Giảm trên khoảng xác định . b)Giảm trên (-1;0) c)Tăng trên (-2;2). Bài 1:Chứng minh rằng cosx +xsinx>1,với (ĐHHH1999) Bài 2:Chứng minh rằng : a/ b) với x>0. Bài 1/Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số . a/y=x4-2x2+5 trên [0;2],b/y=x2-8x+7,c/y=x4-3x3-2x2+9x trên [-2;2],d/y=1+8x-2x2,e/y=4x3-3x4,f/|x2-3x+2|, trên [-10;10] ,g/,h/,với x>0,i/,k/,l/trên đoạn [1;e3],m/,n/,p/,q/(ĐHCĐ-KB2003) ,r/ Bài 2:Cho a,b khác 0 tìm gí trị nhỏ nhất của: Bài 3(ĐH-CĐ-KB2006): Cho x,y là các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức *HD:Đặt M(x-1;-y),N(x+1;y),OM+ON≥MN* Bài 1/Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .Sử dungt kết quả đã tìm được để giải phương trình: Bài 2: Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn điều kiện :a2+b2+c2=1. Chứng minh rằng : (HD:a2+b2=1-c2 thay vào mẫu số tương tự các trường hợp khác) Bài 3(ĐH-CĐ KA2003):Cho x,y,z là 3 số dương và x+y+z≤1 .Chứng minh rằng : P= ****HD:Với mọi , ta có ,Đặt ,,,Áp dụng bất đẳng thức , P== ,với 0≤t≤1/9)************* Bài 1: a/Xác định m để phương trình có nghiệm. b/Xác định m để bất phương trình có nghiệm Bài 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1) Bài 3: Xác định m để phương trình có nghiệm III/BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1:Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: a/. b/ Bài 2: Tìm điều kiện để phương trình bất sau có nghiệm: a/ b/ Chuyên đề 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ : A/CƠ SỞ LÍ THUYẾT: 1/Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang: a/Định nghĩa 1: Đường thẳng x=x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: b/Định nghĩa 2: Đường thẳng y=y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x) nếu; hoặc . 2/Đường tiệm cận xiên : Định nghĩa : Đường thẳng y=ax+b,a≠0 được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=f(x) nếu : hoặc Chú ý: Để xác định hệ số a,b trong phương trình đường thẳng của tiệm cận xiên ta áp dụng công thức sau : hoặc B/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: 1/Tìm tiệm cận đứng của hàm số với P(x),Q(x) là 2 đa thức không có nghiệm chung nếu x=a la nghiệm của Q(x) thì x=a là tiệm cận đứng . 2/Tiệm cận ngang của hàm số . -Nếu bậc P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì đường thẳng y=0 là tiệm cân ngang . -Nếu bậc P(x) bằng bậc Q(x) thì là tiệm cận ngang với an,bn là hệ số chứa luỹ thừa x cao nhất. 3/Tiệm cận xiên: -Hàm số trong đó bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) cộng 1 thì ta thực hiện phép chia đa thức ta đựơc. Khi đó y=ax+b là tiệm cận xiên. -Hàm số vô tỉ .khi thì *khi x thì đồ thi © có tiệm cận xiên bên phải *khi thì đồ thị có tiệm cận xiên bên trái là C/ Bài tập áp dụng: Bài 1:Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số : Bài 2: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm và tiệm cận ngang: Chuyên đề 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ A/CƠ SỞ LÍ THUYẾT: I/HÀM SỐ BẬC BA: 1/Tập xác định :D=IR. 2/Sự biến thiên : *Chiều biến thiên của hàm số: y’=3ax2+2bx+c ;(Δ’=b2-3ac). Nếu Δ’>0 => phương trình y’=0 có 2 nghiệm x1;x2 =>Hàm số có 2 cực trị -Nếu a>0 ta có bảng biến thiên: x -∞ x1 x2 ∞ y’ y(x1) +∞ + 0 - 0 + -∞ y y(x2) Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;x1) và (x2;+∞), nghịch biến trên khoảng (x1;x2). VẤN ĐỀ 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. I/Trường hợp tổng quát: Xét dấu đại lượng trong dấu giá trị tuyệt đối,xong viết hàm số dưới dạng hàm số có nhiều công thức .Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ứng với từng công thức. II/Trường hợp đặc biệt : */Chú ý :+Hai điểm (x;y) và (x;-y) đối xứng qua trục Ox. +Hai điểm (x;y) và (-x;y) đối xứng qua trục Oy +Hai điểm (x;y) và (-x;-y) là 2 điểm đối xứng qua gốc toạ độ O +Hai điểm (x;y) và (y;x) đối xứng qua đường thẳng y=x 1/Vẽ đồ thị © số y=|f(x)|: Nhận xét : Nên : +Vẽ (C1):y1=f(x) +Giữ nguyên phần (C1) ứng với y10 gọi là (C’1) +Lấy đối xứng phần (C1) ứng với y1<0 qua trục Ox,gọi (C”1).bỏ phần (C1) ứng với y1<0. Kết quả :(C )=(C1’)U(C”1) 2/Vẽ đồ thị (C ): y=f(|x|) Nhận xét :hàm số y=f(|x|) là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. +/Vẽ đồ thị (C1):y=f(x). +/Giữ nguyên phần đồ thị (C1) ứng với ,gọi (C’1). +/Bỏ phần đồ thị (C1) ứng với x<0. +/Lấy phần đối xứng (C’1) qua trục Oy ,gọi (C”1) Kết quả :(C) =(C’1)U(C”1). 3/Vẽ đồ thị hàm số :(C) Nhận xét :do đó vẽ đồ thi (C) như sau: +/Vẽ (C1) của hàm số +/Giữ nguyên phần (C1) ứng với Q(x)>0,gọi (C’1). +/Lấy đối xứng phần (C1) ứng với Q(x)<0 qua trục Ox gọi là (C”1).Bỏ phần (C1) ứng với Q(x)<0. Kết quả (C)=(C’1)U(C”1). 4/Vẽ đồ thị hàm số (C): Nhận xét: Do đó vẽ đồ thị hàm số : +/Vẽ (C1):. +/Giữ nguyên phần (C1) ứng với P(x)≥0 gọi là (C’1). +/Lấy đối xứng phần (C1) ứng với P(x)<0 qua trục Ox gọi là (C”1).Bỏ phần (C1) ứng với P(x)<0. Kết quả (C)=(C’1)U(C”1). III/BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho hàm số (C).Khảo sát sự biến thiên Vẽ đồ thị hàm số (C).Tư đó suy ra đồ thị hàm số . Bài 2: Cho hàm số (C).Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C).Từ đó suy ra đồ thị hàm số . Bài 3 :Cho hàm số (C).Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C). Từ đó suy ra đồ thị các hàm số y=|f(x)|,y=f(|x|),,. Bài 4:Cho hàm số .Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số . Từ đó suy ra đồ thị hàm số . Bài 5(ĐHKB-2009):Cho hàm số y=2x4-4x2(1). 1/Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/Với giá trị nào của m ,phương trình :. Có 6 nghiệm thực phân biệt. BÀI TẬP Bài 1:Cho hàm số Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt. Bài 2:Cho hàm số .Tìm m để y=mx cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt trong đó 2 điểm có hoành độ dương. Bài 3:Cho hàm số .Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương . Bài 4:Cho hàm số Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=m tại 2 điểm phân biệt A và B thoã mãn OA vuông góc với OB. Bài 5:Cho hàm số y=x4-(3m+4)x2+m2.(1). 1/Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số . 2.Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng Bài 6:Cho hàm số . 1/Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số khi m=0. 2/Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành độ dương . Bài 7: Cho hàm số y = - - x + . a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b/ Dùng đồ thị (C) để biện luận theo m số nghiệm của PT : x2 + 2x + 2k - 3 = 0 . Bài 8: Tìm m để phương trình : x3 + 3x2 + m = 0 có ba nghiệm phân biệt . Bài 9: Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị là (C) . a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b/ Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (C1) của hàm số f = f1(x) = ( hình vẽ riêng ) . c/ Dùng đồ thị (C1) để biện luận theo m số n0 : x[-1 ; 2] của PT sau : (m – 2) - m = 0 Bài 10: Tìm m để phương trình : = m có sáu nghiệm phân biệt . Bài 11: Ch o hàm số y = - x3 + 3x2 có đồ thị là (C) : a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b/ Tìm k để phương trình : - x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt . Bài 12: Cho hàm số : y = x3 - mx + m - 2 có đồ thị là (Cm) . a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3 . b/ Tìm m để phương trình : x3 - 3x - k + 1 = 0 có một nhiệm VẤN ĐỀ 3: ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐỒ THỊ I/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: 1/Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm) +/Biến đổi phương trình y=f(x,m) về phương trình theo m. Ta tìm (x;y) để y=f(x,m) nghiệm đúng với mọi m . +/Ta thường gặp các dạng sau; A(x;y).m+B(x;y)=0 hoặc A(x;y).m2 +B(x;y).m+C(x;y)=0 +/Toạ độ các điểm cố định của họ đồ thị (Cm)(nếu có ) là nghiệm của hệ phương trình: hoặc 2/Tìm điểm mà mọi họ đồ thị đều không đi qua với mọi m. +/Ta tìm điều kiện x,y suy ra tập hợp điểm M(x;y) để phương trình y=f(x,m) ẩn m vô nghiệm. +/Am+B=0 vô nghiệm +/A.m2+Bm+C=0 vô nghiệm II.BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài 1:Cho hàm số y=mx3-(m-1)x2-(2+m)x+m-1(Cm).Tìm những điểm cố định mà đồ thị (Cm) luôn đi qua với mọi m. Bài 2: Cho hàm số y=(m+1)x3 –(2m+1)x-m+1(Cm) .Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định . Bài 3: Cho hàm số . 1/Chứng minh rằng đồ thị hàm số không có điểm cố định . 2/Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà đồ thị của hàm số không thể đi qua khi m thay đổi. Bài 4:Cho hàm số y=x3-3(m+1)x2+2(m2+4m+1)x-4m(m+1) 1/Tìm điểm cố định trên đồ thị . 2/Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. Bài 5: Cho hàm số y=x3-(2m+1)x2 +(6m-5)x-3(1) 1/Chứng minh rằng đường cong (1)luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m . 2/Xác định m để đường cong (1) tiếp xúc với trục Ox. 3/Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m=2. 4/Biên luận theo a số nghiệm phương trình : VẤN ĐỀ 4:TẬP HỢP ĐIỂM. I/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1/Biểu thị được toạ độ điểm m theo tham số: -Tìm toạ độ điểm M theo tham sô m ,giả sử . -Khử tham số m ta được hệ thức độ lập giữa x;y không phụ thuộc m.:f(x;y)=0 -Từ điều kiện tồn tại điểm M (thường được biểu diễn bằng điều kiện m ,ta tìm giới hạn đường cong f(x;y)=0. -/Kết luận tập hợp các điểm M là phần của đường conbg có phương trình thoả mãn một số điều kiện . 2/Không thể biểu thị toạ độ điểm M theo tham số : Gọi điểm M(x0;y0) là điểm thuộ tập hợp cần tìm . Từ yêu cầu bài toán tìm hệ thức liên hệ giữa x0,y0:f(x0,y0)=0. II/BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1:Cho hàm số 1/Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số . 2/Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị trên với đường thẳng 2x-y+m=0.Trong trường hợp có 2 giao điểm M,N hãy tìm qũy tích trung điểm I của đoạn thẳng MN. Bài 2:Cho hàm số 1/Tìm các điểm cố định của họ (Cm). 2/Tìm m để (Cm) để (Cm) tiếp xúc với trục hoành . 3/Tìm quỹ tích điểm uốn I của (Cm) khi m thay đổi Bài 3:Tìm quĩ tích tâm đối xứng của đồ thị hàm số VẤN ĐỀ 5:TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ : I/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Cho đồ thị (C):y=f(x) .tìm hai điểm M,N thuộc đồ thị (C) sao cho M,N đối xứng nhau qua điểm A hoặc đường thẳng d cho trước : -Giả sử M(x0;y0) thuộc (C) ta có y0=f(x0)(1) -Tìm toạ độ điểm N theo x0,y0 sao cho N đối xứng của M qua A(hoặc d).vì N thuộc (C) nên yN=f(xN)(2) -Từ 1 và 2 ta tìm được M,N. II/BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài 1:Cho hàm số .Xác định m để trên