Giáo án Đại số giải tích 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số. Tiết: 49-50-51-52 Tuần: 1,2,3,4 I. MỤC TIÊU BÀI DẠY: Kiến thức cơ bản: Định nghĩa khái niệm giới hạn của dãy số, một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn. Kỹ năng: Nắm được khái niệm giới hạn của dãy số, một số định lí về giới hạn của dãy số; biết cách tính giới hạn của dãy số; nắm được định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn, biết cách tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Tư duy: Rèn luyện tư duy thuật toán, khả năng tổng hợp, khái quát vấn đề. Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, khả năng hoạt động nhóm. II. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC: Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp; hoạt động nhóm. Phương tiện dạy học: Sách giáo khoa, bảng phụ. III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP Ổn định lớp. Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: Câu 1: Viết công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Áp dụng: Cho cấp số nhân: 2,-4,8, Hãy xác định số hạng thứ 100 và tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số nhân. Câu 2: Cho dãy số: , hãy xác định 5 số ạng đầu của dãy số. Bài học mới: Trước khi vào bài mới giáo viên cần nhắc lại đình nghĩa giá trị tuyệt đối. Nội dung Hoạt động của GV Hoạt động của HS I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa: * Định nghĩa 1: - Ta nói dãy số có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực nếu: có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ số hạng nào đó trở đi. - Kí hiệu: hay khi . * Ví dụ 1: Cho dãy số với . a) Hãy tìm điều kiện của n để nhỏ hơn 0.01 ? b) Hãy tìm điều kiện của n để nhỏ hơn 0.001 ? * Định nghĩa 2: - Ta nói dãy số có giới hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu: . - Kí hiệu: hay khi . Để đơn giản ta có thể viết: * Ví dụ 2: Cho dãy số với . Chứng minh Giải Ta có: Vậy . 2. Một vài giới hạn đặt biệt: a) với k là số nguyên dương. b) nếu c) limc =c với c là hằng số. Tổ chức học sinh thực hiện hoạt động 1 (SGK): - Chia lớp thành các nhóm (mỗi nhóm 4 học sinh), thực hiện các câu hỏi sau: *: Biểu diễn trên trục số các số hạng của dãy số . **: Nhận xét khoảng cách từ tới 0 thay đổi thế nào khi n càng lớn? ***: Tìm n để ? có thể nhỏ hơn 0.0001,0.00001 hay không ? - Gọi 3 nhóm thực hiện 3 câu hỏi, các nhóm khác nhận xét. Giáo viên đưa ra nhận xét kết quả thực hiện của các nhóm và đưa ra kết luận: dãy số có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ số hạng nào đó. - Giáo viên khẳng định dãy số trên có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, và yêu cầu học sinh nêu định nghĩa. - Giáo Viên hoàn chỉnh định nghĩa. - Giáo viên yêu cầu 2 học sinh lên bảng thực hiện ví dụ 1. Sau ví dụ 1, GV nhấn mạnh: dãy số trên cũng có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực. - GV nêu định nghĩa dãy số có giới hạn là a khi n dần tới dương vô cực. - Thực hiện hoạt động 1 thông qua 3 câu hỏi giáo viên đặt ra ? - Nhận xét kết quả của nhóm bạn. - Lắng nghe nhận xét của giáo viên và rút ra định nghĩa. - Thực hiện ví dụ 1. - Thực hiện ví dụ 2 theo sự gợi ý của giáo viên. II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN a) Nếu và thì: * * * * (nếu b 0) b) Nếu với mọi n và thì Việc tìm giới hạn bằng định nghĩa khá khó khăn nên ta thường áp dụng các giới hạn đặt biệt và định lí trên để tìm giới hạn của dãy số. Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau: a) b) c) d) - Giáo viên nêu định lí. - Gợi ý học sinh thực hiện ví dụ: Câu a và b đặt mũ cao nhất ở tử và mẫu là nhân tử chung, đơn giản, sau đó áp dụng định lí và các giới hạn đặt biệt. Câu c nhân lượng liên hiệp. - Thực hiện ví dụ dưới sự gợi ý của giáo viên. III.TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN * Định nghĩa: Cấp số nhân lùi vô hạn: là cấp số nhân vô hạn và có công bội q thoả điều kiện: . Ví dụ: Dãy số: là cấp số nhân lùi vô hạn, với công bội q=. * Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: * Ví dụ: Tính tổng: Giải Dãy số: lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với và . Ta có: . * Giáo viên đưa ra định nghĩa, sau đó đưa ra 1 ví dụ và yêu cầu học sinh cho thêm ví dụ. * Dẫn dắt học sinh tìm công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Cho cấp số nhân lùi vô hạn: - Yêu cầu học sinh trả lời cấu hỏi ? @ Sn=? @ LimSn=? - Khẳng định: S=LimSn - Yêu cầu học sinh suy nghĩ 3 phút và gọi 1 học sinh lên bảng thực hiện ví dụ. * Phân tích định nghĩa và cho thêm ví dụ. - Viết công thức: - Tính - Dựa vào công thức trên để thực hiện ví dụ. IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định Nghĩa: * Định nghĩa: Dãy số (un) có giới hạn là khi , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: * Định nghĩa: Dãy số (un) có giới hạn là khi , nếu Kí hiệu: * Nhận xét: . Ví dụ: Mô tả ví dụ 6 trang 118 sách giáo khoa. 2. Một vài giới hạn đặt biệt: a. với k nguyên dương. b. nếu q>1. 3. Định lí: a. Nếu limun=a và thì . b. Nếu limun=a >0 và và vn>0 thì c. Nếu và thì . * Ví dụ: Tính giới hạn: a. . b. Hoạt động: Có nhiều viên gạch giống nhau, mỗi viên cao . Ta xếp chồng các viên gạch lên nhau. Gọi u1 là chiều cao 1 viên gạch, u2 là chiều cao 2 viên gạchun là chiều cao của n viên gạch. a. Tìm công thức tổng quát un. b. Tìm số viên gạch cần thiết để chồng gạch cao hơn mặt trăng, biết khoảng cách từ mặt trăng đến trái đất là: 384000 Km. - Giáo viên khẳng định dãy số trên có giới hạn là . - Giáo viên nêu định nghĩa. - Yêu cầu học sinh thực hiện ví dụ. - Thực hiện hoạt động nhóm theo các câu hỏi mà giáo viên đặt ra ? a. b. * Thực hiện ví dụ. * Bài tập sách giáo khoa: Bài 1: a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: . Bài 2: Ta có: nên có thể nhỏ hơn số dương bé tuỳ ý kể từ giá trị n nào đó, mà theo gt do đó theo định nghĩa giới hạn của dãy số ta có: . Bài 3: a) b) Tương tự câu a. kq= c) d) tương tự câu a. kq= Bài 4: a) Ta có ; , b) Ta có u1;u2;..un là 1 cấp số nhân với u1=và q= do đó: = Bài 5: Ta có : là 1 cấp số nhân lùi vô hạn với u1=-1 và do đó ta có: . Bài 6: Ta có: Bài 7: a) b) c) d) Bài 8: a) Ta có: b)